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数学、特に[[微分学]]において'''逆函数定理'''（ぎゃくかんすうていり、{{lang-en-short|inverse function theorem}}）とは、[[関数 (数学)|関数]]が定義域内のある点の[[近傍]]で[[逆写像|可逆]]であるための十分条件を述べるものである。この定理から、逆関数の微分の公式が得られる。

さらに[[多変数微分積分学]]においてこの定理は、[[ヤコビ行列]]が正則となる点を定義域内に持つ任意の [[連続的微分可能性|''C''<sup>1</sup> 級]]{{仮リンク|ベクトル値関数|en|vector-valued function}}へと一般化される。この一般化から、逆関数の[[ヤコビ行列]]の公式が得られる。

このほか、[[複素解析|複素]][[正則関数]]、[[多様体]]間の可微分写像、[[バナッハ空間]]間の可微分写像などに対する逆関数定理も存在する。

== 定理の主張 ==
一変数関数に対しての逆関数定理は次のようになる。
{{ math theorem | 逆関数定理 | [[連続的微分可能|''C''{{sup|1}} 級]]関数 ''f'' の点 ''a'' における[[微分法|微分係数]]が0でないとき、''f'' は ''a'' の[[近傍]]で[[逆写像|可逆]]となり、この逆関数 ''f''{{sup|−1}} もまた ''C''{{sup|1}} 級となる。このとき ''f''{{sup|−1}} は次の式を満たす。
: <math>(1)\qquad \left( f^{-1} \right)' \Bigl( f(a) \Bigr) = \frac{1}{ f'(a) }</math> | note = 一変数の場合 }}

多変数関数に対しての逆関数定理は次のようになる。
{{ math theorem | 逆関数定理 | ''U'' ⊂ '''R'''{{sup|''n''}} を[[開集合]]、''F'' : ''U'' → '''R'''{{sup|''n''}} を ''C''{{sup|1}} 級関数とすると、''F'' の点 ''p'' ∈ ''U'' における[[ヤコビ行列]] ''J{{sub|F}} ''(''p'') が正則であるとき、''F'' は ''p'' の近傍で可逆となり、この逆関数 ''F''{{sup|−1}} もまた ''C''{{sup|1}} 級となる。

このとき ''F''{{sup|−1}} は次の式を満たす。ここで <math>[A]^{-1}</math> は ''A'' の逆行列、<math>J_F(p)</math> は ''F'' の点 ''p'' における[[ヤコビ行列]]である。
: <math>(2)\qquad J_{F^{-1}} \Bigl( F(p) \Bigr) = \Bigl[ J_{F}(p) \Bigr]^{-1}</math> | note = 多変数の場合 }}

式(2)は次の[[連鎖律]]の式から導くこともできる。ここで ''G'', ''H'' はそれぞれ ''H'' (''p''), ''p'' において全微分を持つ関数である。
: <math>(3)\qquad J_{G \circ H} (p) = J_G \Bigl( H(p) \Bigr) \cdot J_H(p)</math>

式(3)の ''G'', ''H'' をそれぞれ ''F''{{sup|−1}}, ''F'' とおくと、<math>G \circ H</math> が[[恒等写像]]となるのでそのヤコビ行列（左辺） <math>J_{G \circ H}(p)</math> は[[単位行列]]となる。これを <math>J_{F^{-1}} \Bigl( F(p) \Bigr)</math> について解くことで式(2)が導かれる。ここで、逆関数定理が ''p'' における ''F''{{sup|−1}} の全微分の存在を示すものであるのに対し、連鎖律は ''H'' (= ''F'') の全微分の存在を仮定したものである。逆関数 ''F''{{sup|−1}} が存在することは、''x'', ''y'' をそれぞれ ''p'', ''F'' (''p'') の十分小さな近傍とするとき ''n'' 本の連立方程式
: <math>(4)\qquad \begin{cases}
 y_1 &= F_1( x_1, \cdots, x_n ) \\
     &\,\vdots \\
 y_n &= F_n( x_1, \cdots, x_n )
\end{cases}</math>
の解 ''x''{{sub|1}}, …, ''x{{sub|n}}'' が ''y''{{sub|1}}, …, ''y{{sub|n}}'' によって記述できることと等しい。

== 例 ==
{{仮リンク|ベクトル値関数|en|vector-valued function}} '''F''' : '''R'''{{sup|2}} → '''R'''{{sup|2}} を次のようにおく。
: <math>
\mathbf{F}(x,y)=
\begin{bmatrix}
 {e^x \cos y}\\
 {e^x \sin y}
\end{bmatrix}
</math>

すると、この '''F''' の (''x'', ''y'') における[[ヤコビ行列]] ''J'' {{sub|'''F'''}} (''x'', ''y'') は
: <math>
 J_{\mathbf F}(x,y)
 = \begin{bmatrix}
  {e^x \cos y} & {-e^x \sin y}\\
  {e^x \sin y} & {e^x \cos y}
 \end{bmatrix}
\,\!</math>

であるから、ヤコビ行列式 det ''J'' {{sub|'''F'''}} (''x'', ''y'') は次のようになる。
: <math>\begin{align}
 \det J_{\mathbf F}(x,y)
 &= \det \begin{bmatrix}
  {e^x \cos y} & {-e^x \sin y}\\
  {e^x \sin y} & {e^x \cos y}
 \end{bmatrix} \\
 &= e^{2x} \cos^2 y + e^{2x} \sin^2 y \\
 &= e^{2x} \\
 &> 0
\end{align} \,\!</math>

ゆえに任意の (''x'', ''y'') においてヤコビ行列 ''J'' {{sub|'''F'''}} (''x'', ''y'') は[[正則関数|正則]]となるので、逆関数定理（多変数の場合）より任意の点 ''p'' ∈ '''R'''{{sup|2}} の[[近傍]]で '''F''' は[[逆写像|可逆]]となる。

注意点として、これは大域的に可逆であることとは異なる。実際 '''F''' は次の式を満たすことから[[単射]]でなく、ゆえに可逆ともならない。
: <math>{\mathbf F}(x ,~ y) = {\mathbf F}(x ,~ y+2\pi)</math>

==証明方法についての注意==
逆関数定理は重要な結果であるから数々の証明が与えられてきた。教科書で最もよくみられる証明は[[収縮写像]]の原理（[[バナッハの不動点定理]]とも呼ばれる）に依っている。（この定理は[[常微分方程式]]の解の{{仮リンク|ピカール・リンデレフの定理|en|Picard–Lindelöf theorem|label=存在と一意性}}の証明における重要な段階としても使うことができる。）この定理は無限次元（バナッハ空間）の場合にも適用するから、逆関数定理の無限次元版（下の[[#一般化]]を参照）の証明に使われる道具である。

別の証明（有限次元のみで有効）として、コンパクト集合上の関数に対する[[最大値最小値定理|最大値の定理]]を重要な道具として用いるものがある<ref name="spivak_manifolds">[[Michael Spivak]], ''Calculus on Manifolds''.</ref>。また別の証明として、[[ニュートン法]]を用いるものがあり、この利点は定理の{{仮リンク|effective method|en|effective method|label=effective}}なバージョンが得られることである。つまり、関数の微分の大きさの上界が与えられると、関数が可逆な近傍の大きさの評価を得ることができる<ref name="hubbard_hubbard">John H. Hubbard and Barbara Burke Hubbard, ''Vector Analysis, Linear Algebra, and Differential Forms: a unified approach'', Matrix Editions, 2001.</ref>。

==一般化==

===多様体===
逆関数定理は[[可微分多様体]]の間の可微分写像に一般化できる。この文脈では定理は以下のようになる。可微分写像 ''F'': ''M'' &rarr; ''N'' に対し、''F'' の[[微分写像]]
:<math>dF_p \colon T_p M \to T_{F(p)} N</math>
が ''M'' の点 ''p'' において[[線型同型]]であれば、''p'' の開近傍 ''U'' が存在して、
:<math>F|_U \colon U \to F(U)</math>
は[[微分同相写像]]となる。これは ''M'' と ''N'' が ''p'' において同じ次元を持たなければならないことを意味することに注意。''F'' の微分が ''M'' のすべての点 ''p'' で同型ならば、写像 ''F'' は[[局所微分同相]]である。

===バナッハ空間===
逆関数定理は[[バナッハ空間]]の間の可微分写像に一般化することもできる。''X'' と ''Y'' をバナッハ空間とし、''U'' を ''X'' の原点の開近傍とする。''F'': ''U'' &rarr; ''Y'' を連続微分可能とし、''F'' の 0 における微分 ''dF''<sub>0</sub>: ''X'' &rarr; ''Y'' は ''X'' から ''Y'' の上への[[有界線型写像|有界]]線型同型であると仮定する。すると ''Y'' における ''F''(0) のある開近傍 ''V'' と連続微分可能な写像 ''G'': ''V'' &rarr; ''X'' が存在して、''V'' のすべての元 ''y'' に対して ''F''(''G''(''y'')) = ''y'' となる。さらに、''G''(''y'') 方程式 ''F''(''x'') = ''y'' の唯一の十分小さい解 ''x'' である。

===バナッハ多様体===
上記二種類の異なった方向への一般化を合わせて考えると、{{仮リンク|バナッハ多様体|en|Banach manifold}}に関する逆写像定理が定式化できる<ref>{{harvnb|Lang|1995}}, {{harvnb|Lang|1999|pages=15&ndash;19, 25&ndash;29}}.</ref>。

=== 階数一定定理 ===
逆写像定理（と[[陰函数定理]]）は「ある点の周りで一定な{{仮リンク|階数 (微分位相幾何学)|label=階数|en|rank (differential topology)}}を持つ滑らかな写像がその点の近くで特定の形の正規形を持つこと」を述べた階数一定定理 (''constant rank'' theorem) の特殊な場合とみることができる<ref name="boothby">Wiilliam M. Boothby, ''An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry'', Academic Press, 2002, ISBN 0-12-116051-3.</ref>。

具体的に、滑らかな写像 {{math|''F'': ''M'' → ''N''}} は点 {{mvar|p}} の近くで階数が一定とすれば、{{mvar|p}} の近傍 {{mvar|U}} と {{math|''F''(''p'')}} の近傍 {{mvar|V}} が存在して、微分同相 {{math|''u'': ''T''{{sub|''p''}}''M'' → ''U''}} および {{math|''v'': ''T''{{sub|''F''(''p'')}}''N'' → ''V''}} で {{math|''F''(''U'') &sube; ''V''}} かつ微分 {{math|''dF''{{sub|''p''}}: ''T''{{sub|''p''}}''M'' →  ''T''{{sub|''F''(''p'')}}''N''}} が {{math|''v''{{sup|&minus;1}} ∘ ''F'' ∘ ''u''}} に等しくなるようなものが取れる。つまり、{{mvar|F}} は {{mvar|p}} の近くでその微分「のようにみえる」ということである。階数函数の半連続性から、その点の近くで微分が階数一定となるような点全体の成す集合は、もとの写像の定義域の稠密な開部分集合であることが従う。ゆえに階数一定定理は定義域の全体に亙って「生成的に」適用できる。

{{mvar|F}} の微分が点 {{mvar|p}} において単射（あるいは全射）ならば {{mvar|p}} の適当な近傍でも単射（あるいは全射）ゆえ {{mvar|F}} は階数一定、従って階数一定定理が適用される。
<!--
===Constant rank theorem===
The inverse function theorem (and the [[implicit function theorem]]) can be seen as a special case of the constant rank theorem, which states that a smooth map with locally constant [[rank (differential topology)|rank]] near a point can be put in a particular normal form near that point.<ref name="boothby">Wiilliam M. Boothby, ''An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry'', Academic Press, 2002, ISBN 0-12-116051-3.</ref> When the derivative of <math>F</math> is invertible at a point <math>p</math>, it is also invertible in a neighborhood of <math>p</math>, and hence the rank of the derivative is constant, so the constant rank theorem applies.
-->

===正則関数===
'''C'''<sup>''n''</sup> の開集合 ''U'' から '''C'''<sup>''n''</sup> への[[正則関数]] ''F'' の[[ヤコビ行列]]（この文脈では行列は[[複素微分]]の行列である）が点 ''p'' で可逆であれば、''F'' は ''p'' の近くで可逆な関数である。これは上の定理から直ちに従う。この逆関数は再び正則関数であることも示すことができる<ref>K. Fritzsche, H. Grauert, [https://books.google.de/books?id=jSeRz36zXIMC&lpg=PP1&dq=fritzsche+grauert&hl=de&pg=PA33#v=onepage&q&f=false "From Holomorphic Functions to Complex Manifolds"], Springer-Verlag, (2002). Page 33.</ref>。

==関連項目==
* [[陰函数定理]]

==脚注==
{{reflist}}

==参考文献==
* {{cite book|ref=harv|last1=Lang|first1=Serge|authorlink1=Serge Lang|title=Differential and Riemannian Manifolds|publisher=Springer|year=1995|isbn=0-387-94338-2}}
*{{Cite book|ref=harv | isbn = 978-0-387-98593-0 | title = Fundamentals of Differential Geometry | last1 = Lang | first1 = Serge |authorlink1=Serge Lang| year = 1999 |publisher=Springer|location=New York| series = Graduate Texts in Mathematics}}
* {{cite journal
|     last = Nijenhuis
|    first = Albert
|authorlink= Albert Nijenhuis
|    title = Strong derivatives and inverse mappings
|  journal = [[The American Mathematical Monthly|Amer. Math. Monthly]]
|   volume = 81
|     year = 1974
|    pages = 969&ndash;980
|    doi = 10.2307/2319298
|     issue = 9
}}
* {{cite book
|   author = Renardy, Michael and Rogers, Robert C.
|    title = An introduction to partial differential equations
|   series = Texts in Applied Mathematics 13
|  edition = Second
|publisher = Springer-Verlag
| location = New York
|     year = 2004
|    pages = 337&ndash;338
|       isbn = 0-387-00444-0
}}
* {{cite book
|     last = Rudin
|    first = Walter
|authorlink= Walter Rudin
|    title = Principles of mathematical analysis
|  edition = Third
|   series = International Series in Pure and Applied Mathematics
|publisher = McGraw-Hill Book Co.
| location = New York
|     year = 1976
|    pages = 221&ndash;223
}}

{{Functional Analysis}}

{{DEFAULTSORT:きやくかんすうていり}}
[[Category:多変数微分積分学]]
[[Category:微分位相幾何学]]
[[Category:逆写像]]
[[Category:実解析の定理]]
[[Category:微分積分学の定理]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[de:Satz von der impliziten Funktion#Satz von der Umkehrabbildung]]