逆ガウス分布のソースを表示

[[ファイル:InverseG.png | サムネイル | 右 | 逆ガウス分布]]'''逆ガウス分布'''（ぎゃく-ぶんぷ、{{lang-en-short|inverse Gaussian distribution}}）は、[[連続確率分布]]の一種である。ワルド分布（{{lang-en-short|Wald distribution}}）とも呼ばれる。

== 定義と性質 ==

<math>[0,\infty)</math> の範囲の値を取る実数の確率変数 <math>x</math> が逆ガウス分布に従うとき、その[[累積分布関数]]は以下である。
:<math>
F(x) = \Phi\left\{\sqrt{\frac{\lambda}{x}}\left(\frac{x}{\mu}-1\right)\right\}+\exp\left(\frac{2\lambda}{\mu}\right)\Phi\left\{-\sqrt{\frac{\lambda}{x}}\left(\frac{x}{\mu}+1\right)\right\}
</math>
ここで
:<math>
\Phi(u)=\int_{-\infty}^u\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{z^2}{2}\right)\mathit{dz}
</math>
であり、<math>\mu>0,~\lambda>0</math> がパラメータである。このときの[[確率密度関数]]は以下である。
:<math>
f(x)=\left(\frac{\lambda}{2\pi x^3}\right)^{\frac{1}{2}}\exp\left(-\frac{\lambda(x-\mu)^2}{2\mu^2x}\right)
</math>

期待値は <math>\mu</math>、分散は <math>\frac{\mu^3}{\lambda}</math> である。

<math>\lambda\rightarrow\infty</math> で[[正規分布]]に近づく。特に平均 0、分散 1 の標準逆ガウス分布 <math>\frac{X-\mu}{\sqrt{\mu^3/\lambda}}</math> は標準正規分布 <math>N(0,1)</math> に近づく。

逆ガウス分布の[[キュムラント母関数]] (モーメント母関数の対数) が[[正規分布]]のキュムラント母関数の[[逆関数]]になっているため、この名がある。

==参考文献==
* 蓑谷千凰彦, 統計分布ハンドブック, 朝倉書店 (2003).
* B. S. Everitt (清水良一訳), 統計科学辞典, 朝倉書店 (2002).

== 関連項目 ==
* [[確率分布]]
*[[ブラウン運動]]

== 外部リンク ==
* [http://ibisforest.org/index.php?逆正規分布 朱鷺の杜Wiki]

{{確率分布の一覧}}

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[[Category:確率分布]]
[[Category:数学に関する記事]]