逆数のソースを表示

[[Image:Hyperbola one over x.svg|thumb|right|300px| 関数 {{math|1=''y'' = {{sfrac|1|''x''}}}} のグラフ。{{math|0}} を除くすべての {{mvar|x}} について {{mvar|y}} はその逆数を表している。]]
'''逆数'''（ぎゃくすう、{{lang-en-short|reciprocal}}）とは、ある数に[[乗法|掛け算]]した結果が {{math|[[1]]}} となる数である。すなわち、数 {{mvar|x}} の逆数 {{mvar|y}} とは次のような関係を満たす。
:<math>x \times y = y \times x = 1.</math>
通常、{{mvar|x}} の逆数は[[分数]]の記法を用いて {{math|{{sfrac|1|''x''}}}} のように表されるか、[[冪]]の記法を用いて {{math|''x''<sup>&minus;1</sup>}} のように表される。

{{math|1}} を乗法に関する[[単位元]]と見れば、逆数とは'''[[乗法逆元]]'''（じょうほうぎゃくげん、{{lang-en-short|multiplicative inverse}}）の一種であり、乗法逆元とは一般化された逆数である。

上述の式から明らかなように、{{mvar|x}} と {{mvar|y}} の役割を入れ替えれば、{{mvar|x}} は {{mvar|y}} の逆数であると言える。従って、{{mvar|x}} の逆数が {{mvar|y}} であるとき {{mvar|y}} の逆数は {{mvar|x}} である。

{{mvar|x}} が {{math|[[0]]}} である場合、任意の数との積は {{math|0}} になるため、（{{math|0 ≠ 1}} であれば）{{math|0}} に対する逆数は存在しない。

また、任意の {{mvar|x}} について必ずしもその逆数が存在するとは限らない。たとえば、[[自然数]]の範囲では上述の関係を満たす数は {{math|1=''x'' = ''y'' = 1}} 以外には存在しない。{{math|0}} を除く任意の数 {{mvar|x}} について逆数が常に存在するようなものには、[[有理数]]や[[実数]]、[[複素数]]がある。これらのように[[四則演算]]が自由にできる集合を[[可換体|体]]と呼ぶ。

逆数は乗法における[[逆元]]であるが、[[加法]]における逆元として[[反数]]がある。

1つの[[二項演算]]を持つ[[集合]]であって左右の逆元が常に存在するもの（[[代数的構造]]）は[[準群#ループ|ループ]]と呼ばれる。

== 例 ==
以下に具体例をいくつか挙げる。ここで {{math|e}} は[[ネイピア数]]、{{mvar|i}} は[[虚数単位]]、{{mvar|r}} は[[複素数]]の[[絶対値]]、{{mvar|&theta;}} は複素数の偏角を表す。また、{{math|{{overline|''z''}}}} は複素数 {{mvar|z}} の[[共役複素数]]、{{math|{{mabs|''a''}}}} は数 {{mvar|a}} の絶対値を表す。
* {{math|9}} の逆数は {{math|{{sfrac|1|9}}}}。同様に {{math|{{sfrac|1|9}}}} の逆数は {{math|9}}。
* {{math|{{sfrac|2|3}}}} の逆数は {{math|{{sfrac|3|2}}}}。同様に {{math|{{sfrac|3|2}}}} の逆数は {{math|{{sfrac|2|3}}}}。
* {{math|0.3}} の逆数は {{math|{{sfrac|1|0.3}} {{=}} {{sfrac|10|3}}}}。同様に {{math|{{sfrac|10|3}}}} の逆数は {{math|{{sfrac|3|10}} {{=}} 0.3}}。
* {{math|&minus;5}} の逆数は {{math|{{sfrac|1|&minus;5}} {{=}} &minus;{{sfrac|1|5}} {{=}} &minus;0.2}}。
* {{math|&minus;{{mabs|''a''}}}} の逆数は {{math|{{sfrac|1|&minus;{{mabs|''a''}}}} {{=}} &minus;{{sfrac|1|{{mabs|''a''}}}}}}。
* {{math|''i''}} の逆数は {{math|{{sfrac|1|''i''}}}} {{=}} {{math|''i''<sup>&minus;1</sup>}} {{=}} {{math|&minus;''i''}}。
* {{math|3 + 4''i''}} の逆数は {{math|{{sfrac|1|3 + 4''i''}} {{=}} {{sfrac|3 &minus; 4''i''|25}}}}。
* {{math|x + y''i''}} の逆数は {{math| {{sfrac|1| x + y''i''}} {{=}} {{sfrac|x &minus;  y''i''|x <sup>2</sup> + y <sup>2</sup>}}}}。
* {{math|''r''e<sup>''i&theta;''</sup>}} の逆数は {{math|(''r''e<sup>''i&theta;''</sup>)<sup>&minus;1</sup> {{=}} {{sfrac|1|''r''}}e<sup>&minus;''i&theta;''</sup>}}。
* 複素数 {{mvar|z}} の逆数は {{math|{{sfrac|1|''z''}} {{=}} {{sfrac|1|{{mabs|''z''}}<sup>2</sup>}}{{overline|''z''}}}}。

== 合同式での逆数 ==
{{Main|モジュラ逆数}}
[[合同式]]において逆数を考えることができる。{{math|''a'' × ''b''}} を {{mvar|m}} で割ると {{math|1}} 余るとき、{{mvar|b}} を {{mvar|a}} の {{mvar|m}} を法とする逆数と呼ぶ。合同式で表すと以下のようになる。 
:<math>a \times b \equiv 1 \pmod{m}.</math>
例えば、{{math|4 × 2 &equiv; 1 (mod 7)}} となるので、法 {{math|7}} において {{math|2}} は {{math|4}} の逆数である。通常の逆数と同様、逆数の逆数は同じ数であり、{{math|0}} の逆数は存在せず、{{math|1}} や {{math|&minus;1}} の逆数はそれ自身である。合同式の性質から、{{mvar|m}} の倍数の逆数は存在せず、{{math|(''km'' &plusmn; 1)}} の逆数はそれ自身になる。

定義上、{{mvar|a}} は {{mvar|m}} と[[互いに素 (整数論)|互いに素]]である必要がある。つまり、一般に[[合同式]]での逆数は存在するとは限らない。例えば、{{math|7 × ''b'' &equiv; 1 (mod 42)}} や {{math|12 × ''b'' &equiv; 1 (mod 4)}} を満たす {{mvar|b}} は存在しない。

素数 {{mvar|p}} を法とする場合、{{math|0}} 以外の全ての元が逆数を持つ。法 {{math|17}} を例とすると次のようになる。

{| class="wikitable sortable"
|-
! scope="row" | 元
| 0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 16
|-
! scope="row" | 逆数
| なし || 1 || 9 || 6 || 13 || 7 || 3 || 5 || 15 || 2 || 12 || 14 || 10 || 4 || 11 || 8 || 16
|}

合同式での逆数は[[オイラーの定理 (数論)|オイラーの定理]]によって計算できる。{{mvar|a}} に逆数 {{mvar|b}} が存在するならば
:<math>a \times b \equiv 1 \equiv a^{\varphi (m)} = a \times a^{\varphi (m) - 1} \pmod{m}</math>
なので、
:<math>b \equiv a^{\varphi (m) - 1} \pmod{m}</math>
（ここで {{mvar|&phi;}} は[[オイラーのφ関数]]）であり、逆に {{mvar|a}} と {{mvar|m}} が互いに素であれば、この式によって逆数が与えられる。特に、{{mvar|m}} が素数の場合以下のようになる（[[フェルマーの小定理]]から直接導かれる）。
:<math>b \equiv a^{m - 2} \pmod{m}.</math>

また、[[ユークリッドの互除法#拡張された互除法|ユークリッドの互除法]]によっても効率的に求めることができる。定義式は、以下の[[ベズーの等式]]（[[ディオファントス方程式]]の一種）が {{mvar|b}} と {{mvar|n}} について整数解を持つことと同値である。
:<math>a \times b + m \times n = 1.</math>
この式の解は、{{mvar|a}} と {{mvar|m}} が[[互いに素 (整数論)|互いに素]]である場合、かつその場合に限り存在する。

== 日本における学校教育 ==
日本の[[小学校]]では、小学6年生で[[分数]]の掛け算・割り算について学習する際に、逆数について学習し、{{mvar|x}}（実際には具体的な数を用いる）で割ることと {{math|{{sfrac|1|''x''}}}} を掛けることが同じ結果を得ることなどを学ぶ。この事は[[中学校]]の課程で、加法における[[逆元]]、つまり負の数について学ぶ準備になっている。

== 関連項目 ==
* [[反比例]]
* [[単位分数]]
* [[エジプト式分数]]
* [[反数]]
* [[逆元]]
* [[単位元]]
* [[吸収元]]
* [[逆行列]]
* [[群 (数学)]]
* [[準群#ループ]]

{{DEFAULTSORT:きやくすう}}
[[Category:算術]]
[[Category:代数学]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:数学に関する記事]]