退化形式のソースを表示

{{Unreferenced|date=August 2008}}
{{for|その他の用法|退化 (数学)|退化 (曖昧さ回避)|[[:en:Degeneracy (disambiguation)]]}}
[[数学]]、とくに[[線型代数学]]において、[[ベクトル空間]] ''V'' 上の'''[[退化 (数学)|退化]]''' (degenerate) [[双線型形式]] ''f''(''x'',&nbsp;''y'') とは、''V'' から ''V''<sup>*</sup>（''V'' の[[双対ベクトル空間|双対空間]]）への <math>v \mapsto (x \mapsto f(x,v))</math> で与えられる写像が[[同型]]でないような双線型形式である。''V'' が有限[[次元]]のときの同値な[[定義]]はそれが非自明な[[核 (代数学)|核]]をもつということである、すなわち次を満たす ''V'' の 0 でない元 ''x'' が存在する

:すべての ''y'' &isin; ''V'' に対して ''f''(''x'', ''y'') = 0.

==非退化形式==
'''非退化''' (nondegenerate) あるいは'''非特異''' (nonsingular) 形式は退化でない形式である、つまり <math>v \mapsto (x \mapsto f(x,v))</math> が[[同型]]である、あるいは有限次元では同値なことだが、
:すべての ''y'' &isin; ''V'' に対して ''f''(''x'', ''y'') = 0 であれば、''x'' = 0.

==行列式を使う==
''V'' が[[ハメル次元|有限次元]]であれば、''V'' のある[[基底 (線型代数学)|基底]]に関連して、双線型形式が退化であることと伴う[[行列]]の[[行列式]]が 0 であることは同値である、つまり行列が''特異''であることと同値である、そしてそれゆえ、退化形式は'''特異形式''' (singular form) とも呼ばれる。同様に、非退化形式は伴う行列が[[非特異行列|非特異]]である形式であり、それゆえ非退化形式は'''非特異形式''' (non-singular form) とも呼ばれる。これらのステートメントは基底の選び方によらない。

==関連した概念==
[[双線型形式#カリー化と双対空間|ユニモジュラー形式]] (unimodular form) と[[双線型形式#異なる空間|完全対]] (perfect pairing) という深く関連した概念がある。これらは体上では一致するが一般の環上では一致しない。

==例==
非退化形式の最も重要な例は[[内積]]と[[シンプレクティック形式]]である。対称非退化形式は次のような点で内積の重要な一般化である。要求されるすべてはしばしば写像 ''V''&nbsp;&rarr;&nbsp;''V''<sup>*</sup> が同型であることであり正値性ではない。例えば、接空間に内積構造をもった多様体は[[リーマン多様体]]であるが、これを対称非退化形式に弱めると[[擬リーマン多様体]]が生まれる。

==無限次元==
無限次元空間において <math>v \mapsto (x \mapsto f(x,v))</math> が[[単射]]であるが[[全射]]でない双線型形式 ƒ があることに注意しよう。例えば、有界閉区間上の[[連続関数]]のなす空間上、形式
:<math> f(\phi,\psi) = \int\psi(x)\phi(x) dx</math> 
は全射でない。例えば、[[ディラックのデルタ関数]]は双対空間にはあるが要求された形式ではない。一方、この双線型形式は次を満たす。
:すべての <math>\,\phi</math> に対して <math>f(\phi,\psi)=0\,</math> であれば、<math>\psi=0.\,</math>

==用語==
ƒ がすべてのベクトル上恒等的に消えるならば、''' totally degenerate''' と言う。''V'' 上の任意の双線型形式 ƒ が与えられると、ベクトルの集合

:<math>\{x\in V \mid f(x,y) = 0 \mbox{ for all } y \in V\}</math>

は ''V'' の totally degenerate [[線型部分空間|部分空間]]をなす。写像 ƒ が非退化であることとこの部分空間が自明であることは同値である。

用語 ''anisotropic'', ''isotropic'', ''totally isotropic'' がそれぞれ nondegenerate, degenerate, totally degenerate の意味で使われることがある。これらの後者の用語の定義は著者の間でわずかに異なりうるが{{dubious|reason=This sounds like a confusion by an editor. Artin and Kaplansky use these word; were these not the intended meaning? [[Isotropic quadratic form]] agrees with those meanings, not that which is summarized here.|date=September 2014}}。

次のことに気を付けよう。ƒ(''x'',&nbsp;''x'')&nbsp;=&nbsp;0 であるようなベクトル ''x''&nbsp;&isin;&nbsp;''V'' は双線型形式 ƒ に伴う[[等方的二次形式|二次形式]]において等方的 (isotropic) と呼ばれ、等方的直線の存在は形式が退化であることを意味しない。

{{デフォルトソート:たいかけいしき}}
[[Category:双線型形式]]
[[Category:数学に関する記事]]

[[pl:Forma dwuliniowa#Własności]]