連続性補正のソースを表示

[[確率論]]において、[[確率変数]] ''X'' が母集団特性値 ''n'' および ''p'' を持つとする。すなわち、''X'' が ''n'' 回の独立した[[ベルヌーイ試行]]において、各試行ごとの成功する確率が ''p'' となる"成功"の回数として分布するとき、

:<math>P(X\leq x) = P(X<x+1)</math>

の関係があらゆる ''x'' ∈ {0, 1, 2, ... ''n''} について成立する。もし ''np'' および ''np''(1 &minus; ''p'')  が十分に大きければ(しばしば ≥ 5 とされる)、上記の確率は次の式で非常によく近似できる。

:<math>P(Y\leq x+1/2)</math>

ここで ''Y'' は[[正規分布]]する確率変数であり ''X'' と同じ[[期待値]]と[[分散 (確率論)|分散]]を持つ。すなわち、''E''(''Y'') = ''np'' であり var(''Y'') = ''np''(1 &minus; ''p'') である。この式において 1/2 が ''x'' に加えられているが、これが'''連続性の補正'''である。

連続性の補正は、整数に対応した離散型分布が正規分布で近似されるときにも適用できる。例えば、もし ''X'' が期待値 λ の[[ポアソン分布]]であるならば、''X'' の分散もまた λ になる。そしてもし ''Y'' が期待値および分散が両方とも λ である正規分布をとるならば、''Y''は次の式で表される。

:<math>P(X\le x)=P(X<x+1)\approx P(Y\le x+1/2)</math>

== 適用 ==
確率の分布関数を正確に評価できる[[:Category:統計処理ツール|統計ソフトウェア]]が容易に利用できる以前は、連続性の補正を行うことは、検定統計量が離散型分布をとる場合の[[統計的仮説検定]]の実際の適用において重要であった。手計算を行う場合にはとりわけ重要であった。この例としてはコイン投げにおいてコインが公正かどうかをみるといった[[二項分布]]に関わる[[二項検定]]がある。

== 参考文献 ==
* Devore, Jay L., ''Probability and Statistics for Engineering and the Sciences'', Fourth Edition, Duxbury Press,  1995.
* Feller, W., ''On the normal approximation to the binomial distribution'', The Annals of Mathematical Statistics, Vol. 16 No. 4, Page 319-329,  1945.

== 関連項目 ==
*[[イェイツのカイ二乗検定]]
*[[ウィルソンの連続性補正に伴う得点区間]]

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[[Category:確率分布論]]
[[Category:統計検定]]
[[Category:計算統計学]]
[[Category:数学に関する記事]]