連続線形作用素のソースを表示

[[関数解析]]およびそれに関連する[[数学]]の分野における'''連続線形作用素'''（れんぞくせんけいさようそ、{{lang-en|''Continuous linear operator''}}）とは、[[線形位相空間]]の間の[[連続 (数学)|連続]]な[[線形変換]]のことを言う。

2つの[[ノルム空間]]の間の作用素が[[有界線形作用素]]であるならばそれは連続線形作用素であり、逆もまた成立する。

== 性質 ==

連続線形作用素は[[有界集合]]をふたたび有界集合へ写す。線形汎関数が連続であることとその[[核 (代数学)|核]]が閉であることは必要十分であり、有限次元空間上のすべての線形関数は連続となる。

''A'' を位相空間 ''X'' から ''Y'' への線形作用素とすると、以下の三つの性質は同値となる:
# ''A'' は ''X'' 内の点 0 で連続。
# ''A'' は ''X'' 内のある点 <math>x_0</math> で連続。
# ''A'' は ''X'' の至る所で連続。

この証明は、線形位相空間内の開集合の変換はふたたび開集合となること、および等式
: <math>A^{-1}(D)+x_0=A^{-1}(D+Ax_0) \,\!</math>
が空間 ''Y'' 内の任意の集合 ''D'' および空間 ''X'' 内の任意の点 ''x''<sub>0</sub> に対して成立すること（作用素 ''A'' の加法性により従う）により完成される。

==参考文献==
*{{cite book |last=Rudin |first=Walter |title=Functional Analysis |year=1991 |month=January |publisher=McGraw-Hill Science/Engineering/Math |isbn=0-07-054236-8}}

{{Mathanalysis-stub}}

{{Functional Analysis}}
{{DEFAULTSORT:れんそくせんけいさようそ}}
[[Category:関数解析学]]
[[Category:線型作用素]]
[[Category:数学に関する記事]]