連続の方法のソースを表示

{{要改訳}}
[[バナッハ空間]]の数学では、'''連続の方法'''(method of continuity)は、他の関係している作用素を変換して[[有界線型作用素]]を導く充分条件をもたらす。

==定式化==
B を[[バナッハ空間]]、V を[[ノルム付きベクトル空間]]とし、<math>(L_t)_{t\in[0,1]}</math>　を B から V への有界線型作用素の{{仮リンク|作用素のノルム|label=ノルム|en|Operator norm}}(norm)をもつ連続な族とする。ある定数 C が存在し、すべての <math>t\in [0,1]</math> とすべての <math>x\in B</math> に対し、
:<math>\|x\|_B \leq C \|L_t(x)\|_V</math>
が成り立つとすると、<math>L_0</math> が全射であることと、<math>L_1</math> が全射であることとは同値である。

==応用==
連続の方法は、[[楕円型偏微分方程式]]の適切な正規解の存在を証明するために、'''{{仮リンク|アプリオリ評価|en|a priori estimate}}'''(a priori estimate)と一緒に使う。

==証明==
<math>L_0</math> が全射であれば、<math>L_1</math> が同様に全射であることを示す。

区間 [0,1] を分割し、<math>\|L_0-L_1\| \leq 1/(3C)</math> であることを仮定し、さらに、<math>L_0</math> は V が B に同型であることを意味するので、V はバナッハ空間である。仮定は、<math>L_1(B) \subseteq V</math> が閉空間であることを意味する。
<math>L_1(B) \subseteq V</math> が固有な部分であると仮定する。[[ハーン-バナッハの定理]]により、<math>\|y\|_V \leq 1</math> であり、<math>\mathrm{dist}(y,L_1(B))>2/3</math> であるような点 <math>y\in V</math> が存在する。ここである <math>x\in B</math> に対し <math>y = L_0(x)</math> とし、仮定より <math>x\in B</math> であり <math>||x||_B \leq C ||y||_V</math> であるので、
:<math>||y-L_1(x)||_V = ||(L_0-L_1)(x)||_V \leq  ||L_0-L_1|| ||x||_B \leq 1/3,</math>
となる。これは、<math>L_1(x) \in L_1(B)</math> であるので矛盾が起きる。

==関連項目==
*{{仮リンク|シャウダー評価|en|Schauder estimates}}

==参考文献==
*{{citation|first1=D.|last=Gilbarg|first2=Neil|last2=Trudinger|authorlink2=Neil Trudinger|title=Elliptic Partial Differential Equations of Second Order|publisher=Springer|publication-place=New York|year=1983|isbn=3-540-41160-7}}

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{{DEFAULTSORT:れんそくのほうほう}}
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