転送作用素のソースを表示

[[数学]]における'''転送作用素'''（てんそうさようそ、{{Lang-en-short|transfer operator}}）とは、[[反復合成写像|反復写像]]の情報にある変換を加えるもので、[[力学系]]や[[統計力学]]、[[量子カオス]]や[[フラクタル]]の振る舞いを研究する上で頻繁に用いられる。

転送作用素はしばしば、[[ダヴィッド・ルエール]]の名にちなんで'''ルエール作用素'''と呼ばれたり、作用素の[[固有値]]を決定するための[[ペロン＝フロベニウスの定理]]への応用可能性から'''ルエール＝ペロン＝フロベニウス作用素'''と呼ばれたりする。

今、考えられる反復函数は、任意の集合 <math>X</math> に対する写像 <math>f:X\rightarrow X</math> とする。転送作用素は、函数 <math>\Phi:X\rightarrow \mathbb{C}</math> の空間上のある作用素 <math>\mathcal{L}</math> として次のように定義される。

:<math>(\mathcal{L}\Phi)(x) = \sum_{y\in f^{-1}(x)} g(y) \Phi(y)</math> 

ここで <math>g:X\rightarrow\mathbb{C}</math> は補助的な評価函数である。<math>f</math> が[[ヤコビアン]] <math>|J|</math> を持つ場合には、<math>g=1/|J|</math> とされる。

上記のように定義される転送作用素は、測度論的な ''g'' の[[押し出し]]{{要曖昧さ回避|date=2023年7月}}の点集合極限であることが示される。本質的に、転送作用素は[[可測空間]]のカテゴリー内の[[順像函手]]である。フロベニウス＝ペロン作用素の左共役は、コープマン作用素や[[合成作用素]]と呼ばれる。

== 応用 ==

函数 <math>f</math> の反復は、その反復の下での X の点の軌道の研究（[[カオス理論|点ダイナミクス]]の研究）と自然に繋がるものであるが、転送作用素はその反復の下で（滑らかな）写像がどのように発展していくかを定義するものである。したがって転送作用素は、滑らかな函数の時間発展に研究の興味がある[[量子カオス]]や[[統計力学]]のような[[物理学]]の分野でよく用いられる。一方で、[[分子動力学]]の分野を通じた[[医薬品設計|合理的な薬剤設計]]への医学的な応用のためにも、この作用素は用いられる。

転送作用素が正で、離散的な正実[[固有値]]を持ち、その最大固有値が 1 に等しい、という場合はしばしば起こる。このことが、転送作用素がしばしばフロベニウス＝ペロン作用素と呼ばれる理由である。

転送作用素の[[固有函数]]は通常、フラクタルである。転送作用素の対数が量子[[ハミルトニアン]]に対応するとき、それらの固有函数は通常、空間的に非常に近い所に存在し、したがって量子状態の[[量子統計力学|アンサンブル]]を非常に注意深く選んでも、それは全体積についての非ゼロな[[関数の台|台]]を伴う沢山の非常に異なるフラクタル固有状態を含むものとなる。この事実から、時間の[[不可逆性問題|不可逆性]]や[[エントロピー]]の増大を含む多くの古典統計力学の結果を説明することが可能となる。

{{仮リンク|2値変換|label=ベルヌーイ写像|en|dyadic transformation}} <math>b(x)=2x-\lfloor 2x\rfloor</math> の転送作用素は厳密に解くことが出来、[[カオス理論|決定論的カオス]]の古典的な一例である。すなわちこの作用素の離散固有値は[[ベルヌーイ多項式]]に対応する。この作用素はまた、[[フルヴィッツのゼータ函数]]で構成される連続スペクトルも持つ。

ガウス写像 <math>h(x)=1/x-\lfloor 1/x \rfloor</math> の転送作用素は[[ガウス＝クズミン＝ヴィルズィング作用素]]（GKW 作用素）と呼ばれ、その非常識なまでの難解さゆえにその性質は未だに完全に解明されてはいない。GKW 作用素の理論の起源は、[[連分数]]に関するガウスのある仮説が提唱された日にまで遡り、その理論は[[リーマンゼータ函数]]と密接に関連する。

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|ベルヌーイスキーム|en|Bernoulli scheme}}
* {{仮リンク|有限タイプのサブシフト|en|Shift of finite type}}
* [[クレイン・ルトマンの定理]]

== 参考文献 ==
* {{cite book | author=Pierre Gaspard | title=Chaos, scattering and statistical mechanics | publisher=Cambridge University Press | year=1998 }}

* {{cite book | author=David Ruelle | title=Thermodynamic formalism: the mathematical structures of classical equilibrium statistical mechanics | publisher=Addison&ndash;Wesley, Reading | year=1978 | isbn=0-201-13504-3}}

* {{cite book | author=Dieter H. Mayer | title=The Ruelle-Araki transfer operator in classical statistical mechanics | publisher=Springer-Verlag | year=1978 | isbn=0-387-09990-5}}

* David Ruelle, ''[http://www.ihes.fr/~ruelle/PUBLICATIONS/137zeta.pdf Dynamical Zeta Functions and Transfer Operators]'', (2002) Institut des Hautes Etudes Scientifiques preprint IHES/M/02/66. ''(Provides an introductory survey).''

* Michael C. Mackey, ''Time's Arrow, The origins of thermodynamic behaviour'', Springer-Verlag, 1992

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