逆関係のソースを表示

[[数学]]における[[二項関係]]の'''逆関係'''（ぎゃくかんけい、{{lang-en-short|''converse relation''}}）は、関係（のグラフ）に属する順序対の成分を逆順にして得られる関係である。例えば、「～の子である」という関係の逆関係は「～の親である」という関係である。

== 定義 ==
厳密に言えば、''L'' &sube; ''X'' &times; ''Y'' を ''X'' から ''Y'' への関係とするとき、その'''逆関係''' ''L''<sup>&minus;1</sup> は 
: ''y'' ''L''<sup>&minus;1</sup> ''x'' &hArr; ''x'' ''L'' ''y''
によって定まる関係をいう {{harv|Halmos|1975|p=40}}。これは
: <math>L^{-1} = \{(y, x) \in Y \times X \mid (x, y) \in L \}</math>

とも書ける。逆関係 ''L''<sup>&minus;1</sup> などと書く記法は[[逆写像]]の記法の流用である。写像はその多くが逆写像を持たないのに対し、関係は必ず逆関係を持つ。
ただし、このような記法を用いているにもかかわらず、逆関係は[[関係の合成]]の意味での逆元にはなっていない、つまり一般には
: <math>L \circ L^{-1} \neq \mathrm{id}</math>
であることに注意しなければならない。

逆関係は'''反対関係''' {{lang|en|(''inverse relation'')}} や（[[ダガー圏]]のよく知られた例として、[[転置行列]]と同様のものとして見て）(もとの関係の-)'''転置''' {{lang|en|(''transpose'')}} とも呼ばれ、''L''<sup>c</sup>, ''L''<sup>T</sup>, ''L''<sup>&sim;</sup>, ''L''&#x02d8; などとも書かれる。

== 性質 ==
* 自分自身を逆関係として持つ関係は[[対称関係]]（{{仮リンク|ダガー圏|en|dagger category}} の言葉で言えば、'''自己随伴''' (''self-adjoint'')）である。
* 関係が[[反射関係|反射的]]、[[非反射関係|非反射的]]、[[対称関係|対称的]]、[[反対称関係|反対称的]]、[[非対称関係|非対称的]]、[[推移関係|推移的]]、[[完全関係|完全]]、[[三分関係|三分的]]、 [[半順序]]、[[全順序]]、[[狭義弱順序]]、[[全前順序]]（弱順序）、[[同値関係]]であるという性質は、逆関係に遺伝する。
* 関係が拡張可能でも、その逆関係は必ずしも拡張可能ではない。
* 関係をその逆関係に写す操作は、[[関係の圏]] '''Rel''' に[[ダガー圏]]の構造を与える。
* 集合 ''X'' 上の[[二項関係]]全体の成す集合 '''B'''(''X'') は、関係を逆関係に写す操作を対合とする[[対合半群]]を成す。

== 例 ==

通常の[[順序関係]]（狭義の順序でも半順序でもよい）の逆関係は、反対順序で与えられる。例えば
: <math> (\le)^{-1}= {\ge},\quad (<)^{-1}= {>} </math>
などとなる（ここでの括弧は明確化のためのもので必ずしも必要ではない）。
==裏<small>（inverses）</small>==
恒等関係を<math>I</math>とおいた時、関係<math>R</math>に対して、関係の合成にて <math>R \circ X = I</math> ならば<math>X</math>を右側裏関係といい、 <math>Y \circ R = I</math> ならば<math>Y</math>を左側裏関係という。また、<math>R</math>に右(左)側裏関係が存在するとき<math>R</math>は右(左)に'''可逆'''な関係であるという。右に可逆かつ左に可逆であれば単に可逆あるいは両側可逆という。左に可逆ならば左全域的でなければならないし、右に可逆ならば右一意的でなければならない。ただしここでは関係の合成を、[[写像の合成]]の慣例に従った順で定義しているものとする。
=== 写像の逆関係 ===
{{main|対応 (数学)}}
写像が（写像として）可逆であるための必要十分条件は、写像の逆関係が再び写像となることである。この逆関係こそが逆写像である。

[[写像]] ''f'': ''X'' &rarr; ''Y'' の逆関係 ''f''<sup>&minus;1</sup>: ''Y'' &rarr; ''X'' は
: <math>\operatorname{graph}\, f^{-1} = \{(y, x) \mid y = f(x) \}</math>

で定義される。これは必ずしも写像でなくてもよいが、''f'' が単射であることを課さなければ ''f''<sup>&minus;1</sup> は[[多価]]になってしまう。この条件は ''f''<sup>&minus;1</sup> が[[部分写像]]であるためには十分であり、さらにこのとき ''f''<sup>&minus;1</sup> が（全域）写像となるための必要十分条件が ''f'' が[[全射]]（したがって全単射）となることであるのは明らかである。''f'' が[[全単射]]であるとき、''f''<sup>&minus;1</sup> は ''f'' の[[逆写像]]と呼ばれる。

当然、<math>f</math>の逆写像は <math>f</math> との合成で恒等写像すなわち恒等関係を導くので、 <math>f</math> を関係とみなせば<math>f^{- 1}</math>はその裏関係である。

== 関連項目 ==
* [[全単射]]
* [[写像]]
* [[逆写像]]
* [[二項関係]]
==注釈==
{{Notelist}}
== 参考文献 ==
* {{Citation | last1=Halmos | first1=Paul R. | author1-link=Paul R. Halmos | title=[[Naive Set Theory (book)|Naive Set Theory]] | isbn=978-0-387-90092-6 | year=1974}}

{{DEFAULTSORT:きやくかんけい}}
[[Category:数理論理学]]
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