連接層のソースを表示

{{要改訳}}
[[数学]]では、特に[[代数幾何学]]や[[複素多様体]]の理論では、'''連接層'''(れんせつそう、[[英語|英]]: coherent sheaf)とは、底空間の幾何学的性質に密接に関連する、扱いやすい性質をもった[[層 (数学)|層]]のクラスである。

連接層は[[ベクトルバンドル|ベクトル束]]の一般化とみなすことができる。ベクトル束とは違い、連接層のなす圏は[[アーベル圏]]となり、{{仮リンク|核 (カテゴリ論)|label=核|en|kernel (category theory)}}や[[像 (数学)|像]]、[[余核]]などをとる操作が可能である。'''準連接層'''(じゅんれんせつそう、英：quasi-coherent sheaf)は連接層における有限性の仮定をはずした一般化で、ランク無限の局所自由層を含んでいる。

代数幾何学や[[複素解析]]の多くの結果や性質が、連接層、準連接層やそれらの[[コホモロジー]]のことばで定式化される。
<!--In [[mathematics]], especially in [[algebraic geometry]] and the theory of [[complex manifold]]s, '''coherent sheaves''' are a specific class of [[Sheaf (mathematics)|sheaves]] having particularly manageable properties  closely linked to the geometrical properties of the underlying space. The definition of coherent sheaves is made with reference to a [[Sheaf (mathematics)|sheaf of rings]] that codifies this geometrical information.

Coherent sheaves can be seen as a generalization of [[vector bundles]], or of locally free sheaves of finite rank. Unlike vector bundles, they form a "nice" [[category (mathematics)|category]] closed under usual operations such as taking [[kernel (category theory)|kernels]], [[cokernel]]s and finite [[direct sum]]s. The  '''quasi-coherent sheaves''' are a generalization of coherent sheaves and include the locally free sheaves of infinite rank.

Many results and properties in algebraic geometry and [[complex analytic geometry]] are formulated in terms of coherent or quasi-coherent sheaves and their [[cohomology]].-->

== 定義 ==
[[環付き空間]] (X, O<sub>X</sub>) の上 O<sub>X</sub>-[[加群の層]] F が'''連接層'''であるとは、次の性質をもつ場合をいう<ref>{{harvnb|EGA|loc=Ch 0, 5.3.1}}</ref>。
# F は、O<sub>X</sub> 上'''有限型'''である。つまり、X の任意の点 x について、開近傍 U が存在して、F の U への制限 F|<sub>U</sub> が、有限個の切断により生成される<ref>{{harvnb|EGA|loc=Ch 0, 5.2.1.}}</ref>。（言い換えると、全射 O<sub>X</sub><sup>n</sup>|<sub>U</sub> → F|<sub>U</sub> がある自然数 n に対し存在する。）
# 任意の X の開集合 U、自然数 n、O<sub>X</sub>-加群の射(morphism)φ: O<sub>X</sub><sup>n</sup>|<sub>U</sub> → F|<sub>U</sub> に対して、φの核が有限型である。
<!---A ''coherent sheaf'' on a [[ringed space]] <math>(X,\mathcal{O}_X)</math> is a [[sheaf (mathematics)|sheaf]] <math>\mathcal{F}</math> of <math>\mathcal{O}_X</math>--[[sheaf of modules|modules]] with the following two properties:<ref>{{harvnb|EGA|loc=Ch 0, 5.3.1}}</ref>
# <math>\mathcal{F}</math> is of ''finite type'' over <math>\mathcal{O}_X</math>,<ref>{{harvnb|EGA|loc=Ch 0, 5.2.1.}}</ref> i.e., for any point <math>x\in X</math> there is an open neighbourhood <math>U\subset X</math> such that the restriction <math>\mathcal{F}|_U</math> of <math>\mathcal{F}</math> to <math>U</math> is generated by a finite number of sections (in other words, there is a surjective morphism <math>\mathcal{O}_X^n|_U \to \mathcal{F}|_U</math> for some <math>n\in\mathbb{N}</math>); and
# for any open set <math>U\subset X</math>, any <math>n\in\mathbb{N}</math> and any morphism <math>\varphi\colon \mathcal{O}_X^n|_U \to \mathcal{F}|_U</math> of <math>\mathcal{O}_X</math>-modules, the kernel of <math>\varphi</math> is of finite type.-->

環の層 O<sub>X</sub> が連接層であるとは、それ自身を [[加群の層|O<sub>X</sub>-加群の層]]とみなしたときに、連接であることとする。環の連接層の重要な例として、複素多様体の[[正則函数]]の[[芽 (数学)|芽]]の層や[[ネータースキーム]]<ref name="noetherian" />の構造層がある。

連接層はいつも、'''有限表示可能'''な層である。言い換えると X の各々の点 x は開近傍 U を持ち、F の U 上への制限 F|<sub>U</sub> が、ある整数 n, m について射 O<sub>X</sub><sup>n</sup>|<sub>U</sub> → O<sub>X</sub><sup>m</sup>|<sub>U</sub> の余核と同型になることである。O<sub>X</sub> が連接層であれば、逆も正しい、つまり有限表示可能な O<sub>X</sub> 加群の層は連接層である。

<math>\mathcal{O}_{X}</math>-加群の層 <math>\mathcal{F}</math> が'''準連接層'''とは、局所表示を持っている場合、つまり、X の任意の点 x にたいしその開近傍 U が存在して、次の完全系列が成立する場合のことを言う。

:<math>\mathcal{O}^{(I)}|_{U} \to \mathcal{O}^{(J)}|_{U} \to \mathcal{F}|_{U} \to 0</math>

ここで、最初の 2つの項は、構造層のコピーの（無限個でもよい）直和である。
<!---The sheaf of rings <math>\mathcal{O}_X</math> is coherent if it is coherent considered as a sheaf of modules over itself. Important examples of coherent sheaves of rings include the sheaf of germs of [[holomorphic function]]s on a  [[complex manifold]] and the structure sheaf of a [[Noetherian scheme]]<ref name="noetherian" /> from algebraic geometry.

A coherent sheaf is always a sheaf of ''finite presentation'', or in other words each point <math>x\in X</math> has an open  neighbourhood <math>U</math> such that the restriction <math>\mathcal{F}|_U</math> of <math>\mathcal{F}</math> to <math>U</math> is isomorphic to the cokernel of a morphism <math>\mathcal{O}_X^n|_U \to \mathcal{O}_X^m|_U</math> for some integers <math>n</math> and <math>m</math>. If <math>\mathcal{O}_X</math> is coherent, then the converse is true and each sheaf of finite presentation over <math>\mathcal{O}_X</math> is coherent.

A sheaf <math>\mathcal{F}</math> of <math>\mathcal{O}_{X}</math>-modules is said to be '''quasi-coherent''' if it has a local presentation, i.e. if there exist an open cover by <math>U_i</math> of the topological space <math>X</math> and an exact sequence

:<math>\mathcal{O}^{(I_i)}|_{U_i} \to \mathcal{O}^{(J_i)}|_{U_i} \to \mathcal{F}|_{U_i} \to 0</math>

where the first two terms of the sequence are direct sums (possibly infinite) of copies of the structure sheaf.-->

==連接層の例==

* ネータースキーム<ref name="noetherian">see also: http://math.stackexchange.com/questions/52856/is-noetherian-condition-always-needed-when-speaking-of-a-coherent-sheaf</ref> X 上では、構造層 <math>\mathcal{O}_X</math> は連接層である。
* [[環付き空間]] <math>X</math> 上の <math>\mathcal{O} _X</math>-加群 <math>\mathcal{F}</math> が'''局所自由'''(locally free)とは、各々の点 <math>p\in X</math> に対し、<math>p</math> の[[位相空間|開]][[近傍]] <math>U</math> が存在し、<math>\mathcal{F}| _U</math> が <math>\mathcal{O} _X| _U</math>-加群として[[自由加群|自由]]である場合をいう。このことは、<math>p</math> での <math>\mathcal{F}</math> の[[茎 (層)|茎]] <math>\mathcal{F}_p</math> が、すべての <math>p</math> に対し、<math>(\mathcal{O} _X)_p</math>-加群として自由であることを意味する。もし <math>\mathcal{F}</math> も連接であれば、逆も正しい。<math>\mathcal{F}_p</math> がすべての <math>p\in X</math> に対し有限ランク <math>n</math> であれば、<math>\mathcal{F}</math> はランク <math>n</math> であると言う。
*<math>X = \operatorname{Spec}(R)</math> とし、R はネーター環だとする。すると、R 上の{{仮リンク|有限生成射影加群|en|finitely generated projective module}}(finitely generated projective module)は局所自由 <math>\mathcal{O}_X</math>-加群とみることができる。（R が次数付き環のときは、{{仮リンク|Proj構成|en|Proj construction}}(Proj construction)も参照。）
* [[岡の連接定理]]は、複素多様体上の正則函数の層が環の連接層であるという定理である<ref name="noetherian" /> 。
* ベクトルバンドルの切断の層（スキーム上、もしくは、[[複素解析空間]]の上の）は連接層である。
* イデアル層：Z が複素解析空間 X の閉複素部分空間であれば、Z でゼロとなるすべての正則函数の層 I<sub>Z/X</sub> は連接層である。同様に、閉部分スキーム上でゼロとなる[[代数多様体の射|代数多様体の関数]](regular functions)の層は連接層である。
* X の閉部分スキームや閉解析的部分空間 Z の構造層 O<sub>Z</sub> は X 上の連接層である。層 O<sub>Z</sub> は開集合 X - Z の中の点では（以下に定義する）ファイバー次元がゼロに等しく、Z の中の点では 1 に等しい。
<!---* On a Noetherian scheme<ref name="noetherian">see also: http://math.stackexchange.com/questions/52856/is-noetherian-condition-always-needed-when-speaking-of-a-coherent-sheaf</ref> ''X'', the structure sheaf <math>\mathcal{O}_X</math> is a coherent sheaf of rings.
* A sheaf of <math>\mathcal{O} _X</math>-modules <math>\mathcal{F}</math> on a [[ringed space]] <math>X</math> is called ''locally free'' if for each point <math>p\in X</math>, there is an [[topological space|open]] [[neighborhood (mathematics)|neighborhood]] <math>U</math> of <math>p</math> such that <math>\mathcal{F}| _U</math> is [[free module|free]] as an <math>\mathcal{O} _X| _U</math>-module. This implies that <math>\mathcal{F}_p</math>, the [[Stalk of a sheaf|stalk]] of <math>\mathcal{F}</math> at <math>p</math>, is free as a <math>(\mathcal{O} _X)_p</math>-module for all <math>p</math>. The converse is true if <math>\mathcal{F}</math> is moreover coherent. If <math>\mathcal{F}_p</math> is of finite rank <math>n</math> for every <math>p\in X</math>, then <math>\mathcal{F}</math> is said to be of rank <math>n.</math>
*Let <math>X = \operatorname{Spec}(R)</math>, ''R'' a Noetherian ring. Then any [[finitely generated projective module]] over ''R'' can be viewed as a locally free <math>\mathcal{O}_X</math>-module. (see also [[Proj construction]] for the case when ''R'' is a graded ring.)
* The [[Oka coherence theorem]] states that the sheaf of holomorphic functions on a complex manifold is a coherent sheaf of rings.
* The sheaf of sections of a vector bundle (on a scheme, or a complex [[analytic space]]) is coherent.
* Ideal sheaves: If ''Z'' is a closed complex subspace of a complex analytic space ''X'', the sheaf ''I<sub>''Z''/''X''</sub>'' of all holomorphic functions vanishing on ''Z'' is coherent. Likewise, the ideal sheaf of regular functions vanishing on a closed subscheme is coherent.
* The structure sheaf ''O''<sub>''Z''</sub> of a closed subscheme ''Z'' of ''X'', or of a closed analytic subspace, is a coherent sheaf on X. The sheaf ''O''<sub>''Z''</sub> has fiber dimension (defined below) equal to zero at points in the open set ''X''−''Z'', and fiber dimension one at points in ''Z''.-->

==性質==
(X, O<sub>X</sub>) 上の連接層の圏は[[アーベル圏]]であり、(X, O<sub>X</sub>) 上の O<sub>X</sub> 加群のなすアーベル圏の充満部分圏である。
（同様に、環 R 上の有限生成加群の圏も、すべての R-加群の圏の充満アーベル部分圏である。）
R により、[[層 (数学)#大域切断|大域切断]]のなす環 Γ(X, O<sub>X</sub>) を表すとすると、任意の R-加群は自然な方法で O<sub>X</sub>-加群の準連接層となり、R-加群から準連接層への函手をさだめることができる。しかし一般には、すべての準連接層がこの方法で R-加群から得られるわけではない。座標環 R を持つ[[アフィンスキーム]] X に対しては、この構成は X 上の R-加群と準連接層の間の[[圏同値]]を与える。とくに環 R が[[ネーター環]]の場合は、連接層は有限生成加群にちょうど対応する。
<!---The category of coherent sheaves on <math>(X,\mathcal{O}_X)</math> is an [[abelian category]], a full subcategory of the (much more unwieldy) abelian category of all sheaves on <math>(X,\mathcal{O}_X)</math>.
(Analogously, the category of [[coherent module]]s over any ring ''R'' is a full abelian subcategory of the category of all ''R''-modules.)

If ''R'' denotes the ring of regular functions <math>\Gamma(X,\mathcal{O}_X)</math>, then every ''R''-module gives rise to a quasi-coherent sheaf of <math>\mathcal{O}_X</math>-modules in a natural fashion, yielding a functor from ''R''-modules to quasi-coherent sheaves. In general, not every quasi-coherent sheaf arises from an ''R''-module in this fashion. However, for an [[affine scheme]] ''X'' with [[coordinate ring]] ''R'', this construction gives an [[equivalence of categories]] between ''R''-modules and quasi-coherent sheaves on ''X''. In case the ring ''R'' is [[Noetherian ring|Noetherian]], coherent sheaves correspond exactly to finitely generated modules.-->

[[可換環]]に関するいくつかの結果は、自然に連接層を使い解釈することができる。例えば[[中山の補題]]は、 F が連接層であれば、点 x での F のファイバー F<sub>x</sub>⊗<sub>O<sub>X,x</sub></sub>k(x)（[[剰余体]] k(x)上のベクトル空間）がゼロであることと、層 F が x のある開近傍でゼロであることは同値である、と言い換えることができる。このファイバーの k(x) ベクトル空間としての次元を x での'''ファイバー次元'''とよぶ。関連する事実として、連接層のファイバー次元は[[半連続|上半連続]]である。<ref>R. Hartshorne. ''Algebraic Geometry.'' Springer-Verlag (1977). Example III.12.7.2.</ref> すなわち、各自然数 n にたいし、ファイバー次元が n 以下になる点のなす集合は開集合になり、とくにある開集合の上では定数になり（したがってその開集合上のベクトルバンドルとみなせる）、その補集合の上ではファイバー次元はそれより大きくなる。

（アフィン、もしくは射影的な）[[代数多様体]] X （もしくはもっと一般的に[[コンパクト空間|準コンパクト]](quasi-compact)かつ準分離的([[:en:Glossary_of_scheme_theory#Separated_and_proper_morphisms|quasi-separated]])なスキーム）が与えられると、X 上の準連接層の圏はとてもよい性質をもつアーベル圏（{{仮リンク|グロタンディーク圏|en|Grothendieck category}}、[[英語|英]]: Grothendieck category）となる。とくに、準連接層の圏は（連接層の圏とは異なり）{{仮リンク|充分な単射的対象|en|enough injectives}}(enough injectives)を持つ。したがって準連接層の圏を考えることによって層のコホモロジーの理論を機能させることができる。スキーム X は同型を除いて、X 上の準連接層のアーベル圏によって、決定される。
<!---Some results in [[commutative algebra]] are naturally interpreted using coherent sheaves. For example, [[Nakayama's lemma]] says that if ''F'' is a coherent sheaf, then the fiber ''F''<sub>''x''</sub>⊗<sub>''O''<sub>''X'',''x''</sub></sub>''k''(''x'') of ''F'' at a point ''x'' (a vector space over the residue field ''k''(''x'')) is zero if and only if the sheaf ''F'' is zero on some open neighborhood of ''x''. A related fact is that the dimension of the fibers of a coherent sheaf is [[Semi-continuity|upper-semicontinuous]].<ref>R. Hartshorne. ''Algebraic Geometry.'' Springer-Verlag (1977). Example III.12.7.2.</ref> Thus a coherent sheaf has constant rank on an open set (where it is a vector bundle), while the rank can jump up on a lower-dimensional closed subset.

Given an (affine or projective) [[algebraic variety]] ''X'' (or more generally: a [[quasi-compact]] [[Glossary_of_scheme_theory#Separated_and_proper_morphisms|quasi-separated]] [[scheme (mathematics)|scheme]]), the category of quasi-coherent sheaves on ''X'' is a very well-behaved abelian category, a [[Grothendieck category]]. It follows that the category of quasi-coherent sheaves (unlike the category of coherent sheaves) has [[enough injectives]], which makes it a convenient setting for sheaf cohomology. The scheme ''X'' is determined up to isomorphism by the abelian category of quasi-coherent sheaves on ''X''.-->

==連接コホモロジー==
連接層の[[層係数コホモロジー]]論は、'''連接コホモロジー'''(coherent cohomology)と呼ばれる。これは層の主要で最も実りの多い応用の一つで、この結果はただちに古典的な理論と結びついている。
<!---==Coherent cohomology==
The [[sheaf cohomology]] theory of coherent sheaves is called '''''coherent cohomology'''''. It is one of the major and most fruitful applications of sheaves, and its results connect quickly with classical theories.-->

[[フレシェ空間]]の[[コンパクト作用素]]の定理を使い、[[アンリ・カルタン|カルタン]]と[[ジャン・ピエール・セール|セール]]は、[[コンパクト空間|コンパクト]]な[[複素多様体]]上では、任意の連接層のコホモロジーは有限次元のベクトル空間になることを証明した。

この結果は、コンパクト[[ケーラー多様体]]上の局所自由層の場合に、[[小平邦彦]]により以前に証明されていたものの拡張であり、[[代数幾何学と解析幾何学|GAGA]] の同値性の証明に重要な役割を果たしている。この定理の代数的な（非常に簡単な）バージョンは、セールにより証明された。この結果の相対的なバージョンは、[[アレクサンドル・グロタンディーク|グロタンディーク]](Grothendieck)により代数的な場合に証明され、{{仮リンク|ハンス・グラウエルト|label=グラウエルト|en|Hans Grauert}}(Hans Grauert)と{{仮リンク|ラインホルド・レンマート|label=レンマート|en|Reinhold Remmert}}(Reinhold Remmert)が解析的な場合に証明した。例えば、グロタンディークの結果は、f をスキームの[[固有射]]としたときに、連接層 F の高次順像 R<sup>i</sup>f<sub>*</sub>F が連接層になることを主張する。（この函手R<sup>i</sup> f<sub>*</sub>は{{仮リンク|層の順像|en|direct image of a sheaf}} f<sub>*</sub> の[[導来函手|右導来函手]]である。）セールの結果は相対的な結果を点への射に適用したものとみなすことができる。
<!---Using a theorem  of Schwartz on [[compact operator]]s in [[Fréchet space]]s, Cartan and Serre proved that [[compact manifold|compact]] complex manifolds have the property that their sheaf cohomology for any coherent sheaf consists of vector spaces of finite dimension.
This result had been proved previously by Kodaira for the particular case of locally free sheaves on Kähler manifolds. It plays a major role in the proof of the [[GAGA]] equivalence. An algebraic (and much  easier) version of this theorem was proved by [[Jean-Pierre Serre|Serre]]. Relative versions of this result for a [[proper morphism]] were proved by [[Grothendieck]] in the algebraic case and by [[Hans Grauert|Grauert]] and [[Reinhold Remmert|Remmert]] in the analytic case. For example Grothendieck's result concerns the [[functor]] R''f''<sub>*</sub> or push-forward, in sheaf cohomology. (It is the [[right derived functor]] of the [[direct image of a sheaf]].) For a proper morphism in the sense of [[scheme theory]], this functor sends coherent sheaves to coherent sheaves. The result of [[Jean-Pierre Serre|Serre]] is the case of a morphism to a point.-->

[[セール双対性]]を拡張したスキーム理論の双対性は、{{仮リンク|連接双対性|en|coherent duality}}(coherent duality)（もしくは'''グロタンディークの双対性'''）と呼ばれる。ある緩やかな有限性条件の下で、代数多様体上の[[ケーラー微分]]の層 Ω<sup>1</sup><sub>X</sub> は、連接層 である。多様体が滑らかなとき、Ω<sup>1</sup><sub>X</sub> は局所自由層であり、対応するベクトルバンドルは X の[[余接バンドル]]である。セール双対性によれば、次元が n である滑らかな射影多様体 X に対し、もっとも次数の高い[[外積代数|外積]] Ω<sup>n</sup><sub>X</sub> = Λ<sup>n</sup>Ω<sup>1</sup><sub>X</sub> は、連接層コホモロジーに対し'''双対対象'''としてふるまう。
<!---The duality theory in scheme theory that extends [[Serre duality]] is called [[coherent duality]] (or ''Grothendieck duality''). Under some mild conditions of finiteness, the sheaf of [[Kähler differential]]s on an algebraic variety is a coherent sheaf Ω<sup>1</sup>. When the variety is smooth, Ω<sup>1</sup> is a vector bundle, the [[cotangent bundle]] of ''X''. For a smooth projective variety ''X'' of dimension ''n'', Serre duality says that the top [[exterior power]] Ω<sup>n</sup> = Λ<sup>n</sup>Ω<sup>1</sup> acts as the ''dualizing object'' for coherent sheaf cohomology.-->

==脚注==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

==参考文献==
*Section 0.5.3 of {{EGA|book=I}}
*[[Robin Hartshorne]], ''Algebraic Geometry'', Springer-Verlag, 1977, ISBN 0-387-90244-9
*{{SpringerEOM|title=Coherent algebraic sheaf|last= Danilov|first=V. I. |urlname=Coherent_algebraic_sheaf}}
*{{SpringerEOM|title=Coherent analytic sheaf|last= Onishchik|first=A.L.|urlname=Coherent_analytic_sheaf}}
*{{SpringerEOM|title=Coherent sheaf|last= Onishchik|first=A.L.|urlname=Coherent_sheaf}}

==外部リンク==
*{{PlanetMath attribution|id=34618|title=Locally free}}
* [http://stacks.math.columbia.edu/download/modules.pdf Sheaves of Modules], from the Stacks Project

{{デフォルトソート:れんせつそう}}
[[Category:代数幾何学]]
[[Category:複素多様体]]
[[Category:層の理論]]
[[Category:数学に関する記事]]