逆双曲線関数のソースを表示

[[File:Mplwp inverse hyperbolic functions.svg|thumb|300px|right|6つの逆双曲線関数 ({{Color|#0000cc|arsinh}}, {{Color|#dd00aa|arcosh}}, {{Color|#bbbb00|artanh}}, {{Color|#00bb00|arcoth}}, {{Color|#00bbcc|arsech}}, {{Color|#af77dd|arcsch}}) のグラフ]]
'''逆双曲線関数'''（ぎゃくそうきょくせんかんすう、{{lang-en|inverse hyperbolic functions}}）は、[[数学]]において与えられた[[双曲線関数]]の値に対応して{{仮リンク|双曲角|en|hyperbolic angle}}を与える[[関数 (数学)|関数]]。双曲角の大きさは[[双曲線]] ''x y'' = 1に対応する{{仮リンク|双曲的扇形|en|hyperbolic sector}}の[[面積]]に等しく、[[単位円]]の[[扇形]]の面積は対応する[[中心角]]の''2分の1'' である。一部の研究者は逆双曲線関数のことを、双曲角を明確に理解するため「面積関数」（{{lang-en|area function}}）と呼ぶ。

逆双曲線関数を表す略記法 ''arsinh'' や''arcosh'' とは異なる略記法として、''arcsinh'' や''arccosh'' などが本来誤表記であるにもかかわらず良く使用されるのだが、[[接頭辞]]''arc'' は''arcus'' （[[弓]]）の省略形であり、接頭辞''ar'' は''area'' の省略形である<ref name="Gullberg1997">[[:en:Jan Gullberg|Jan Gullberg]], ''Mathematics: From the Birth of Numbers'' （[[ニューヨーク|New York]]: [[:en:W. W. Norton & Company|W. W. Norton & Company]], [[1997年|1997]]）, ISBN 0-393-04002-X, p. 539には以下のような記述がある。

<blockquote>arcsinh&nbsp;''x'', arccosh&nbsp;''x'' などの似て非なる表記法は、厳しく糾弾されなければならない。実際これらの関数は<u>arc</u>とは何らの関係もなく、<u>ar</u>eaと関係するものであり、それはラテン語で書かれた真の名前が証明している。

arsinh &nbsp;&nbsp;&nbsp; = {{lang-la|''area sinus hyperbolicus''}}
arcosh &nbsp;&nbsp;&nbsp; = {{lang-la|''area cosinus hyperbolicus}}
</blockquote></ref><ref name="ZeidlerEtAl2004">Eberhard Zeidler, Wolfgang Hackbusch and Hans Rudolf Schwarz, ''Oxford Users' Guide to Mathematics'' (Bruce Hunt英訳, [[オックスフォード|Oxford]]: [[オックスフォード大学出版局|Oxford University Press]], [[2004年|2004]]), ISBN 0-19-850763-1, Section 0.2.13: "The inverse hyperbolic functions", p. 68には以下のような記述がある。{{Cquote|逆双曲線関数のラテン語名は、area sinus hyperbolicus, area cosinus hyperbolicus, area tangens hyperbolicusそしてarea cotangens hyperbolicus (''x'').&nbsp;...である。}}
 上記の引用では、arsinh, arcosh, artanh, arcothをそれぞれの逆双曲線関数の表記法として採用している。</ref><ref name="BronshteinEtAl2007">Ilja N. Bronshtein, Konstantin A. Semendyayev, Gerhard Musiol and Heiner Muehlig, ''Handbook of Mathematics'' （[[ベルリン|Berlin]]: [[シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア|Springer-Verlag]], 5th ed., [[2007年|2007]]）, ISBN 3-540-72121-5, {{doi|10.1007/978-3-540-72122-2}}, Section 2.10: "Area Functions", p. 91には以下のような記述がある。

<blockquote>''面積関数''は双曲線関数の逆関数すなわち''逆双曲線関数'' である。関数sinh ''x'', tanh ''x'' およびcoth ''x'' は狭義単調関数であるので、何らの制限事項も設けることなく各々が逆関数を持つ。関数cosh ''x'' の定義域は2つの単調な（無限）区間に分けられるので、二つの逆関数を考えることができる。また名前にある ''面積'' と言う語は、この関数の幾何学的な定義が特定の双曲的扇形の面積であるという事実を意味している。...</blockquote></ref>。argsinh, argcosh, argtanhなどの表記を好んで用いる研究者もいる。[[計算機科学]]の分野では、しばしば''asinh'' という省略形を用いる。[[累乗]]を表す上付き文字&minus;1と誤解しないように注意を払う必要があるという事実にもかかわらず、{{nowrap|sinh<sup>&minus;1</sup>(''x''),}} {{nowrap|cosh<sup>&minus;1</sup>(''x''),}} などの略記も用いられる。また、{{nowrap|cosh<sup>&minus;1</sup>(''x'')}}と{{nowrap|cosh(''x'')<sup>&minus;1</sup>}}は似て非なるものである。

== 対数表現 ==
各関数は[[複素数平面]]で次のように定義される。

:<math>
  \begin{align}
    \operatorname{arsinh}\, z &= \ln(z + \sqrt{z^2 + 1} \,)
    \\[2.5ex]
    \operatorname{arcosh}\, z &= \ln(z + \sqrt{z+1} \sqrt{z-1} \,)
    \\[1.5ex]
    \operatorname{artanh}\, z &= \tfrac12\ln\left(\frac{1+z}{1-z}\right)
    \\
    \operatorname{arcoth}\, z &= \tfrac12\ln\left(\frac{z+1}{z-1}\right)
    \\
    \operatorname{arcsch}\, z &= \ln\left( \frac{1}{z} + \sqrt{ \frac{1}{z^2} +1 } \,\right)
    \\
    \operatorname{arsech}\, z &= \ln\left( \frac{1}{z} + \sqrt{ \frac{1}{z} + 1 } \, \sqrt{ \frac{1}{z} -1 } \,\right)
  \end{align}
</math>

上記の[[平方根]]は正の平方根であり、[[対数関数]]は[[複素対数]]である。実数の[[引数]]、例えばz = xは実数値を返すが、一定の簡素化を行うことが可能であり、例えば   <math>\sqrt{x+1}\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2-1}</math>は正の平方根を使うとき、一般に真ではない。
{{multiple image
 | align = center
 | width = 140
 | footer = z平面（複素数平面）における逆双曲線関数：平面における各点の色はその点における関数の複素数を表す。
 | image1 = Complex ArcSinh.jpg
 | image2 = Complex ArcCosh.jpg
 | image3 = Complex ArcTanh.jpg
 | image4 = Complex ArcCoth.jpg
 | image5 = Complex ArcSech.jpg
 | image6 = Complex ArcCsch.jpg
 | alt1 = Square representing central portion of the complex z-plane painted in psychedelic colours
 | alt2 = Square representing central portion of the complex z-plane painted in psychedelic colours
 | alt3 = Square representing central portion of the complex z-plane painted in psychedelic colours
 | alt4 = Square representing central portion of the complex z-plane painted in psychedelic colours
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 | alt6 = Square representing central portion of the complex z-plane painted in psychedelic colours
 | caption1 = <math>\operatorname{arsinh}(z)</math>
 | caption2 = <math>\operatorname{arcosh}(z)</math>
 | caption3 = <math>\operatorname{artanh}(z)</math>
 | caption4 = <math>\operatorname{arcoth}(z)</math>
 | caption5 = <math>\operatorname{arsech}(z)</math>
 | caption6 = <math>\operatorname{arcsch}(z)</math>
 }}

== 級数展開 ==

上記の関数は次のように級数展開できる。

:<math>\begin{align}\operatorname{arsinh}\, x & = x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} +\cdots \\
                       & = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1  \end{align} </math>

:<math>\begin{align}\operatorname{arcosh}\, x & = \ln 2x - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots \right) \\
                      & = \ln 2x - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {(2n)} , \qquad x > 1 \end{align} </math>

:<math>\begin{align}\operatorname{artanh}\, x & = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots \\
                      & = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1 \end{align} </math>

:<math>\begin{align}\operatorname{arcsch}\, x = \operatorname{arsinh} \frac1x & = x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} +\cdots \\
                      & = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| > 1 \end{align} </math>

:<math>\begin{align}\operatorname{arsech}\, x = \operatorname{arcosh} \frac1x & = \ln \frac{2}{x} - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots \right) \\
                      & = \ln \frac{2}{x} - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {2n} , \qquad 0 < x \le 1 \end{align} </math>

:<math>\begin{align}\operatorname{arcoth}\, x = \operatorname{artanh} \frac1x & = x^{-1} + \frac {x^{-3}} {3} + \frac {x^{-5}} {5} + \frac {x^{-7}} {7} +\cdots \\
                      & = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| > 1 \end{align} </math>

また[[レオンハルト・オイラー|オイラー]]によるarctanの展開<ref>{{Cite journal|last=Chien-Lih|first=Hwang|date=2005|title=89.67 An Elementary Derivation of Euler's Series for the Arctangent Function|url=https://www.jstor.org/stable/3621947|journal=The Mathematical Gazette|volume=89|issue=516|pages=469–470|issn=0025-5572}}</ref>の類似も成り立つ。

:<math>\operatorname{artanh}\, x = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n+1)!} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(1-x^2)^{n+1}} , \qquad \left| x \right| < \frac{1}{\sqrt{2}} </math>

:<math>(\operatorname{arsinh}\, x)^2 = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2n+1}(n!)^2}{(2n+2)!} (-1)^n x^{2n+2} , \qquad \left| x \right| < 1</math>

arsinh ''x'' に対する[[漸近展開]]は次の式で与えられる。

:<math>\operatorname{arsinh}\, x = \ln 2x + \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\left( { - 1} \right)^{n - 1} \frac{{\left( {2n - 1} \right)!!}}{{2n\left( {2n} \right)!!}}} \frac{1}{{x^{2n} }}</math>

== 導関数 ==
:<math>
\begin{align}
\frac{d}{dx} \operatorname{arsinh}\, x & {}= \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcosh}\, x & {}= \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{artanh}\, x & {}= \frac{1}{1-x^2}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcoth}\, x & {}= \frac{1}{1-x^2}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arsech}\, x & {}= \frac{-1}{x(x+1)\,\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcsch}\, x & {}= \frac{-1}{x^2\,\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}\\
\end{align}</math>

実数''x''に対して、

:<math>
\begin{align}
\frac{d}{dx} \operatorname{arsech}\, x & {}= \frac{\mp 1}{x\,\sqrt{1-x^2}}; \qquad \Re\{x\} \gtrless 0\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcsch}\, x & {}= \frac{\mp 1}{x\,\sqrt{1+x^2}}; \qquad \Re\{x\} \gtrless 0
\end{align}</math>

[[微分法]]の例：''θ'' = arsinh ''x''とおくと、
:<math>\frac{d\,\operatorname{arsinh}\, x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sinh \theta} = \frac{1} {\cosh \theta} = \frac{1} {\sqrt{1+\sinh^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>

== 双曲線関数と逆双曲線関数の合成 ==

:<math>\begin{align}
  \sinh(\operatorname{arcosh} x) &= \sqrt{x^{2} - 1}  & \text{for } |x| > 1 \\
  \sinh(\operatorname{artanh} x) &= \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} & \text{for } |x| < 1 \\
  \cosh(\operatorname{arsinh} x) &= \sqrt{1+x^{2}} \\
  \cosh(\operatorname{artanh} x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} & \text{for } |x| < 1 \\
  \tanh(\operatorname{arsinh} x) &= \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} \\
  \tanh(\operatorname{arcosh} x) &= \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} & \text{for } |x| > 1
\end{align}</math>

== 加法公式 ==

:<math>
\begin{align}
\operatorname{arsinh} u \pm \operatorname{arsinh} v &= \operatorname{arsinh} \left( u \sqrt{1 + v^2} \pm v \sqrt{1 + u^2}\right)
\\
\operatorname{arcosh} u \pm \operatorname{arcosh} v &= \operatorname{arcosh} \left( u v \pm \sqrt{ \left(u^2 - 1 \right) \left(v^2 - 1 \right)}\right)
\\
\operatorname{artanh} u \pm \operatorname{artanh} v &= \operatorname{artanh} \left( \frac{u \pm v}{1 \pm uv} \right)
\\
\operatorname{arsinh} u + \operatorname{arcosh} v &= \operatorname{arsinh} \left(u v + \sqrt{ \left(1 + u^2 \right) \left(v^2 - 1 \right)} \right) \\
& = \operatorname{arcosh} \left(v \sqrt{1 + u^2} + u \sqrt{v^2 - 1}\right) \end{align}</math>

== 逆双曲線関数の恒等式 ==
:<math>
\begin{align}
\operatorname{arcosh} (2x^2-1) &= 2 \operatorname{arcosh}(x)     &\text{ for }x \geq 1 \\
\operatorname{arcosh} (8x^4-8x^2+1) &=4 \operatorname{arcosh}(x) &\text{ for }x \geq 1 \\
\operatorname{arcosh} (2x^2+1) &= 2 \operatorname{arsinh}(x)     &\text{ for }x \geq 0 \\
\operatorname{arcosh} (8x^4+8x^2+1)& = 4\operatorname{arsinh}(x) &\text{ for }x \geq 0
\end{align}</math>

== 関連項目 ==
* [[グーデルマン関数]]
* [[逆双曲線関数の原始関数の一覧]]
* [[関数一覧]]

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* [[:en:Herbert Busemann|Herbert Busemann]] and Paul J. Kelly (1953) ''Projective Geometry and Projective Metrics'', page 207, [[:en:Academic Press|Academic Press]].

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=InverseHyperbolicFunctions|title=Inverse hyperbolic functions}}
* {{PlanetMath|urlname=areafunctions|title=area functions}}
* {{SpringerEOM|urlname=Inverse_hyperbolic_functions|title=Inverse hyperbolic functions}}
* {{SpringerEOM|urlname=Area-function|title=Area-function}}
* [http://www.ucl.ac.uk/Mathematics/geomath/level2/hyper/hy8.html Inverse hyperbolic functions]{{リンク切れ|date=2024年1月31日 (水) 22:40 (UTC)}} - University College London Department of Mathematics
* [http://tau.doshisha.ac.jp/~kon/lectures/2009.calculus-I/html.dir/node33.html 2.22 逆双曲線関数]{{リンク切れ|date=2024年1月31日 (水) 22:40 (UTC)}} - [[同志社大学]]・近藤弘一

{{デフォルトソート:きやくそうきよくせんかんすう}}
[[Category:初等関数]]
[[Category:特殊関数]]
[[Category:数学に関する記事]]