逆三角関数のソースを表示

[[数学]]において、'''逆三角関数'''（ぎゃくさんかくかんすう、'''逆三角函数'''、{{lang-en-short|inverse trigonometric function}}、時折 {{en|cyclometric function}}<ref>例えば {{Cite book |title=Triumph der Mathematik |first=Heinrich |last=Dörrie|others=Trans. David Antin |publisher=Dover |year=1965 |isbn=0-486-61348-8 |page=69}}</ref>）は（[[定義域]]を適切に制限した）[[三角関数]]の[[逆関数]]である。具体的には、それらは正弦 {{en|(sine)}}、余弦 {{en|(cosine)}}、正接 {{en|(tangent)}}、余接 {{en|(cotangent)}}、正割 {{en|(secant)}}、余割 {{en|(cosecant)}} 関数の逆関数である。これらは三角関数値から角度を得るために使われる。逆三角関数は[[工学]]、[[航法]]、[[物理学]]、[[幾何学]]において広く使われる。

== 表記 ==
逆三角関数の表記はたくさんある。しばしば {{math2|sin{{sup|&minus;1}} (''x''), cos{{sup|&minus;1}} (''x''), tan{{sup|&minus;1}} (''x'')}} などの表記が使われるが、この慣習はよく使われる {{math|sin{{sup|2}} (''x'')}} といった、[[写像の合成]]ではなく[[冪乗]]を意味する表記と混同し、それゆえ[[逆関数|合成的逆]]と乗法[[逆元]]との混乱を起こす可能性がある。三角関数には各逆数に名称が付されており、{{math2|1=(cos ''x''){{sup|&minus;1}} = sec ''x''}} といった事実により混乱は幾分改善される。著者によっては別の慣習表記もあり<ref name="Book">{{Cite book |title=Calculus and Analytic Geometry |year=1999 |publisher=Punjab Textbook Board |location=[[Lahore]] |page=140 |author=Prof. Sanaullah Bhatti |edition=First |author2=Ch. Nawab-ud-Din |author3=Ch. Bashir Ahmed |author4=Dr. S. M. Yousuf |author5=Dr. Allah Bukhsh Taheem |editor=Prof. Mohammad Maqbool Ellahi, Dr. Karamat Hussain Dar, Faheem Hussain |language=Pakistani English |chapter=Differentiation of Tigonometric, Logarithmic and Exponential Functions}}</ref>、{{math2|Sin{{sup|&minus;1}} (''x''), Cos{{sup|&minus;1}} (''x'')}} などのように、{{仮リンク|majuscule|en|majuscule|label=大文字の}}最初の文字を {{math2|&minus;1}} の右上添え字とともに用いるという表記がある。これは {{math2|sin{{sup|&minus;1}} (''x''), cos{{sup|&minus;1}} (''x'')}} などによって表現されるべき乗法逆元との混乱を避ける。一方、語頭の大文字を主値を取ることを意味するために使う著者もいる<ref>{{Cite web|和書|url=https://www.mns.kyutech.ac.jp/~okamoto/education/mathformula/inverse-trigonometric-func080528b.pdf |title=逆三角関数―その多価関数性と主値 |publisher=岡本良治 |accessdate=2022-04-01}}</ref>。また別の慣習は接頭辞に arc- を用いることであり、右上の {{math|&minus;1}} の添え字の混乱は完全に解消される。その際の表記は {{math2|arcsin (''x''), arccos (''x''), arctan (''x''), arccot (''x''), arcsec (''x''), arccsc (''x'')}} となる。本記事では全体的にこの慣習を表記に用いる。[[コンピュータ言語]]では、逆三角関数の表記は通常 asin, acos, atan が使われている。

== 歴史 ==
接頭辞 "arc" の起源は、[[ラジアン|弧度法]]に由来する。例えば、「余弦が {{mvar|x}} となる角度」は、[[単位円]]において、「余弦が {{mvar|x}} となる[[弧 (幾何学)|弧]] (arc)」と同義である<ref>"Inverse trigonometric functions" in ''The Americana: a universal reference library'', Vol.21, Ed. Frederick Converse Beach, George Edwin Rines, (1912).</ref>。

逆正接函数の数表は実用上の要請から、すでに[[クラウディオス・プトレマイオス]]によって作成されていたという<ref>[[一松信]]『教室に電卓を！ 3』[[海鳴社]]、1986年11月。</ref>。
{{main|atan2}}
{{See also|:en:CORDIC}}

== 基本的な性質 ==
=== 主値 ===
6つの三角関数はいずれも[[単射]]でないから、その逆関係は[[多価関数]]である。逆関数を考えるには、変域を[[制限 (数学)|制限]]する。それゆえ逆関数の[[値域]]はもとの関数の定義域の真の[[部分集合]]である。

例えば、[[平方根]]関数 {{math2|1=''y'' = {{sqrt|''x''}}}} は {{math2|1=''y''{{sup|2}} = ''x''}} から定義できるのと同様に、関数 {{math2|1=''y'' = arcsin(''x'')}} は {{math2|1=sin(''y'') = ''x''}} であるように定義される。{{math2|1=sin ''y'' = ''x''}} となる数 {{mvar|y}} は無数にある；例えば {{math2|1=0 = sin 0 = sin π = sin 2π = …}} となっている。返す値を1つだけにするために、関数はその{{仮リンク|主枝 (数学)|label=主枝|en|principal branch}}に制限する。この制限の上で、定義域内の各 {{mvar|x}} に対して表現 {{math|arcsin(''x'')}} はその[[主値]]と呼ばれるただ1つの値だけを返す。これらの性質はすべての逆三角関数について同様に当てはまる。

主逆関数は以下の表にリストされる。
{|class="wikitable" style="text-align:center"
!名前
!通常の表記
!定義
!実数を与える {{mvar|x}} の定義域
!通常の主値の終域<br>（[[ラジアン]]）
!通常の主値の終域<br>（[[度 (角度)|度]]）
|-
|'''逆正弦<br>(arcsine)'''||{{math|''y'' {{=}} arcsin&thinsp;''x''}}||{{math|1=''x'' = sin&thinsp;''y''}}|| {{math|&minus;1 ≤ ''x'' ≤ 1}}||{{math|&minus;{{sfrac|π|2}} ≤ ''y'' ≤ {{sfrac|π|2}}}}||{{math|&minus;90° ≤ ''y'' ≤ 90°}}
|-
|'''逆余弦<br>(arccosine)'''||{{math|1=''y'' = arccos&thinsp;''x''}}||{{math|1=''x'' = cos&thinsp;''y''}}||{{math|&minus;1 ≤ ''x'' ≤ 1}}||{{math|0 ≤ ''y'' ≤ π}}||{{math|0° ≤ ''y'' ≤ 180°}}
|-
|'''逆正接<br>(arctangent)'''||{{math|1=''y'' = arctan&thinsp;''x''}}||{{math|1=''x'' = tan&thinsp;''y''}}||すべての実数||{{math|&minus;{{sfrac|π|2}} < ''y'' < {{sfrac|π|2}}}}|| {{math|&minus;90° < ''y'' < 90°}}
|-
|'''逆余接<br>(arccotangent)'''||{{math|1=''y'' = arccot&thinsp;''x''}}||{{math|1=''x'' = cot&thinsp;''y''}}||すべての実数
|{{math|0 < ''y'' < π}}||{{math|0° < ''y'' < 180°}}
|-
|'''逆正割<br>(arcsecant)'''||{{math|1=''y'' = arcsec&thinsp;''x''}}||{{math|1=''x'' = sec&thinsp;''y''}}||{{math|''x'' ≤ −1 or 1 ≤ ''x''}}||{{math|0 ≤ ''y'' < {{sfrac|π|2}} or {{sfrac|π|2}} < ''y'' ≤ π}}||{{math|0° ≤ ''y'' < 90° or 90° < ''y'' ≤ 180°}}
|-
|'''逆余割<br>(arccosecant)'''||{{math|1=''y'' = arccsc&thinsp;''x''}}||{{math|1=''x'' = csc&thinsp;''y''}}||{{math|''x'' ≤ −1 or 1 ≤ ''x''}}||{{math|&minus;{{sfrac|π|2}} ≤ ''y'' < 0 or 0 < ''y'' ≤ {{sfrac|π|2}}}}||{{math|&minus;90° ≤ ''y'' < 0° or 0° < ''y'' ≤ 90°}}
|}
（注意：逆正割関数の終域を {{math2|(0 ≤ ''y'' < {{sfrac|π|2}} or π ≤ ''y'' < {{sfrac|3|2}}π)}} と定義する著者もいる。なぜならば正接関数がこの定義域上非負だからである。これによっていくつかの計算がより首尾一貫したものになる。例えば、この終域を用いて、{{math2|1=tan(arcsec(''x'')) = {{sqrt|''x''{{sup|2}} &minus; 1}}}} と表せる。一方で終域 {{math2|(0 ≤ ''y'' < {{sfrac|π|2}} or {{sfrac|π|2}} < ''y'' ≤ π)}} を用いる場合、{{math2|1=tan(arcsec(''x'')) = ± {{sqrt|''x''{{sup|2}} &minus; 1}}}} と書かねばならない、なぜならば正接関数は {{math2|0 ≤ ''y'' < {{sfrac|π|2}}}} 上は負でないが {{math2|{{sfrac|π|2}} < ''y'' ≤ π}} 上は正でないからである。類似の理由のため、同じ著者は逆余割関数の終域を {{math2|(&minus;π < ''y'' ≤ &minus;{{sfrac|π|2}} or 0 < ''y'' ≤ {{sfrac|π|2}})}} と定義する。）

{{mvar|x}} が[[複素数]]であることを許す場合、{{mvar|y}} の終域はその実部にのみ適用する。

=== 三角関数と逆三角関数の関係 ===
逆三角関数の三角関数を以下の表に示す。表にある関係を導くには、単純には幾何学的な考察から、[[直角三角形]]の一辺の長さを 1 とし、他方の辺の長さを {{math2|0 ≤ ''x'' ≤ 1}} にとって[[ピタゴラスの定理]]と三角比の定義を適用すればよい（表中の図を参照）。このような幾何学的な手段を用いない、純代数学的導出はより長いものとなる。
{|class="wikitable"
!<math>\theta</math>
!<math>\sin \theta</math>
!<math>\cos \theta</math>
!<math>\tan \theta</math>
!図
|-
!<math>\arcsin x</math>
|<math>\sin \arcsin x = x</math>
|<math>\cos \arcsin x = \sqrt{1-x^2}</math>
|<math>\tan \arcsin x = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|[[File:Trigonometric functions and inverse3.svg|150px]]
|-
!<math>\arccos x</math>
|<math>\sin \arccos x = \sqrt{1-x^2}</math>
|<math>\cos \arccos x = x</math>
|<math>\tan \arccos x = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}</math>
|[[File:Trigonometric functions and inverse.svg|150px]]
|-
!<math>\arctan x</math>
|<math>\sin \arctan x = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\cos \arctan x = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\tan \arctan x = x</math>
|[[File:Trigonometric functions and inverse2.svg|150px]]
|-
!<math>\arccot x</math>
|<math>\sin \arccot x = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\cos \arccot x = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\tan \arccot x = \frac{1}{x}</math>
|[[File:Trigonometric functions and inverse4.svg|150px]]
|-
!<math>\arcsec x</math>
|<math>\sin \arcsec x = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}</math>
|<math>\cos \arcsec x = \frac{1}{x}</math>
|<math>\tan \arcsec x = \sqrt{x^2-1}</math>
|[[File:Trigonometric functions and inverse6.svg|150px]]
|-
!<math>\arccsc x</math>
|<math>\sin \arccsc x = \frac{1}{x}</math>
|<math>\cos \arccsc x = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}</math>
|<math>\tan \arccsc x = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}</math>
|[[File:Trigonometric functions and inverse5.svg|150px]]
|}

=== 逆三角関数の間の関係 ===
[[File:Arcsine Arccosine.svg|168px|thumb|平面上の直交座標系で図示された arcsin(''x'')（{{Color|red|赤}}）と arccos(''x'')（{{Color|blue|青}}）の通常の定義における主値。]]
[[File:Arctangent Arccotangent.svg|294px|thumb|平面上の直交座標系で図示された arctan(''x'')（{{Color|red|赤}}）と arccot(''x'')（{{Color|blue|青}}）の通常の定義における主値。]]
[[File:Arcsecant Arccosecant.svg|294px|thumb|平面上の直交座標系で図示された arcsec(''x'')（{{Color|red|赤}}）と arccsc(''x'')（{{Color|blue|青}}）の主値。]]

余角：
:<math>\begin{align}
  \arccos x &= \frac\pi{2} - \arcsin x \\
  \arccot x &= \frac\pi{2} - \arctan x \\
  \arccsc x &= \frac\pi{2} - \arcsec x
\end{align}</math>

負角：
:<math>\begin{align}
  \arcsin (-x) &= - \arcsin x \\
  \arccos (-x) &= \pi - \arccos x \\
  \arctan (-x) &= - \arctan x \\
  \arccot (-x) &= \pi - \arccot x \\
  \arcsec (-x) &= \pi - \arcsec x \\
  \arccsc (-x) &= - \arccsc x
\end{align}</math>

逆数：
:<math>\begin{align}
  \arccos \frac{1}{x} &= \arcsec x \\
  \arcsin \frac{1}{x} &= \arccsc x \\
  \arctan \frac{1}{x} &= \frac\pi{2} - \arctan x = \arccot x, \text{ if } x>0 \\
  \arctan \frac{1}{x} &= -\frac\pi{2} - \arctan x = -\pi + \arccot x, \text{ if } x<0 \\
  \arccot \frac{1}{x} &= \frac\pi{2} - \arccot x =\arctan x, \text{ if } x>0 \\
  \arccot \frac{1}{x} &= \frac{3}{2} \pi - \arccot x = \pi + \arctan x, \text{ if } x<0 \\
  \arcsec \frac{1}{x} &= \arccos x \\
  \arccsc \frac{1}{x} &= \arcsin x
\end{align}</math>

[[#三角関数と逆三角関数の関係|表]]から {{math|sin}} の項目を参照すれば：
:<math>\begin{align}
  \arccos x &= \arcsin \sqrt{1-x^2},\text{ if } 0 \leq x \leq 1 \\
  \arctan x &= \arcsin \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
\end{align}</math>
ここでは複素数の平方根を、正の実部（あるいは平方が負の実数であれば正の虚部）を持つように選ぶ。

{{仮リンク|タンジェント半角公式|label=半角公式|en|tangent half-angle formula}} <math>\tan \frac\theta{2} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}</math> から、次を得る：
:<math>\begin{align}
  \arcsin x &= 2 \arctan \frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}} \\[1ex]
  \arccos x &= 2 \arctan \frac{\sqrt{1 - x^2}}{1+x}, \text{ if } -1 < x \leq + 1 \\[1ex]
  \arctan x &= 2 \arctan \frac{x}{1 + \sqrt{1 + x^2}}
\end{align}</math>

=== 逆正接加法定理 ===
:<math>\arctan u + \arctan v = \arctan \frac{u+v}{1-uv} \pmod \pi, \qquad u v \ne 1 \,.</math>
これは正接の[[三角関数の公式の一覧#加法定理|加法定理]]
:<math>\tan ( \alpha + \beta ) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}</math>
から
:<math>\alpha = \arctan u \,, \quad \beta = \arctan v</math>
とすることで導かれる。

== 微分積分学 ==
=== 逆三角関数の導関数 ===
{{main|三角関数の公式の一覧#逆三角関数に関する公式}}
{{mvar|z}} の複素数値の[[導関数]]は次の通りである：
:<math>\begin{align}
\frac{d}{dz} \arcsin z &= \frac{1}{\sqrt{1-z^2}}; \quad z \neq \pm 1 \\
\frac{d}{dz} \arccos z &= \frac{-1}{\sqrt{1-z^2}}; \quad z \neq \pm 1 \\
\frac{d}{dz} \arctan z &= \frac{1}{1+z^2}; \quad z \neq \pm i \\
\frac{d}{dz} \arccot z &= \frac{-1}{1+z^2}; \quad z \neq \pm i \\
\frac{d}{dz} \arcsec z &= \frac{1}{z^2 \sqrt{1 - z^{-2}}}; \quad z \neq 0, \pm 1 \\
\frac{d}{dz} \arccsc z &= \frac{-1}{z^2 \sqrt{1 - z^{-2}}}; \quad z \neq 0, \pm 1
\end{align}</math>
{{mvar|x}} が実数である場合のみ、以下の関係が成り立つ：
:<math>
\begin{align}
\frac{d}{dx} \arcsec x &= \frac{1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x|>1 \\
\frac{d}{dx} \arccsc x &= \frac{-1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x|>1
\end{align}</math>

導出例：{{math2|1=''θ'' = arcsin&thinsp;''x''}} であれば：
:<math>\frac{d \arcsin x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sin \theta} = \frac{d \theta}{\cos \theta \, d \theta} = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>

=== 定積分としての表現 ===
導関数を積分し一点で値を固定すると逆三角関数の定積分としての表現が得られる：
:<math>\begin{align}
\arcsin x &= \int_0^x \frac{dz}{\sqrt{1 - z^2}}, \qquad |x| \leq 1 \\
\arccos x &= \int_x^1 \frac{dz}{\sqrt{1 - z^2}}, \qquad |x| \leq 1 \\
\arctan x &= \int_0^x \frac{dz}{z^2 + 1}, \\
\arccot x &= \int_x^\infty \frac{dz}{z^2 + 1}, \\
\arcsec x &= \int_1^x \frac{dz}{z \sqrt{z^2 - 1}}, \qquad x \geq 1 \\
\arcsec x &= \pi + \int_x^{-1} \frac{dz}{z \sqrt{z^2 - 1}}, \qquad x \leq -1 \\
\arccsc x &= \int_x^\infty \frac{dz}{z \sqrt{z^2 - 1}}, \qquad x \geq 1 \\
\arccsc x &= \int_{-\infty}^x \frac{dz}{z \sqrt{z^2 - 1}}, \qquad x \leq -1
\end{align}</math>
{{math2|1=''x'' = 1}} では被積分関数値は定義できないが、定積分としては[[広義積分]]として[[well-defined|きちんと定義されている]]。

=== 級数 ===
正弦・余弦関数のように、逆三角関数は次のように[[級数]]を用いて計算できる：
:<math>\begin{align}
\arcsin z &= \textstyle\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{\binom{2n} n}{4^n (2n+1)} z^{2n+1} \\
  &= \textstyle\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \dfrac{z^{2n+1}}{2n+1} \\
  &= z + \left( \frac{1}{2} \right) \frac{z^3}{3} + \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right) \frac{z^5}{5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac{z^7}{7} + \dotsb; \qquad |z| \le 1
\end{align}</math>

<!-- 読みやすくするための余分な空白行 -->

:<math>\begin{align}
\arccos z &= \frac\pi{2} - \arcsin z \\
  &= \frac\pi{2} - \textstyle\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{\binom{2n} n}{4^n (2n+1)} z^{2n+1} \\
  &= \frac\pi{2} - \left( z + \left( \frac{1}{2} \right) \frac{z^3}{3} + \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right) \frac{z^5}{5} + \dotsb \right); \quad |z| \le 1
\end{align}</math>

<!-- 読みやすくするための余分な空白行 -->

:<math>\begin{align}
\arctan z &= \textstyle\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n}{2n+1} z^{2n+1} \\
  &= z - \frac{z^3}{3} + \frac{z^5}{5} - \frac{z^7}{7} + \dotsb; \quad |z| \le 1, z \neq \pm i
\end{align}</math>

<!-- 読みやすくするための余分な空白行 -->

:<math>\begin{align}
\arccot z &= \dfrac\pi{2} - \arctan z \\
  &= \frac\pi{2} - \textstyle\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n}{2n+1} z^{2n+1} \\
  &= \frac\pi{2} - \left( z - \frac{z^3}{3} + \frac{z^5}{5} - \frac{z^7}{7} + \dotsb \right); \quad |z| \le 1, z \neq \pm i
\end{align}</math>

<!-- 読みやすくするための余分な空白行 -->

:<math>\begin{align}
\arcsec z &= \arccos \frac{1}{z} \\
  &= \frac\pi{2} - \textstyle\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{\binom{2n} n}{4^n (2n+1)} z^{-(2n+1)} \\
  &= \frac\pi{2} - \left( z^{-1} + \left( \frac{1}{2} \right) \frac{z^{-3}}{3} + \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right) \frac{z^{-5}}{5} + \dotsb \right); \quad |z| \ge 1
\end{align}</math>

<!-- 読みやすくするための余分な空白行 -->

:<math>\begin{align}
\arccsc z &= \arcsin \frac{1}{z} \\
  &= \textstyle\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{\binom{2n} n} {4^n (2n+1)} z^{-(2n+1)} \\
  &= z^{-1} + \left( \frac{1}{2} \right) \frac{z^{-3}}{3} + \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right) \frac{z^{-5}}{5} + \dotsb; \quad |z| \ge 1
\end{align}</math>

<!-- extra blank line for legibility -->

[[レオンハルト・オイラー]] ({{en|Leonhard Euler}}) は逆正接関数のより効率的な級数を見つけた：
:<math>\arctan z = \frac{z}{1+z^2} \textstyle\sum\limits_{n=0}^\infty \prod\limits_{k=1}^n \dfrac{2k z^2}{(2k+1)(1+z^2)}.</math>
:（{{math2|1=''n'' = 0}} に対する和の項は {{math|1}} である [[0 項の積]]であることに注意する。）

<!-- extra blank line for legibility -->

代わりにこれは次のようにも書ける<ref>{{Cite journal |last=Chien-Lih |first=Hwang |year=2005 |title=89.67 An Elementary Derivation of Euler's Series for the Arctangent Function |url=https://www.jstor.org/stable/3621947 |journal=The Mathematical Gazette |volume=89 |issue=516 |pages=469-470 |issn=0025-5572}}</ref>：
:<math>\arctan z = \textstyle\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{2^{2n}(n!)^2}{(2n+1)!} \; \dfrac{z^{\,2n+1}}{( 1+z^2 )^{n+1}}</math>

<!-- extra blank line for legibility -->

ここから次の級数も得られる：
:<math>(\arcsin z)^2 = \textstyle\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{2^{2n+1}(n!)^2}{(2n+2)!} \; z^{\,2n+2}</math>

==== 変種：逆正接関数の連分数 ====
逆正接関数の冪級数の2つの代わりはこれらの{{仮リンク|一般化連分数|en|generalized continued fraction}}である：
:<math>\begin{align}
\arctan z
  &= \cfrac{z} {1+\cfrac{(1z)^2}{3-1z^2+\cfrac{(3z)^2}{5-3z^2+\cfrac{(5z)^2}{7-5z^2+\cfrac{(7z)^2}{9-7z^2+\ddots}}}}} \\
  &= \cfrac{z}{1+\cfrac{(1z)^2}{3+\cfrac{(2z)^2}{5+\cfrac{(3z)^2}{7+\cfrac{(4z)^2}{9+\ddots\,}}}}}
\end{align}</math>
これらの2番目は cut 複素平面において有効である。{{math2|&minus;''i''}} から虚軸を下がって無限の点までと {{mvar|i}} から虚軸を上がって無限の点までの2つの cut がある。それは {{math|&minus;1}} から {{math|1}} まで走る実数に対して最もよく働く。部分分母は奇数であり部分分子は（最初の後）単に {{math2|(''nz''){{sup|2}}}} であり各完全平方が一度現れる。1つ目は[[レオンハルト・オイラー]]によって開発された。2つ目は{{仮リンク|ガウスの超幾何級数|en|Gaussian hypergeometric series}}を利用して[[カール・フリードリヒ・ガウス]] ({{en|Carl Friedrich Gauss}}) によって開発された。

=== 逆三角関数の不定積分 ===
実および複素値 {{mvar|x}} に対して：
:<math>\begin{align}
\int \arcsin x\,dx &= x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C \\
\int \arccos x\,dx &= x\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C \\
\int \arctan x\,dx &= x\arctan x - \frac{1}{2}\log\left(1+x^2\right) + C \\
\int \arccot x\,dx &= x\arccot x + \frac{1}{2}\log\left(1+x^2\right) + C \\
\int \arcsec x\,dx &= x\arcsec x - \log \left[x\left(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2}\right)\right] + C \\
\int \arccsc x\,dx &= x\arccsc x + \log \left[x\left(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2}\right)\right] + C
\end{align}</math>

実数 {{math2|''x'' ≥ 1}} に対して：
:<math>\begin{align}
\int \arcsec x\,dx &= x\arcsec x - \log \left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C \\
\int \arccsc x\,dx &= x\arccsc x + \log \left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C
\end{align}</math>

これらはすべて[[部分積分]]と[[#逆三角関数の導関数|上で示された単純な導関数の形]]を用いて導出できる。

==== 例 ====
<math>\int u\,\mathrm{d}v = uv - \int v\,\mathrm{d}u</math> を用いて、
:<math>\begin{align}
u &= &\arcsin x &\quad\quad\mathrm{d}v = \mathrm{d}x \\
\mathrm{d}u &= &\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}} &\quad\quad v = x
\end{align}</math>

とおく。すると
:<math>\int \arcsin x \, \mathrm{d}x = x \arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x</math>
: <math>k = 1 - x^2</math>
と[[置換積分|置換]]する。すると
: <math>\mathrm{d}k = -2x\,\mathrm{d}x</math>
そして
:<math>\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}k}{\sqrt{k}} = -\sqrt{k}</math>
''x'' に逆置換すると
:<math>\int \arcsin x \, \mathrm{d}x = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2}+C</math>
が出る。

== 複素平面への拡張 ==
逆三角関数は[[解析関数]]であるから、実数直線から複素平面に拡張することができる。その結果は複数のシートと[[分岐点 (数学)|分岐点]]を持つ関数になる。拡張を定義する1つの可能な方法は：
:<math>\arctan z = \int_0^z \frac{dx}{1 + x^2} \quad z \neq \pm i</math>
ただし &minus;''i'' と +''i'' の真の間にない虚軸の部分は主シートと他のシートの間の cut である；
:<math>\arcsin z = \arctan \frac{z}{\sqrt{1 - z^2}} \quad z \neq \pm 1</math>
ただし（平方根関数は負の実軸に沿って cut を持ち）&minus;1 と +1 の真の間にない実軸の部分は arcsin の主シートと他のシートの間の cut である；
:<math>\arccos z = \frac\pi{2} - \arcsin z \quad z \neq \pm 1</math>
これは arcsin と同じ cut を持つ；
:<math>\arccot z = \frac\pi{2} - \arctan z \quad z \neq \pm i</math>
これは arctan と同じ cut を持つ；
:<math>\arcsec z = \arccos \frac{1}{z} \quad z \neq 0, \pm 1</math>
ただし &minus;1 と +1 の両端を含む間の実軸の部分は arcsec の主シートと他のシートの間の cut である；
:<math>\arccsc z = \arcsin \frac{1}{z} \quad z \neq 0, \pm 1</math>
これは arcsec と同じ cut を持つ。

=== 対数を使った形 ===
これらの関数は[[複素対数関数]]を使って表現することもできる。これらの関数の対数表現は三角関数の指数関数による表示を経由して初等的な証明が与えられ、その[[定義域]]を[[複素平面]]に自然に拡張する。
:<math>\begin{align}
\arcsin x &= -i\log (ix+\sqrt{1-x^2}) &= \arccsc \frac{1}{x} \\[10pt]
\arccos x &= -i\log (x-i\sqrt{1-x^2}) = \frac\pi{2}+i\log(ix+\sqrt{1-x^2}) = \frac\pi{2}-\arcsin x &= \arcsec \frac{1}{x} \\[10pt]
\arctan x &= \frac{1}{2}i \{ \log(1-ix)-\log(1+ix)\} &= \arccot \frac{1}{x} \\[10pt]
\arccot x &= \frac{1}{2}i \left\{ \log \left( 1-\frac{i}{x} \right)-\log \left( 1 + \frac{i}{x} \right)\right\} &= \arctan \frac{1}{x} \\[10pt]
\arcsec x &= -i\log \left( i \sqrt{1-\frac{1}{x^2}} + \frac{1}{x} \right) = i\log \left( \sqrt{1-\frac{1}{x^2}} + \frac{i}{x} \right) + \frac\pi{2} = \frac\pi{2} - \arccsc x &= \arccos \frac{1}{x} \\[10pt]
\arccsc x &= -i\log \left( \sqrt{1-\frac{1}{x^2}} + \frac{i}{x} \right) &= \arcsin \frac{1}{x}
\end{align}</math>
ここで注意しておきたいことは、複素対数関数における主値は、複素数の偏角部分 arg の主値の取り方に依存して決まることである。それ故に、ここで示した対数表現における主値は、複素対数関数の主値を基準にすると、[[逆三角関数#基本的な性質|逆三角関数の主値]]で述べた通常の主値と一致しない場合があることに注意する必要がある。一致させたい場合は、対数部の位相をずらすことで対応できる。もし文献により異なる対数表現が与えられているような場合には、主値の範囲を異なる範囲で取る場合であると考えられるので、目的に応じて対数部の位相をずらす必要がある。

==== 証明1 ====
:<math>\arcsin x = \theta</math>
とおくと、
:<math>\sin \theta = x</math>
[[三角関数#複素関数として|正弦の指数関数による定義]]より
:<math>\frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} = x</math>
を得る。
:<math>k=e^{i\,\theta}</math>
とおくと
:<math>\frac{k-\frac{1}{k}}{2i} = x</math>
これを {{mvar|k}} について解くと、
:<math>k^2 -2ix\,k -1 = 0</math>
:<math>e^{i\theta} = k = ix \pm \sqrt{1-x^2}</math>
:<math>\arcsin x = \theta = -i \log (ix \pm \sqrt{1-x^2})</math>
:（正の分枝を選ぶ）

==== 証明2 ====
:<math>\theta = \arcsin x</math>
:<math>e^{i\theta}= \cos \theta + i \sin \theta</math>
:自然対数を取り、{{math|&minus;''i''}} を掛け、{{math2|arcsin&thinsp;''x''}} を {{mvar|θ}} に代入する。
:<math>\arcsin x= -i \log(\cos \arcsin x + i \sin \arcsin x )</math>
:<math>\arcsin x= -i \log (\sqrt{1-x^2} + ix)</math>

<gallery caption="[[複素平面]]における逆三角関数" perrow="4">
Complex arcsin.jpg|<math>\arcsin z</math>
Complex arccos.jpg|<math>\arccos z</math>
Complex arctan.jpg|<math>\arctan z</math>
Complex ArcCot.jpg|<math>\arccot z</math>
Complex ArcSec.jpg|<math>\arcsec z</math>
Complex ArcCsc.jpg|<math>\arccsc z</math>
</gallery>

== 応用 ==
=== 一般の解 ===
各三角関数は引数の実部において周期的であり、2{{π}} の各区間において2度すべてのその値を取る。正弦と余弦は（''k'' を整数として）周期を 2{{pi}}''k'' − {{sfrac|{{pi}}|2}} で始め 2{{π}}''k'' + {{sfrac|{{π}}|2}} で終わり、2{{π}}''k'' + {{sfrac|{{π}}|2}} から 2{{pi}}''k'' + {{sfrac|3|2}}{{π}} までは逆にする。コサインとセカントは周期を 2{{π}}''k'' で始め 2{{π}}''k'' + {{π}} で終わらせそれから 2{{π}}''k'' + {{π}} から 2{{π}}''k'' + 2{{pi}} まで逆にする。タンジェントは周期を 2{{π}}''k'' − {{sfrac|{{π}}|2}} から始め 2{{π}}''k'' + {{sfrac|{{π}}|2}} で終わらせそれから 2{{π}}''k'' + {{sfrac|{{π}}|2}} から 2{{π}}''k'' + {{sfrac|3|2}}{{pi}} まで（前へ）繰り返す。コタンジェントは周期を 2{{π}}''k'' で始め 2{{π}}''k'' + {{π}} で終わらせそれから 2{{pi}}''k'' + {{π}} から 2{{π}}''k'' + 2{{π}} まで（前へ）繰り返す。

この周期性は ''k'' を何か整数として一般の逆において反映される：
:<math>\sin y = x \ \Leftrightarrow \ y = \arcsin x + 2k\pi \text{ or } y = \pi - \arcsin x + 2k\pi</math>
: 1つの方程式に書けば：<math>\sin y = x \ \Leftrightarrow \ y = (-1)^k \arcsin x + k\pi</math>
:<math>\cos y = x \ \Leftrightarrow \ y = \arccos x + 2k\pi \text{ or } y = 2\pi - \arccos x + 2k\pi</math>
: 1つの方程式に書けば：<math>\cos y = x \ \Leftrightarrow \ y = \pm\arccos x + 2k\pi</math>
:<math>\tan y = x \ \Leftrightarrow \ y = \arctan x + k\pi</math>
:<math>\cot y = x \ \Leftrightarrow \ y = \arccot x + k\pi</math>
:<math>\sec y = x \ \Leftrightarrow \ y = \arcsec x + 2k\pi \text{ or } y = 2\pi - \arcsec x + 2k\pi</math>
:<math>\csc y = x \ \Leftrightarrow \ y = \arccsc x + 2k\pi \text{ or } y = \pi - \arccsc x + 2k\pi</math>

==== 応用：直角三角形の鋭角の計量 ====
[[File:Trigonometry triangle.svg|thumb|直角三角形]]
逆三角関数は、[[直角三角形]]において、辺の長さから鋭角を求めるときに有用である。例えば {{math|sin}} の直角三角形による定義を思い出すと
:<math>\theta = \arcsin \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}</math>
が従う。しばしば、斜辺 {{en|('''hypotenuse''')}} は未知であり {{math|arcsin}} や {{math|arccos}} を使う前に、[[ピタゴラスの定理]]：{{math2|1=''a''{{sup|2}} + ''b''{{sup|2}} = ''h''{{sup|2}}}}（{{mvar|h}} は斜辺の長さ）を使って計算される必要がある。逆正接関数はこの状況で重宝する、なぜなら斜辺の長さは必要ないからだ。
:<math>\theta = \arctan \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}.</math>
例えば、7 メートル行くと 3 メートル下がる屋根を考えよう。この屋根は水平線と角度 {{mvar|θ}} をなす。このとき {{mvar|θ}} は次のように計算できる：
:<math>\theta = \arctan \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} = \arctan \frac{\text{rise}}{\text{run}} = \arctan \frac{3}{7} \approx 23.2^{\circ}.</math>

=== コンピュータサイエンスとエンジニアリング ===
==== 逆正接関数の2引数の変種 ====
{{main|[[atan2]]}}
{{math|atan2}} 関数は 2つの引数を取り、与えられた {{math2|''y'', ''x''}} に対して {{math|{{sfrac|''y''|''x''}}}} の逆正接関数値を計算する関数だが、その返り値は {{math2|(&minus;π, π]}} の範囲に定める。言い換えると、{{math2|atan2(''y'', ''x'')}} は座標平面の {{mvar|x}}軸の正の部分と点 {{math2|(''x'', ''y'')}} の間の角度に[[時計回り・反時計回り|反時計回り]]の角度（上半平面、{{math2|''y'' > 0}}）に正の符号、時計回りの角度（下半平面、{{math2|''y'' < 0}}）に負の符号を付けたものである。{{math|atan2}} 関数は最初多くの[[コンピュータ言語]]に導入されたが、今日では他の[[科学]]や[[工学]]の分野においても一般的に用いられている。なお、マイクロソフトの[[Microsoft Excel|Excel]]では引数の順番が逆になっている。

{{math|atan2}} は標準的な {{math|arctan}}、すなわち終域を {{math2|(&minus;{{sfrac|{{π}}|2}}, {{sfrac|{{π}}|2}})}} に持つ、を用いて次のように表現できる：
:<math>\operatorname{atan2}(y,x) = \begin{cases}
\arctan \dfrac{y}{x} &\qquad x>0 \\
\arctan \dfrac{y}{x} + \pi &\qquad y \ge 0, x<0 \\
\arctan \dfrac{y}{x}- \pi &\qquad y<0,x<0 \\
\dfrac{\pi}{2} &\qquad y>0,x=0 \\
-\dfrac{\pi}{2} &\qquad y<0,x=0 \\
\mathrm{undefined} &\qquad y=0,x=0
\end{cases}</math>
それはまた[[複素数]] {{math2|''x'' + ''iy''}} の[[複素数の偏角|偏角]]の[[主値]]にも等しい。

この関数は{{仮リンク|タンジェント半角公式|en|tangent half-angle formula}}を用いて次のようにも定義できる：{{math2|''x'' > 0}} あるいは {{math2|''y'' ≠ 0}} ならば
:<math>\operatorname{atan2}(y,x)=2\arctan \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2} + x}</math>
しかしながらこれは {{math2|''x'' ≤ 0}} かつ {{math2|1=''y'' = 0}} が与えられると成り立たないので、計算機で用いる定義としては適切ではない。

上の引数の順序 {{math2|(''y'', ''x'')}} は最も一般的のようであり、特に[[C言語]]のような[[国際標準化機構|ISO規格]]において用いられるが、少数の著者は逆の慣習 {{math2|(''x'', ''y'')}} を用いているため、注意が必要である。これらのバリエーションは [[:en:atan2#Variations and notation|atan2]] に詳しい。

x, y 共に 0 の場合、インテルの CPU の FPATAN 命令、[[Javaプラットフォーム]]、[[.NET Framework]] などは下記ルールに従っている。
:atan2(+0, +0) = +0
:atan2(+0, −0) = +π
:atan2(−0, +0) = −0
:atan2(−0, −0) = −π

==== 位置パラメータを伴う逆正接関数 ====
多くの応用において{{which|date=2014年3月}}方程式 {{math2|1=''x'' = tan ''y''}} の解 {{mvar|y}} は与えられた値 {{math2|&minus;∞ < ''η'' < ∞}} にできるだけ近い値を取るべきである。適切な解はパラメータ修正逆正接関数
:<math>y=\arctan_\eta x:=\arctan x+\pi\cdot\operatorname{rni}\frac{\eta-\arctan x}{\pi}</math>
によって得られる。丸め関数 <math>\operatorname{rni}</math> は引数に最も近い整数を与える {{en|(<u>r</u>ound to the <u>n</u>earest <u>i</u>nteger)}}。

==== 実際的考慮 ====
{{math|0}} と {{π}} の近くの角度に対して、逆余弦は[[条件数]]であり、計算機において角度計算の実装に用いると精度が落ちてしまう（桁数の制限のため）。同様に、逆正弦は {{math|±{{sfrac|π|2}}}} の近くで精度が低い。すべての角度に対して十分な精度を達成するには、実装では逆正接あるいは [[atan2]] を使うべきである。

==== 確率分布 ====
arctan は[[コーシー分布]]の、arcsinは{{ill|逆正弦分布|en|Arcsine distribution}}の[[累積分布関数]]である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
*[[複素数の偏角]]
*[[複素対数函数]]
*[[ガウスの連分数]]
*[[逆双曲線関数]]
*[[逆三角関数の原始関数の一覧]]
*[[三角関数の公式の一覧]]
*[[平方根]]
*{{仮リンク|タンジェント半角公式|en|Tangent half-angle formula}}
*[[三角関数]]

== 外部リンク ==
*{{Kotobank|逆三角関数|2=[[竹之内脩]]}}
*{{高校数学の美しい物語|787|逆三角関数の重要な性質まとめ}}
*{{MathWorld |urlname=InverseTrigonometricFunctions |title=Inverse Trigonometric Functions}}
*{{SpringerEOM |urlname=Inverse_trigonometric_functions |title=Inverse trigonometric functions}}
*{{PlanetMath |urlname=cyclometricfunctions |title=cyclometric functions}}
*{{MathWorld |urlname=InverseTangent |title=Inverse Tangent}}
*{{PlanetMath |urlnema=integralrelatedtoarcsine |title=integral related to arc sine}}

{{DEFAULTSORT:きやくさんかくかんすう}}
[[Category:解析学]]
[[Category:幾何学]]
[[Category:逆三角関数|*]]
[[Category:初等関数]]
[[Category:三角法]]
[[Category:特殊関数]]
[[Category:数学に関する記事]]