連続の方程式のソースを表示

'''連続の方程式'''（れんぞくのほうていしき、{{lang-en-short|equation of continuity}}、連続方程式、連続の式、連続式などとも言う）は[[物理学]]で一般的に適用できる方程式で、「原因もなく[[物質]]が突然現れたり消えたりすることはない」という自然な考え方を表す。

[[保存則]]と密接に関わっている。
==狭義==
狭義には、[[流体力学]]における[[質量保存則]]
{{quotation|
:<math> 
{\partial \rho \over {\partial t}} + \nabla \cdot (\rho \boldsymbol{v}) = 0 
</math>
:（&rho;は[[密度]]、'''''v''''' は[[流れ]]の[[速度]]、''t'' は[[時間]]である。&nabla;は[[ナブラ]]を参照。）}}

あるいは、この式を[[非圧縮性流体]]に適用した
{{quotation|
:<math> 
\nabla \cdot \boldsymbol{v} = 0 
</math>}}
を指す。
==広義==
広義には、[[スカラー (物理学)|スカラー]][[物理量]] ''q'' についての[[保存則]]
{{quotation|
:<math>
    {\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} = 0
</math>
:（&rho;：''q'' の密度、'''''j'''''：''q'' の[[流束]]）}}

あるいは、更に一般化して、''q'' の[[輸送方程式]]（一般の保存則）
{{quotation|
:<math>
    {\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} = \sigma 
</math>
:（&sigma;：''q'' の[[湧き出し]]密度）}}
を指すこともある。

== 広義の連続の方程式の導出 ==
[[ファイル:continuity.png|thumb|200px|領域 &Omega; における物理量 ''q'' の総量 ''M'' の時間変化を ''q'' の生成と流出と合わせて図示したもの。代表点のみの軌跡を記している。青い点の個数は&Omega;における''q'' の総量 ''M'' (''t'' ) を表す。ピンクの点の個数は湧き出し &Delta;''t S'' を、黄色の点は流れだす流量 &Delta;''t J'' を表す。図より<br>
 <math>\Delta M  +  \Delta t J = \Delta t S</math> <br>
 <math>(6-5)     +   3              = 4  </math> <br>
が成り立つ事がわかる。]]
広義の連続の式をフラックス形式あるいは一般の保存則という<ref name ="ハンドブック">{{cite|和書 |author=中村育雄 |title=流体解析ハンドブック |publisher=共立出版 |date=1998年3月20日 |edition=初 |ISBN= 4320081188}}</ref>。''q'' をあるスカラー物理量、&Omega;を固定された有界積分領域、&part;&Omega;を&Omega;の境界である閉曲面とする。

''q'' についての連続の式は、
: 領域 &Omega; における ''q'' の単位時間あたりの'''増加量''' <math>{\mathrm{d}M\over\mathrm{d}t}</math> と 境界 &part;&Omega; における ''q'' の単位時間あたりの'''流出量'''（[[流量]]） ''J'' との'''和'''は、 領域&Omega;における ''q'' の単位時間あたりの'''湧き出し量''' ''S'' に'''等しい'''。
::<math>{\mathrm{d}M\over\mathrm{d}t} + J = S</math>
と表現できる。

ここで ''q'' は連続的に分布する量であり、上述の量はすべて何らかの「密度量」で表現できなければいけない。そこで、''q'' の密度 &rho;、''q'' の流束 '''''j''''' 、''q'' の湧き出し密度 &sigma; を導入すると、
:<math>
\begin{align}
    M &= \int_\Omega \rho \,\mathrm{d}V\\ 
    J &= \oint_{\partial\Omega}\boldsymbol{j}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\\ 
    S &= \int_\Omega \sigma \mathrm{d}V  
\end{align}
</math>
と表せる。ここで、d'''''S''''' は、境界 &part;&Omega; 上の微小素片における外向きの面積ベクトルであり、第2式は流束と面積ベクトルとの積の総和が境界を通って流れ出す ''q'' の流量であることを表している。

これにより連続の式は
:<math>
    {\mathrm{d}\over\mathrm{d}t}\int_\Omega \rho \,\mathrm{d}V 
    + \oint_{\partial\Omega}\boldsymbol{j}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} 
    = \int_\Omega \sigma \mathrm{d}V  
</math>
となる。

[[ガウスの定理]]を使って第2項を体積積分で書き換え、第1項の時間微分と体積積分を交換すると
:<math>
    \int_\Omega \left\{
         {\partial\rho\over\partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} - \sigma
     \right\}\mathrm{d}V
    = 0
</math>
となるので、微分形
:<math>{\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} = \sigma </math>
が得られる。

特に、湧き出しがないときの連続の式
:<math>{\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} = 0 </math>
を[[保存形]]、あるいは、''q'' の[[保存則]]の微分形と呼ぶ。

== 流体における連続の式 ==
=== 質量保存則 ===
速度が '''''v''''' で表される[[流れ]]を考える。&rho;を質量密度、'''''j''''' を質量の流束とする。流れ、すなわち、[[移流]]あるいは[[対流]]は速度 '''''v''''' での物質の移動であるので、流束は
:<math>
\boldsymbol{j}=\rho\boldsymbol{v}
</math>
となる<ref name ="巽流体">{{cite|和書 |author=巽友正 |title=新物理学シリーズ21 流体力学 |publisher=培風館 |date=1995年9月 |ISBN=456302421X}}</ref>。

質量保存則から連続の式は
:<math>{\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\left(\rho\boldsymbol{v}\right) = 0 </math>
となる。

=== 輸送定理による導出 ===
速度が '''''v''''' で表される流れにおける連続の方程式は、質量保存則と[[レイノルズの輸送定理]]を用いても導ける<ref name ="ハンドブック"/>。
:<math>
0= {\mathrm{d}\over\mathrm{d}t} \int_{\Omega(t)}  \rho\, dV 
= \int_{\Omega(t)} \left(
{D\rho \over Dt} + \rho\, \nabla\cdot\boldsymbol{v}
\right) dV
</math>
ここで、<math>{D \over Dt}</math> は[[実質微分]]であり、&Omega;(''t'' ) は流れと共に移動する任意の積分領域とする。1番目の等式は質量保存則を、2番目の等式はレイノルズの輸送定理を表している。

これより、
:<math>{D\rho \over Dt} + \rho\, \nabla\cdot\boldsymbol{v} = 0</math>
が成立する。

この式は、実質微分の定義
:<math>
{D \over Dt}\equiv{\partial \over \partial t}+\boldsymbol{v}\cdot\nabla
</math> 
と公式
:<math>
\nabla\cdot\left(\rho\boldsymbol{v}\right)
=\rho\, \nabla\cdot\boldsymbol{v} 
+ \boldsymbol{v}\cdot\nabla \rho
</math>
を使って、
:<math> 
{\partial \rho \over {\partial t}} + \nabla \cdot (\rho \boldsymbol{v}) = 0 
</math>
と等価であることがわかる。

=== 非圧縮性流体についての連続の方程式 ===
連続の方程式
:<math>{D\rho \over Dt} + \rho\, \nabla\cdot\boldsymbol{v} = 0</math>
に対して、[[非圧縮性流体]]の性質（密度が一定であること）を付加すると、非圧縮性流体における連続の式が導き出される。密度が一定というのは、空間的に一様という意味ではなく、変形していく領域内で一定という意味である<ref name ="巽流体"/>。つまり、<math>\frac{D \rho}{D t} = 0</math> となるので、&rho;&ne; 0 であることから、
:<math>
\nabla\cdot\boldsymbol{v}
 = 0
</math>
を得る。この式を[[非圧縮性条件]]ともいう。

この条件を満たす流れにおいて、流れていく流体要素の体積は不変である。

== 電磁気学における連続の方程式 ==
=== 電荷保存則 ===
[[電磁気学]]における連続の式とは[[電荷の保存則]]の微分形である<ref name ="砂川">{{cite|和書 |author=砂川重信 |title=理論電磁気学 |publisher=紀伊國屋書店 |date=1999年9月 |edition=3 |ISBN=4314008547}}</ref>。&rho; を[[電荷密度]]、'''''j''''' を[[電流密度]]とすれば、連続の式は
:<math>
    {\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} = 0
</math>
となる。

=== 変位電流 ===
[[マクスウェルの方程式]]において、[[電荷の保存則]]を満たすためにオリジナルのアンペールの式
:<math>
\nabla \times \boldsymbol{H} = \boldsymbol{j}
</math>
に[[変位電流]]を導入する必要があった。修正されたアンペールの式
:<math>
\nabla \times \boldsymbol{H} = {\partial \boldsymbol{D} \over \partial t} + \boldsymbol{j}
</math>
において、両辺に[[発散 (ベクトル解析)|発散]] &nabla;&middot; を作用させると、左辺はゼロとなるので、
:<math>
\nabla \cdot {\partial \boldsymbol{D} \over \partial t} + \nabla \cdot \boldsymbol{j} = 0
</math>
となり、ガウスの式
:<math>
\nabla \cdot \boldsymbol{D} = \rho
</math>
を代入することで連続の式が得られる。

=== 四元電流 ===
電荷の保存則を表す連続の式は[[四元電流]]を使うことで、ローレンツ共変でコンパクトな形にすることができる。四元電流 ''J''<sup>&mu;</sup> (&mu;= 0, 1, 2, 3) を
:<math>
    J^\mu = \left(c \rho, \boldsymbol{j} \right)
</math>
と表す。ここで ''c'' は[[光速]]である。微分演算子
:<math>
    \partial_\mu = \left(\frac{1}{c} {\partial \over \partial t} , \nabla \right)
</math>
を定義すると、連続の式は
:<math>
    \partial_\mu J^\mu = 0
</math>
と表現できる。ただし、添字における[[アインシュタインの規約]]を採用した。
<!---
電磁気学に出てくるもう一つの連続の方程式としては、電磁場の[[エネルギー保存則]]に相当する以下の式である。
:<math> 
\frac{dW}{dt} = \frac{d}{dt}\int_V u(\mathbf{r},t)d^3r + \oint_{\partial V} \mathbf{S}(\mathbf{r},t) \cdot d\mathbf{A} 
</math>

ここで、u は[[電磁場|エネルギー密度]]であり、'''S'''は[[ポインティング・ベクトル]]である。
u はそれぞれの点において電磁場が持つエネルギーで、 '''S''' はその流れを表している。
左辺の W は、電磁場が外部に為す仕事である。

:<math>
\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{S} = 0 
</math>

電磁場が外部に対し仕事をしない場合この式が成り立ち、電磁場のエネルギーが保存していることを表している。
-->

== 量子力学 ==
[[量子力学]]における連続の式は[[確率]]の保存則を表す<ref name ="メシア">{{cite|和書 |author=メシア |title=量子力学１ |translator=小出昭一郎、田村二郎 |publisher=東京図書 |date=1971年6月15日 |edition=1 |ISBN=4489012438}}</ref>。

&Psi;('''''r''''' , ''t'' ) を[[規格化]]された[[波動関数]]とする。[[確率密度]] &rho;、[[確率流束]] '''''j''''' を
:<math>
\begin{align} 
\rho &= \Psi^{*} \Psi\\
\boldsymbol{j} &= \frac{\hbar}{2m\mathrm{i}} \left [ 
  \Psi^{*}  \nabla \Psi  - \Psi      \nabla \Psi^{*} 
\right ]
\end{align}
</math>
と定義すると、[[シュレディンガー方程式]]
:<math>    
\mathrm{i}\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} =  -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi + U\Psi
</math>
を用いて、確率に対する連続の式
:<math>
    {\partial\rho \over \partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{j} = 0
</math>
が得られる。

=== 連続の式の導出 ===
シュレディンガー方程式とその[[複素共役]]の式
:<math> 
\begin{align} 
 \mathrm{i}\hbar \frac{\partial \Psi    }{\partial t} &= -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi + U\Psi,\\
-\mathrm{i}\hbar \frac{\partial \Psi^{*}}{\partial t} &= -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi^{*} + U\Psi^{*} 
\end{align}
</math>
それぞれに &Psi;<sup>*</sup> , &Psi; をそれぞれ掛けて2式の差を取ると
:<math> 
 \mathrm{i}\hbar \Psi^{*}\frac{\partial \Psi    }{\partial t}
+\mathrm{i}\hbar \Psi    \frac{\partial \Psi^{*}}{\partial t}
 = 
-\frac{\hbar^2}{2m}\Psi^{*}\nabla^2 \Psi 
+\frac{\hbar^2}{2m}\Psi    \nabla^2 \Psi^{*}
</math>
更に
:<math> 
 \mathrm{i}\hbar \frac{\partial \left(\Psi^{*}\Psi \right)}{\partial t}
 = 
-\frac{\hbar^2}{2m}
   \nabla \cdot \left( 
        \Psi^{*}\nabla \Psi - \Psi    \nabla \Psi^{*}
   \right)
</math>
となり、連続の式
:<math>
  {\partial\rho \over \partial t} + \nabla \cdot \boldsymbol{j} = 0
</math>
ただし、
:<math>
\begin{align}
  \rho &= \Psi^{*} \Psi\\
  \boldsymbol{j} &= \frac{\hbar}{2m\mathrm{i}} \left [ 
        \Psi^{*} \nabla \Psi 
      - \Psi     \nabla \Psi^{*} 
  \right ]
\end{align}
</math>
が得られる。

== 拡散方程式　==
[[ブラウン運動]]などのミクロスケール由来の現象による物質の質量[[輸送現象]]を考える<ref name ="岩波統計力学">{{cite|和書 |author=戸田 盛和|author2=斎藤 信彦|author3=久保 亮五|author4=橋爪 夏樹 |title=岩波講座 現代物理学の基礎 統計物理学 |publisher=岩波書店 |date=2011年11月26日 |edition=新装 |ISBN=4000298054}}</ref>。このとき、経験則である[[フィックの法則]]（フィックの第一法則）により流束は
:<math>
\boldsymbol{j}= -\kappa \nabla \rho
</math>
と密度の勾配で与えられる。係数 &kappa; は[[拡散係数]]と呼ばれ、[[量の次元|次元]] <math>\mathrm{L}^2\ \mathrm{T}^{-1}</math> をもつ。拡散係数が定数の時、連続の式から[[拡散方程式]]
:<math>
{\partial \rho \over \partial t} = \kappa \nabla^2 \rho
</math>
が得られる。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
<!--=== 注釈 ===
{{Reflist|group="注"}}-->
=== 出典 ===
{{Reflist}}

{{DEFAULTSORT:れんそくのほうていしき}}
[[Category:流体力学の方程式]]
[[Category:水理学]]
[[Category:保存則]]