退化分布のソースを表示

{{Unreferenced|date=December 2012}}
{{確率分布|
  name       =退化分布|
  type = 質量 |
  cdf_image  =[[Image:Degenerate.svg|325px|Plot of the degenerate distribution CDF for k<sub>0</sub>=0]]<br /><small>k<sub>0</sub>=0 の場合の累積分布関数</small>|
  parameters =<math>k_0 \in (-\infty,\infty)\,</math>|
  support    =<math>x=k_0\,</math>|
  pdf        =<math>
    \begin{matrix}
    1 & \mbox{for }x=k_0 \\ 0 & \mbox{elsewhere}
    \end{matrix}
    </math>|
  cdf        =<math>
    \begin{matrix}
    0 & \mbox{for }x<k_0 \\1 & \mbox{for }x\ge k_0
    \end{matrix}
    </math>|
  mean       =<math>k_0\,</math>|
  median     =<math>k_0\,</math>|
  mode       =<math>k_0\,</math>|
  variance   =<math>0\,</math>|
  skewness   =未定義|
  kurtosis   =未定義|
  entropy    =<math>0\,</math>|
  mgf        =<math>e^{k_0t}\,</math>|
  char       =<math>e^{ik_0t}\,</math>|
}}
[[数学]]の分野における'''退化分布'''（たいかぶんぷ、{{Lang-en-short|degenerate distribution}}）とは、ただ一つの値のみを取る[[確率変数]]の[[確率分布]]のことを言う。

例としては、両側とも[[表と裏|表]]となっている[[コイン]]や、すべての[[目]]が同じ[[値]]になっている[[サイコロ]]などが考えられる。この[[確率分布|分布]]は、日常生活の言葉の意味としての[[ランダム]]ではない様に思われるが、確率変数の定義を満たすものである。

退化分布は、[[実数直線]]上のある一点 ''k''<sub>0</sub> に配置される。

その[[確率質量関数]]は次のように与えられる：

<math>f(k;k_0)=\left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{if }k=k_0 \\ 0, & \mbox{if }k \ne k_0 \end{matrix}\right.</math>

また、退化分布の[[累積分布関数]]は次のように与えられる：

<math>F(k;k_0)=\left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{if }k\ge k_0 \\ 0, & \mbox{if }k<k_0 \end{matrix}\right.</math>

== 一定の確率変数 ==
[[確率論]]における'''一定の確率変数'''（constant random variable）とは、起こる[[事象 (確率論)|事象]]に拘わらずある一定の[[定数]]値を取り続ける[[離散確率変数|離散]][[確率変数]]のことを言う。他の値を取ることもあるが、そのような事象が起こる確率がゼロであるような'''[[ほとんど (数学)|ほとんど確実に]]一定の確率変数'''（almost surely constant variable）とは、厳密な意味で異なる概念である。一定の、あるいは、ほとんど確実に一定の確率変数は、確率論的な枠組みにおいて定数を扱う際に有用となる。

''X'': Ω → '''R''' を、確率空間 (Ω, ''P'') 上で定義される確率変数とする。このとき、''X'' が''ほとんど確実に一定の確率変数''であるとは、
:<math>\Pr(X = c) = 1 </math>
であるような <math> c \in \mathbb{R} </math> が存在することを言う。また、''X'' が''一定の確率変数''であるとは、
:<math>X(\omega) = c, \quad \forall\omega \in \Omega </math>
であるような <math> c \in \mathbb{R} </math> が存在することを言う。

一定の確率変数は、ほとんど確実に一定の確率変数であるが、その逆は成立しないことに注意されたい。なぜならば、ほとんど確実に一定の確率変数 ''X'' に対しては、''X''(γ) ≠ ''c'' であるような γ ∈ Ω が存在することもあるからである（しかし、Pr({γ}) = 0 すなわち Pr(X ≠ c) = 0 が必ず成り立つ）。

実践的な場面では、''X'' が一定であるかほとんど確実に一定であるかの違いは重要ではない。なぜならば、''X'' の[[確率質量関数]] ''f''(''x'') および[[累積分布関数]] ''F''(''x'') は、いずれの場合でも
:<math>f(x) = \begin{cases}1, &x = c,\\0, &x \neq c \end{cases}</math>
および
:<math>F(x) = \begin{cases}1, &x \geq c,\\0, &x < c \end{cases}</math>
となるからである。

関数 ''F''(''x'') は[[階段関数]]、特に[[ヘヴィサイドの階段関数]]の[[平行移動]]である。

== 関連項目 ==
* [[ディラックのデルタ関数]]

{{確率分布の一覧}}
{{DEFAULTSORT:たいかふんふ}}
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