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'''近似法'''（きんじほう）とは[[関数 (数学)|関数]]の厳密値や[[方程式]]の厳密解を求めるときに、それが不可能または困難であるか、簡便のために[[近似値]]あるいは[[近似]]解を得る方法である。

== 無理数の近似 ==
[[実数]]（特に[[無理数]]）を[[有理数]]により近似することは[[ディオファントス近似]]として知られている<ref name="#1">Hensley, p. 13.</ref>。例えば[[円周率]] <math>\pi = 3.14159...</math> の有理数による近似値として、[[古代エジプト]]では 256/81 = 3.16049... が、[[古代バビロニア]]では 25/8 = 3.125 が知られていた<ref>中村, pp. 51-52.</ref>。[[アルキメデス]]は
{{Indent|<math>\frac{ 223 }{ 71 } < \pi < \frac{ 22 }{ 7 }</math>}}
を証明した<ref>中村, pp. 53-54.</ref>（詳細は[[円周率の歴史]]を見よ）。ディオファントス近似は[[連分数]]と密接な関係がある<ref name="#1"/>。

{{詳細記事|近似値}}

== テイラー展開 ==
[[テイラー展開]]を用いる。

関数''f'' (''x'' ) の''x'' = ''a'' の近傍における近似値を考える。''f'' (''x'' )を''x'' = ''a'' においてテイラー展開すれば

:<math>
f(x)=\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^{n}
</math>

となる。''x'' -''a'' の値が十分小さければ、高次の項は無視することができる。とくに2次以上を無視すれば

:<math>
f(x)\simeq f(a)+f^{\prime}(a) (x - a)
</math>

となる。また、''n'' 次の項まで考えたものを''n'' 次近似と呼ぶ。すなわち上の例は1次近似である。

;具体例
主要な関数の<math>x\simeq 0</math>における2次近似を挙げておく。

*<math>e^x\simeq 1+x+\frac{x^2}{2}</math>
*<math>\ln(1+x)\simeq x-\frac{x^2}{2}</math>
*<math>(1+x)^n\simeq 1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2</math>
*<math>\sin x\simeq x</math>
*<math>\cos x\simeq 1-\frac{x^2}{2}</math>

== 漸近展開 ==
[[特殊関数]]などの関数の振る舞いはしばしば[[漸近展開]]によって記述される。関数列 <math>\{ \varphi_n \}_{n = 0}^\infty</math> が点 <math>x_0</math> における漸近関数列であるとは、すべての <math>n</math> で
{{Indent|<math>\varphi_{n+1} ( x ) = o ( \varphi_n ( x ) ) \ \ x \to x_0</math>}}
が成り立つことをいう（点 <math>x_0</math> としては無限遠 <math>x_0 = \infty</math> でもよい）<ref name="#2">柴田, p. 33.</ref>。そのうえで、ある関数 <math>f</math> の点 <math>x_0</math> における (広義の) 漸近級数とは、形式級数 <math>\sum_{n = 0}^\infty a_n \varphi_n ( x )</math> ですべての <math>k</math> に対して
{{Indent|<math>f ( x ) - \sum_{n = 0}^k a_n \varphi_n ( x ) = o \left( \varphi_k ( x ) \right)</math>}}
を満足するもののことを言う<ref name="#2"/>。このとき
{{Indent|<math>f ( x ) \sim \sum_{n = 0}^\infty a_n \varphi_n ( x )</math>}}
と表記する<ref name="#2"/>。

漸近級数は一般には発散級数であってもよく、しかししばしばその有限項の和がもとの関数 <math>f ( x )</math> をよく近似する<ref>柴田, p. 22.</ref>。例えば関数
{{Indent|<math>f ( x ) = x \int_0^\infty \frac{ e^{- t} }{ x + t } dt</math>}}
は <math>x \to \infty</math> で[[スティルチェス級数]]を漸近展開として持つ<ref>柴田, p. 23.</ref>。
{{Indent|<math>f ( x ) \sim \sum_{n = 0}^\infty ( - 1 )^n n! x^n</math>}}
<math>f ( 10 )</math> の値はスティルチェス級数の第9項までの和により誤差 <math>3.6 \times 10^{-4}</math> で評価できる<ref name="#3">柴田, pp. 24-25.</ref>。ただしスティルチェス級数は発散級数であり、さらに多くの和を計算すると逆に誤差が増大する<ref name="#3"/>。

{{詳細記事|漸近展開}}

== 多項式近似 ==
区間 <math>[-1, 1]</math> で定義された連続関数 <math>f</math> を多項式により近似することを考える。このような近似が可能であることは[[ストーン＝ワイエルシュトラスの定理]]によって保証されている。なお一般の区間 <math>[a, b]</math> の場合、変数変換
{{Indent|<math>x = \frac{ a + b }{ 2 } + \frac{ b - a }{ 2 } t</math>}}
により区間 <math>[-1, 1]</math> の問題に帰着できる<ref name="#4">Gil, Segura & Temme, p. 55.</ref>。

ある多項式 <math>p</math> が問題の関数 <math>f</math> をどの程度「良く」近似できているのかは、区間 <math>[-1, 1]</math> における[[一様ノルム]]
{{Indent|<math>\| p - f \| = \max_{x \in [-1, 1]} \left| p ( x ) - f ( x ) \right|</math>}}
によって表現される<ref name="#5">Gil, Segura & Temme, p. 51.</ref>。例えば区間 <math>[a, b]</math> を等間隔の <math>n</math> 区間 <math>[x_i, x_{i+1}]</math> (<math>x_i = a + ( b - a ) i / n</math>) に分割し、各小区間の端点 <math>x_i</math> での関数値 <math>f_i ( x_i )</math> の[[ラグランジュ補間]]を近似多項式として採用することを考える。しばしばこの方式では区間 <math>[-1, 1]</math> の端付近で補間多項式の値が補間点以外ではもとの関数値から大きく外れる[[ルンゲ現象]]が起き、その結果一様ノルムが大きな値を取るため好ましくない<ref>Gil, Segura & Temme, p. 54.</ref>。

一様ノルムの観点で最良の近似多項式がミニマックス近似多項式である<ref name="#5"/>。<math>\mathbb{P}_n</math> を高々 <math>n</math> 次の実係数多項式の全体とする。区間 <math>[-1, 1]</math> で定義された連続関数 <math>f</math> について、その{{仮リンク|ミニマックス近似多項式|en|Minimax approximation algorithm}} <math>\phi_n \in P_n</math> とは、任意の <math>p \in P_n</math> に対して
{{Indent|<math>\| f - \phi_n \| \leq \| f - p \|</math>}}
が成立するもののことを言う<ref name="#5"/>。連続関数のミニマックス近似多項式は常に存在し一意であることが保証されている<ref name="#5"/>。チェビシェフの等振動定理によると、ミニマックス多項式はもとの関数のある <math>n + 1</math> 点でのラグランジュ補間に一致する<ref name="#6">Gil, Segura & Temme, p. 63.</ref>。ただし、どの点で補間を行えばよいのかは関数 <math>f</math> に依存する<ref name="#6"/>。ミニマックス近似多項式を求める[[Remezのアルゴリズム]]が知られている<ref>{{Cite web |author=Abiy  Tasissa |url=https://abiy-tasissa.github.io/remez.pdf |title=FUNCTION APPROXIMATION AND THE REMEZ ALGORITHM |accessdate=2021-01-22}}</ref><ref>浜田望：「コンピューティングの玉手箱(80) ルメの最良近似アルゴリズム」、共立出版「bit」、vol.23,no.9, pp.1286-1287 (1991年8月号)</ref>。しかし、実際にそれを構成することはあまり容易ではない<ref name="#5"/>。

実用的には関数の多項式近似には[[チェビシェフ補間]]を用いることが多い。<math>n</math> 次のチェビシェフ補間とは、<math>T_{n+1} ( x )</math> の <math>n + 1</math> 個の零点における関数値をラグランジュ補間するものである。多項式近似におけるチェビシェフ多項式の有用性は次の定理によって示される<ref name="#4"/>。

<blockquote style="padding:1ex;border:2px solid #808080; background:#white">
<math>n \geq 1</math> とする. 任意の実係数 <math>n</math> 次モニック多項式 <math>p ( x )</math> は
{{Indent|<math>\| p \| \geq 2^{1 - n}</math>}}
を満足する。等号成立は <math>p ( x ) = 2^{1 - n} T_n ( x )</math> のときである.
</blockquote>

従って <math>n</math> 次のモニック多項式のうち 0 を近似する最良のものがチェビシェフ補間であると言える<ref>Gil, Segura & Temme, p. 62.</ref>。この性質のため、チェビシェフ補間ではルンゲ現象は発生しない<ref name="#6"/>。一般にはチェビシェフ補間がミニマックス近似多項式を与えるとは限らないものの、その良い近似を与えることが期待できる<ref>{{Cite book |last1=Press |first1=William H. |first2=Saul A. |last2=Teukolsky |first3=William T. |last3=Vetterling |first4=Brian P. |last4=Flannery |date=1992 |title=Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing |edition=2nd |publisher=Cambridge University Press |doi=10.2277/0521431085 |isbn=978-0-521-43108-8 |page=192}}</ref>。

== 常微分方程式 ==
本節では[[常微分方程式]]の近似解法について述べる。[[摂動論]]によって近似解を得ることができる状況がしばしばあるが、最高階微分項の係数が微小パラメータ <math>\epsilon</math> であるような方程式の場合、<math>\epsilon = 0</math> とした方程式ともとの方程式が質的に異なる[[特異摂動]]問題であり、通常の摂動論によって解くことができない<ref>柴田, p. 86.</ref>。

=== 境界層理論 ===
[[流体力学]]（[[ナビエ–ストークス方程式]]）における[[境界層]]のように、解析対象となる領域のうち、異なる領域によって有効な近似方程式が異なる場合がある。このような場合、各領域で境界条件を満足する適切な近似解を構成し、それを[[漸近接続]]することによって大域的な解を構成することができる<ref>柴田, p. 89.</ref>。この手法は[[境界層理論]]として知られている<ref>柴田, p. 90.</ref>。

=== WKB近似 ===
<math>\epsilon</math> を微小パラメータとする2階常微分方程式
{{Indent|<math>\epsilon^2 \frac{ d^2 y }{ d x^2 } = A ( x ) y ( x )</math>}}
は、<math>A</math> の変化がゆっくりとみなせるならば、指数関数型の解
{{Indent|<math>y ( x ) \sim \exp \left( \pm \frac{ 1 }{ \epsilon } \sqrt{ A ( x ) } \right)</math>}}
により近似できる<ref name="#7">柴田, p. 125.</ref>。この考察に基づく常微分方程式の漸近級数解の理論は[[WKB近似]]として知られる<ref>柴田, pp. 124-125.</ref>。これはもともと[[ジョゼフ・リウヴィル]]らによって19世紀から用いられていた<ref name="#7"/>が、[[量子力学]]において[[シュレディンガー方程式]]の近似解法としてWentzelらによって用いられたことからWKB近似として知られるようになった<ref>柴田, p. 120.</ref>。また[[光学]]（[[幾何光学]]、[[物理光学]]）における[[幾何光学近似]]あるいは[[物理光学近似]]とも対応している<ref>柴田, p. 126.</ref>。

=== 複スケール解析 ===
複数の「時間」スケール（ここでは常微分方程式の独立変数を[[時間]]とみなす）を持つ問題の場合、独立変数として各時間スケールに対応する変数を導入することによって特異摂動問題を解く[[複スケール解析]]が知られている<ref>柴田, p. 151.</ref>。この手法は例えば[[擬調和振動子]]の摂動における[[永年項]]問題に適用できる<ref>柴田, pp. 154-158.</ref>だけでなく、境界層問題等の他の特異摂動問題にも適用できる<ref>柴田, pp. 151, 167-174.</ref>。

== 脚注 ==
{{Reflist |2}}

== 参考文献 ==
; 和書
* {{Cite book |和書 |author=中村滋 |title=円周率: 歴史と数理 (数学のかんどころ 22) |publisher=共立出版 |date=2013-11 |isbn=9784320110625}}
* {{Cite book |和書 |author=柴田正和 |title=漸近級数と特異摂動法 |date=2009 |publisher=森北出版 |isbn=978-4-627-07631-0}}
* 山内二郎、森口繁一、一松信 (編)：「電子計算機のための数値計算法 II」、培風館（1967年3月5日）の第I編 "関数計算" の中の第1章、第2章、第3章。
* 竹ノ内脩、西白保敏彦：「近似理論：関数の近似」、培風館（現代数学レクチャーズB-11）、ISBN 4-563-00431-6 (1986年6月10日).
* 浜田穂積：「近似式のプログラミング」、培風館、ISBN 4-563-01382-X (1995年9月30日).
* {{Cite book |last=Hensley |first=Doug |title=Continued Fractions |doi=10.1142/5931 |date=2006 |publisher=World Scientific |isbn=981-256-477-2}}
* {{Cite book |first1=Amparo |last1=Gil |first2=Javier |last2=Segura |first4=Nico M. |last3=Temme |title=Numerical Methods for Special Functions |date=2007 |isbn=978-0-89871-634-4 |doi=10.1137/1.9780898717822 |publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics}}
* E. W. Cheney：「近似理論入門」、共立出版（1977年10月20日). ※ 原著は ''Introduction to Approximation Theory'', McGraw-Hill (1966).
* Theodore J. Rivlin: ''An Introductoion to the Approximation of Functions'', Dover pub., ISBN 0-486-64069-8 (1981).　※初版は Blaisdel publishing (1969年）
* 有本卓：「数値解析(1)」、コロナ社、ISBN 4-339-00124-4 (1981年4月30日)。 第5章「関数近似と補間法」。
; 洋書
* E. W. Cheney: ''Multivariate Approximation Theory: Selected Topics'', SIAM (CBMS 51), ISBN 0-89871-207-6 (1986).
* Charles K. Chui: ''Multivariate Splines'', SIAM (CBMS 54), ISBN 0-89871-226-2 (1988).

== 関連項目 ==
* [[変分法]]
* [[摂動論]]
* [[差分法]]
* [[近似]]
** [[近似値]]
** [[近似アルゴリズム]]
** [[パデ近似]]

{{analysis-stub}}
{{デフォルトソート:きんしほう}}
[[Category:解析学]]
[[Category:近似法|*]]
[[Category:数学に関する記事]]