逆畳み込みのソースを表示

[[File:Deconvolution_of_an_astronomical_image.png|thumb|right|{{仮リンク|Richardson–Lucyデコンボリューション|en|Richardson–Lucy deconvolution|label=Richardson–Lucy}}アルゴリズムによる逆畳み込み前と逆畳み込み後のコペルニクス・クレーターの比較画像。他の処理は行っていない。]]

[[数学|数学では]]、'''逆畳み込み''' (デコンボリューション, deconvolution) は、記録されたデータからの信号を強化するために使用される[[アルゴリズム]]ベースの手続きである。記録されたデータが、フィルタ ([[畳み込み]]と呼ばれる手順) によって歪められた純粋な信号としてモデル化できる場合、元の信号を復元するために逆畳み込みを使用して基の信号を復元することができる。<ref>{{Cite web|author=O'Haver|first=T.|title=Intro to Signal Processing - Deconvolution|url=http://www.wam.umd.edu/~toh/spectrum/Deconvolution.html|publisher=University of Maryland at College Park|accessdate=2007-08-15}}</ref> 逆畳み込みの概念は、[[信号処理]]や[[デジタル画像処理|画像処理の]]技術で広く使われている。 

逆畳み込みと[[時系列|時系列分析]]の基礎は、[[マサチューセッツ工科大学]]の[[ノーバート・ウィーナー]]によって、彼の著書『''Extrapolation、Interpolation、and Smoothing of Stationary Time Series』'' (1949) の中で大きく築かれた。<ref>{{Cite book|last=Wiener|first=N.|title=Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series|publisher=MIT Press|location=Cambridge, Mass|year=1964|isbn=0-262-73005-7}}</ref> この本は、ウィーナーが[[第二次世界大戦]]中に行った仕事に基づいていたが、当時は機密扱いであった。 これらの理論を適用しようとする初期の試みのいくつかは、[[天気予報]]や[[経済学]]の分野で行われていた。 

== 説明 ==
一般に、逆畳み込みの目的は、次の形式の畳み込み方程式の解 ''f'' を見つけることである。 

: <math>f * g = h \, </math>

通常、 ''h'' は記録された信号であり、 ''f'' は復元したい信号であるが、それを記録する前にフィルタや歪み関数 ''g が適用されて複雑化されたものである。'' 関数 ''g'' は、機器の[[伝達関数法|伝達関数]]や物理システムに加えられた駆動力を表しているかもしれない。 もしも、 ''g が''わかれば、あるいは少なくとも ''g'' の形がわかれば、決定論的に逆畳み込みを行うことができる。 しかし、 ''g を''事前に知らない場合は、''g'' を推定する必要がある。 これには、[[統計学|統計的]][[推定論|推定]]の方法を用いて行われることが多い。 

物理的な測定では、通常、その状況は次に近い。 

: <math>(f * g) + \varepsilon = h \, </math>

この場合、 ''&#x3B5;'' は記録された信号に入ってきた[[ノイズ (電子工学)|ノイズ]]である。''統計的に'' ''g を''推定しようとしたときに、ノイズの多い信号や画像がノイズがないと仮定すると、推定は正しくない。 また、 ''&#x192;'' の推定値も正しくない。 [[SN比|信号対雑音比 (S/N比)]]  が低ければ低いほど、逆畳み込みされた信号の推定値は悪くなる。 これが、通常、信号を{{仮リンク|逆フィルター|en|Inverse filter|label=逆フィルタリング}}することが良い解決策ではない理由である。 しかし、データに含まれるノイズの種類（たとえば、[[ホワイトノイズ]] ）について少なくともある程度の知識があれば、{{仮リンク|ウィーナー・デコンボリューション|en|Wiener deconvolution}}のような技術を用いて ''&#x192;'' の推定値を改善できるかもしれない。 

逆畳み込みは、通常、記録された信号の[[フーリエ変換]] ''h'' と歪み関数（一般的には、[[伝達関数法|伝達関数]]として知られている ） ''g を''計算することによって実行される。 その後、以下を用いて周波数領域で（ノイズがない場合）逆畳み込みが行われる: 

: <math>F = H / G \, </math>

ここで、 ''F'' 、 ''G'' 、''H'' はそれぞれ ''f'' 、 ''g'' 、''h'' のフーリエ変換である。 最後に、関数 ''F'' の{{仮リンク|フーリエ反転公式|en|Fourier inversion theorem|label=逆フーリエ変換}}が取られ、推定された逆畳み込みされた信号 ''f が求められる''。 

== 応用 ==

=== 地震学 ===
逆畳み込みの概念は、{{仮リンク|反射地震学|en|Reflection seismology|label=反射法地震学}}に早くから応用された。 1950年、[[マサチューセッツ工科大学|MIT]]の大学院生だったエンダース・ロビンソンは、[[ノーバート・ウィーナー]]、{{仮リンク|ノーマン・レビンソン|en|Norman Levinson}}、経済学者[[ポール・サミュエルソン]]などのMITの他の人たちと協力して、反射地震記録の「畳み込みモデル」を開発した。 このモデルは、記録された地震記録 ''s''(''t'') が、地球反射率関数 ''e''(''t'') と{{仮リンク|点光源|en|Point source|label=点発信源}}からの[[地震学|地震]][[ウェーブレット]] ''w''(''t'') の畳み込みであり、''t は記録時間を表していると仮定している''。 したがって、畳み込み方程式は次のようになる。 

: <math>s(t) = (e * w)(t). \, </math>

地震学者は、地球の構造に関する情報を含む ''e'' に興味を持っている。 [[畳み込み定理]] ([[:en:Convolution theorem|英語版]]) により、この方程式は[[周波数領域]]で 

: <math>S(\omega) = E(\omega)W(\omega) \, </math>

に[[フーリエ変換]]され、<math>\omega</math> は周波数変数である。 反射率が白色であると仮定することで、反射率の[[スペクトル密度|パワースペクトル]]は一定であり、地震計のパワースペクトルは、その定数を乗じたウェーブレットのスペクトルであると仮定することができる。 したがって、 

: <math>|S(\omega)| \approx k|W(\omega)|. \, </math>

ウェーブレットが{{仮リンク|最小フェーズ|en|Minimum phase|label=最小位相}}であると仮定すれば、先ほど見つけたパワースペクトルの最小位相相当量を計算することで、反射率を復元することができる。 反射率は、推定されたウェーブレットを[[ディラックのデルタ関数|ディラックデルタ関数]] (すなわち、スパイク) に整形する{{仮リンク|ウィーナーフィルタ|en|Wiener filter|label=}}を設計して適用することで回復することができる。 その結果は、スケーリングされた、シフトされたデルタ関数の系列と見ることができる (ただし、これは数学的に厳密ではない)。 

: <math>e(t)=\sum_{i=1}^N r_i\delta(t-\tau_i)</math> 、 

ここで、 ''N'' は反射イベントの数である。 <math>r_i</math> は各事象の{{仮リンク|反射係数|en|Reflection coefficient}}であり、 <math>t-\tau_i</math> は各イベントの反射時間であり、 <math>\delta</math> は[[ディラックのデルタ関数]]である。 

実際には、ノイズの多い、有限{{仮リンク|帯域幅 (コンピューティング)|en|Bandwidth (computing)|label=帯域幅}}、有限長、[[標本化|離散的にサンプリング]]されたデータセットを扱っているので、上記の手順では、データを逆畳み込みするのに必要なフィルタの近似値しか得られない。 しかし、問題を[[テプリッツ行列]]の解として定式化し、{{仮リンク|レビンソン再帰|en|Levinson recursion}}を用いることで、可能な限り最小の[[平均二乗誤差]]を持つフィルタを比較的迅速に推定することができる。 また、周波数領域で逆畳み込みを直接行うこともでき、同様の結果が得られる。 この手法は[[線形予測法|線形予測]]と密接に関連している。 

=== 光学およびその他のイメージング ===
[[ファイル:Depth_Coded_Phalloidin_Stained_Actin_Filaments_Cancer_Cell.png|サムネイル|245x245ピクセル| 逆畳み込みされた顕微鏡画像の例。 ]]
光学およびイメージングでは、「逆畳み込み (デコンボリューション)」という用語は、[[顕微鏡|光学顕微鏡]]、[[電子顕微鏡]]、[[望遠鏡]]、または他のイメージング機器で発生する[[収差|光学的な歪み]]を反転させ、より鮮明な画像を作成するプロセスを指すために特に使用される。 これは通常、{{仮リンク|顕微鏡画像処理|en|Microscope image processing}}技術の一部として、[[ソフトウェア]][[アルゴリズム]]によってデジタル領域で行われる。 逆畳み込みは、キャプチャ中に速い動きや揺れに悩まされている画像をシャープにするのにも実用的である。 初期の[[ハッブル宇宙望遠鏡]]の画像は、欠陥のある鏡によって歪んでいたので、逆畳み込みによって鮮明にされた。 

通常の方法は、装置を通る光路が光学的に完全であると仮定し、[[点拡がり関数|点広がり関数]] (PSF)、つまり、理論的な{{仮リンク|点光源|en|Point source|label=}}(または他の波形)が装置を通る経路の観点から歪みを記述する[[関数 (数学)|数学的な関数]]で構成されていると仮定することである。 <ref name="Pawley_2006">{{Cite book|last=Cheng|first=P. C.|chapter=The Contrast Formation in Optical Microscopy|title=Handbook of Biological Confocal Microscopy|editor-last=Pawley|editor-first=J. B.|publisher=Springer|location=Berlin|year=2006|pages=189&ndash;90|edition=3rd|isbn=0-387-25921-X}}</ref> 通常、そのような点光源は、最終的な画像に小さな曖昧さの領域をもたらす。 この関数を決定することができれば、その[[逆写像|逆関数]]または補関数を計算し、取得した画像をそれで畳み込む。 その結果は、歪みのない元の画像が得られる。 

実際には、真のPSFを見つけることは不可能であり、通常は、理論的に計算された、または既知のプローブを使用していくつかの実験的な推定に基づいた近似値が使用される。<ref>{{Cite journal|last=Nasse|first=M. J.|last2=Woehl|first2=J. C.|year=2010|title=Realistic modeling of the illumination point spread function in confocal scanning optical microscopy|journal=Journal of the Optical Society of America A|volume=27|issue=2|pages=295–302|bibcode=2010JOSAA..27..295N|DOI=10.1364/JOSAA.27.000295|PMID=20126241}}</ref> また、実際の光学系は、異なる焦点位置および空間位置で異なるPSFを持つことがあり、PSFは非線形であることがある。 PSFの近似の精度が最終的な結果を決定する。 より良い結果を得るために、さまざまなアルゴリズムを採用することができるが、その代償として計算量が多くなる。 元の畳み込みではデータが破棄されるため、アルゴリズムによっては、失われた情報の一部を補うために、近くの焦点で取得した追加データを使用するものもある。 反復アルゴリズム（[[EMアルゴリズム|期待値最大化アルゴリズム]]など）では、非現実的な解を避けるために[[正則化]]を適用することができる。 

PSFが不明な場合、可能性のある異なるPSFを系統的に試し、画像が改善されたかどうかを評価することで、PSFを推定することが可能な場合がある。 この手順は、''[[ブラインド・デコンボリューション]]''と呼ばれている。 <ref name="Pawley_2006">{{Cite book|last=Cheng|first=P. C.|chapter=The Contrast Formation in Optical Microscopy|title=Handbook of Biological Confocal Microscopy|editor-last=Pawley|editor-first=J. B.|publisher=Springer|location=Berlin|year=2006|pages=189&ndash;90|edition=3rd|isbn=0-387-25921-X}}</ref> ブラインド・デコンボリューションは[[天文学]]の分野で確立された画像復元技術で、撮影された物体の点状の性質を利用してPSFを露光させることで、より実現性の高い画像復元が可能になる。 また、画像復元のための[[蛍光顕微鏡]]や、複数の未知の[[蛍光色素|蛍光色素分子]]のスペクトル分離のための蛍光{{仮リンク|スペクトルイメージング|en|Spectral imaging}}にも使用される。 この目的のための最も一般的な[[イテレータ|反復]]アルゴリズムは、{{仮リンク|Richardson–Lucyデコンボリューション|en|Richardson–Lucy deconvolution|label=リチャードソン・ルーシーデコンボリューション}}アルゴリズムであり、{{仮リンク|ウィーナー・デコンボリューション|en|Wiener deconvolution}}(およびその近似)は最も一般的な非反復アルゴリズムである。 
[[ファイル:High_Resolution_THz_image.png|サムネイル|316x316ピクセル| 高解像度THz画像は、THz画像と数学的にモデル化されたTHz PSFの逆畳み込みによって実現される。'''（a）'''エンハンスメント前の集積回路(IC) のTHz画像。'''（b）'''数学的にモデル化されたTHz PSF; '''（c）'''(a)に示すTHz画像と(b)に示すPSFを逆畳み込みした結果得られる高解像度THz画像。 '''（d）'''測定値の精度を確認するための高解像度X線画像。 <ref>{{Cite journal|last=Ahi|first=Kiarash|last2=Anwar|first2=Mehdi|editor2-last=Crowe|editor2-first=Thomas W|editor3-last=Manzur|editor3-first=Tariq|date=May 26, 2016|title=Developing terahertz imaging equation and enhancement of the resolution of terahertz images using deconvolution|url=https://www.researchgate.net/publication/303563271|journal=Proc. SPIE 9856, Terahertz Physics, Devices, and Systems X: Advanced Applications in Industry and Defense, 98560N|volume=9856|pages=98560N|bibcode=2016SPIE.9856E..0NA|DOI=10.1117/12.2228680}}</ref> ]]
レーザーパルステラヘルツシステムのようないくつかの特定のイメージングシステムでは、PSFを数学的にモデル化することができる。 <ref>{{Cite book|title=Terahertz Imaging and Remote Sensing Design for Applications in Medical Imaging|last=Sung|first=Shijun|publisher=UCLA Electronic Theses and Dissertations|year=2013}}</ref> その結果、図に示すように、モデル化されたPSFとテラヘルツ画像の逆畳み込みは、テラヘルツ画像のより高い解像度の表現を与えることができる。 

=== 電波天文学 ===
[[電波天文学]]の一種である電波[[干渉法]]で画像合成を行う場合、生成された画像を[[点拡がり関数|点広がり関数]]の別称である「ダーティビーム」で逆畳み込みすることが一つのステップとなる。 一般的に使用されている方法は、{{仮リンク|CLEAN (アルゴリズム)|en|CLEAN (algorithm)|label=CLEANアルゴリズム}}である。 

=== フーリエ変換の側面 ===
逆畳み込みは[[フーリエ変換|フーリエ共領域]]の分割に対応している。 これにより、[[フーリエ変換|フーリエ変換の]]対象となる実験データに逆畳み込みを簡単に適用することができる。 例としては、データが時間領域で記録され、周波数領域で分析される[[核磁気共鳴分光法|NMR分光法]]がある。 時間領域データを指数関数で分割することで、周波数領域のローレンツ線の幅を小さくする効果がある。 

== 吸収スペクトル ==
逆畳み込みは、吸収スペクトルに広く適用されている。 <ref>{{Cite book|last=Blass|first=W. E.|last2=Halsey|first2=G. W.|title=Deconvolution of Absorption Spectra|url=https://archive.org/details/deconvolutionofa0000blas|year=1981|publisher=Academic Press|isbn=0121046508}}</ref> [[:de:Van-Cittert-Dekonvolution|Van Cittertアルゴリズム]] ([[:en:Van-Cittert-Dekonvolution|ドイツ語版]])を使用することができる。 <ref>{{Cite journal|last=Wu|first=Chengqi|last2=Aissaoui, Idriss|last3=Jacquey, Serge|year=1994|title=Algebraic analysis of the Van Cittert iterative method of deconvolution with a general relaxation factor|journal=J. Opt. Soc. Am. A|volume=11|issue=11|pages=2804–2808|bibcode=1994JOSAA..11.2804X|DOI=10.1364/JOSAA.11.002804}}</ref> 

== 関連項目 ==

* [[畳み込み]] 
* [[ビットプレーン]] 
* [[ディジタルフィルタ|デジタルフィルタ]] 
* [[フィルタ (信号処理)|フィルタ(信号処理)]] 
* [[フィルター・デザイン|フィルタ設計]] 
* [[最小フェーズ]] 
* [[独立成分分析]] 
* {{仮リンク|ウィーナー・デコンボリューション|en|Wiener deconvolution}}
* {{仮リンク|Richardson–Lucyデコンボリューション|en|Richardson–Lucy deconvolution|label=リチャードソン・ルーシーデコンボリューション}}
* [[デジタルルーム修正]] 
* [[無料のデコンボリューション|自由デコンボリューション]] 
* [[点拡がり関数|点広がり関数]] 
* [[ブレ除去]] 
* [[アンシャープマスキング]] 

== 参考文献 ==
{{Reflist}}
{{Normdaten}}
{{デフォルトソート:きやくたたみこみ}}
[[Category:画像処理]]
[[Category:信号処理]]
[[Category:数学に関する記事]]