進化ゲームのソースを表示

{{Expand English|date=2024年6月}}
[[File:Game Diagram AniFin.gif|thumb|400px|集団 (Population) の戦略分布に対してゲーム構造 (Game Rules) に基づいて各戦略の期待利得が定まり、期待利得に対して戦略の複製ルール (Replication Rules) に基づいて次の世代 (次の時点) の集団分布が決定される。進化ゲーム理論ではこの繰り返しによる集団の組成の変化を分析する。]]
'''進化ゲーム理論'''（しんかゲームりろん、{{lang-en-short|evolutionary game theory}}）とは、[[ゲーム理論]]の枠組みを[[集団遺伝学]]や[[個体群動態論]]に応用して成立した理論である。[[ジョン・メイナード＝スミス]]と[[ジョージ・プライス (科学者)|ジョージ・プライス]]が[[進化的に安定な戦略]]を提唱した1973年の論文{{Sfn|Maynard Smith|Price|1973}}をもってその誕生とされ{{sfn|石原|金井|2002|p=151}}{{Sfn|岡田|2011|p=405}}、1980年代になると[[ゲーム理論]]を生み出した[[経済学]]を含む[[社会科学]]に逆輸入された{{Sfn|岡田|2011|pp=415&ndash;416}}。

一般的な非協力ゲーム理論は、[[支配戦略#強支配される戦略の繰り返し消去|強支配される戦略の繰り返し消去]]による反復支配戦略均衡や[[解概念#後ろ向き帰納法|後ろ向き帰納法]]による[[部分ゲーム完全均衡]]のように、「事前に」利得関数を把握し適切な戦略を計算してからゲームに臨む[[合理的選択理論|合理的なプレイヤーを想定]]してその[[意思決定]]を分析するが、進化ゲーム理論は、繰り返されるゲームの中でゲーム結果である利得に基づいて「事後的に」戦略を変更していくプレイヤー (の集団) を想定してその状態 (戦略分布) の変化を[[力学系]]として分析する理論で、一切の合理的思考を行わないプレイヤーをも扱える{{sfn|石原|金井|2002|pp=2&ndash;3, 99&ndash;102, 117}}。どの戦略が安定して繁栄するのかを分析する安定性概念として[[進化的に安定な戦略]]{{sfn|石原|金井|2002|p=151}}{{Sfn|大浦|2008|pp=24}}{{Sfn|ウェイブル|1998|p=41}}{{Sfn|岡田|2011|p=406}}などを、ある状態からどの安定状態に向かうのかを分析する動学的モデルとして、プレイヤーの出生死滅 ([[自然選択]]) で集団状態が変化する[[レプリケーターダイナミクス]]{{Sfn|岡田|2011|pp=415&ndash;416}}{{sfn|石原|金井|2002|p=126}}{{Sfn|ウェイブル|1998|p=90}}{{Sfn|大浦|2008|pp=24}}や、プレイヤーの学習によって戦略分布が変化する学習ダイナミクス{{Sfn|大浦|2008|pp=25&ndash;26}}などを用いる。

== 歴史 ==
{{節スタブ|[[集団遺伝学]]や[[個体群動態論]]の歴史における進化ゲームの位置づけ|date=2021年4月13日 (火) 12:30 (UTC)}}
非協力ゲーム理論の創始者である[[ジョン・ナッシュ]]はその1950年の博士論文において既に、[[混合戦略]]を含めた[[ナッシュ均衡]]点の大衆行動 (mass-action) としての解釈について、ゲームの全体構造についての完全な知識や複雑な論理的思考の能力や性向を仮定せずに、可能な純粋戦略の相対的な利益についての経験的な情報の蓄積を仮定して論じていた{{Sfn|ウェイブル|1998|p=xii}}{{Sfn|Nash|1950|pp=21&ndash;23}}。それから20年余りが経った1973年、ともに[[物理学]]の背景を持つ[[数理生物学|数理生物学者]]の[[ジョン・メイナード＝スミス]]と[[集団遺伝学|集団遺伝学者]]の[[ジョージ・プライス (科学者)|ジョージ・プライス]]は戦略の[[突然変異]]について頑健な戦略として[[進化的に安定な戦略]] (ESS) の概念を提唱し{{Sfn|Maynard Smith|Price|1973}}{{Sfn|ウェイブル|1998|p=41}}、その後、ピーター・テイラーとレオ・ジョンカーが1978年に[[自然選択]]に基づく[[レプリケーターダイナミクス]]を用いて戦略の動学的な安定性を検討した{{Sfn|ウェイブル|1998|p=90}}{{Sfn|Taylor|Jonker|1978}}。1980年代後半には[[経済学]]や[[政治学]]などの[[社会科学]]分野に進化ゲーム理論の成果が逆輸入され{{Sfn|岡田|2011|pp=415&ndash;416}}、1990年代以降は試行錯誤や模倣といった単純な学習や、現在の集団状態への最適反応をとる、さらに相手の過去の行動から将来の行動を予測して最適反応をとる (仮想プレイを行う) 複雑な学習などによる戦略分布の変動を分析する学習ダイナミクス{{Sfn|大浦|2008|pp=25&ndash;26}}、選択が重視されてきた従来のダイナミクスに対して突然変異を選択圧を覆しうる強力な作用と捉える確率進化{{sfn|石原|金井|2002|pp=176&ndash;181}}、ゲームをプレイする相手が完全な[[無作為抽出]]ではない選択的相互作用{{sfn|石原|金井|2002|pp=181&ndash;187}}などが研究されている。

== 進化的に安定な戦略 ==
{{Main|進化的に安定な戦略}}
'''進化的に安定な戦略''' (evolutionarily stable strategy, '''ESS''') とは、「集団内のすべての個体がその戦略を採っている (既存戦略である) とき、いかなる他の戦略も、ある割合まで (この上限値を'''侵入障壁'''という) の小規模な侵入では既存戦略よりも低い期待利得しか得られない」ような戦略のことであり、[[適応度]]を利得にあてると、いかなる突然変異や集団外からの侵入であってもそれが単一の変異であり小規模であれば集団内に広まらず淘汰されることを意味する{{sfn|石原|金井|2002|pp=152&ndash;153}}{{Sfn|ウェイブル|1998|pp=41&ndash;42}}。混合戦略単体のどの面も[[コンパクト空間|コンパクト]]であることから、侵入障壁には下限が存在し、これを'''一様侵入障壁'''という{{Sfn|ウェイブル|1998|pp=54&ndash;56}}。また、ESSは混合戦略単体上のある近傍に対して、自身以外のいかなる戦略に対しても相手戦略自身より高い利得を得るという'''局所的優越性'''を持つ{{Sfn|ウェイブル|1998|pp=57&ndash;58}}。

ESSの条件を緩めた概念に以下の2つがある。
; 中立安定戦略 (neutrally stable strategy, NSS)
ESSは侵入後の状態において侵入戦略よりも厳密に高い期待利得を得ることを要求するのに対して、NSSは変異戦略に劣らなければよいとするもので、この弱い意味での侵入障壁について下限である'''一様弱侵入障壁'''を持ち、ある近傍について、自身以外のいかなる戦略に対しても相手自身に利得で劣らないという'''局所的弱優越性'''を持つ{{Sfn|ウェイブル|1998|pp=58&ndash;61}}。
; 均衡侵入に対して頑健な (robust against equilibrium entrant, REE) 戦略
REE戦略はある障壁以下の侵入ではいかなる他の戦略も侵入後の状態に対する最適反応になりえないような戦略として定義され、言わば考慮する侵入戦略を侵入後に最適反応となるものに限定するものであり、実際、REE戦略をとりあう戦略プロファイルは[[プロパー均衡]]であるという意味で合理的な摂動に頑健である{{Sfn|ウェイブル|1998|pp=62&ndash;63}}。

== レプリケーターダイナミクス ==
{{Main|レプリケーターダイナミクス}}
'''レプリケーターダイナミクス''' (replicator dynamics) または'''(自己)複製子動学'''とは、個体群のシェアが選択圧によって変化する動的な側面を[[力学系]]を用いて表現したものであり、安定性という静的な側面を表現したESSとは対照的な概念であり{{sfn|石原|金井|2002|p=126}}、また、[[自然選択]]による集団の変化に注目したものという意味でも、[[突然変異]]に注目して考案されたESSとは対照的である{{Efn|ただし、ESSも突然変異侵入後のレプリケーターダイナミクスによる自然選択を暗に仮定している{{Sfn|石原|金井|2002|p=126}}。}}{{Sfn|ウェイブル|1998|p=89}}。ESSとレプリケーターダイナミクスの両者は「進化ゲーム理論におけるいわば車の両輪」{{sfn|石原|金井|2002|p=126}}とされる。また、レプリケーターダイナミクスは{{仮リンク|一般化ロトカ・ヴォルテラ方程式|en|Generalized_Lotka–Volterra_equation}}として捉えることもできる{{sfn|石原|金井|2002|pp=138&ndash;139}}

集団の状態(戦略分布)を同じ確率分布の混合戦略 {{math|''x''}} で表現し、その状態における純粋戦略 {{math|''i''}} のシェアを {{math|''x''{{sub|''i''}}}} で表すと、混合利得関数 {{math|''u''}} のもとで、連続時間のレプリケーターダイナミクスは以下の時間に対する[[微分方程式]]で表現される[[自励系]]である{{Sfn|ウェイブル|1998|p=89}}。
: <math>\dot{x_i}=[u(e^i,\,x)-u(x,\,x)]x_i</math>
ここで、[[ドット符号]]は時間での[[微分]]を表し([[ニュートンの記法]])、{{math|''e''{{sup|''i''}}}} は純粋戦略 {{math|''i''}} を確率1でとる混合戦略を表す。このダイナミクスにおいては、反復強支配される戦略はシェアが0に収束し{{Sfn|ウェイブル|1998|p=105}}、対称[[ナッシュ均衡]]点は[[定常]]{{Sfn|ウェイブル|1998|pp=109&ndash;111}}、NSSは[[リアプノフ安定]]{{Sfn|ウェイブル|1998|pp=132&ndash;133}}、ESSは[[リアプノフ安定#漸近安定|漸近安定]]{{Sfn|ウェイブル|1998|pp=127&ndash;128}}となることが知られている。

また、[[差分方程式]]で表現される離散時間でのダイナミクスには、世代区分ダイナミクスと世代重複ダイナミクスとがある。世代区分ダイナミクスは背景利得を {{math|''&alpha;''}} として
: <math>x_i(t+1)=\frac{p_i(t+1)}{p(t+1)}=\frac{\alpha+u(e^i,\,x(t))}{\alpha+u(x(t),\,x(t))}x_i(t).</math>
で表現される{{Sfn|ウェイブル|1998|pp=155&ndash;156}}。この差分方程式の下では毎回全ての個体が死滅して新しい世代が一斉に生まれることになる。代わりに、単位時間あたり {{math|''r''}} 回に分けて集団の {{math|1 / ''r''}} ずつを更新するモデルを考えよう。更新は等しい時間間隔 {{math|''&tau;'' {{=}} 1 / ''r''}} で、背景利得は {{math|''&beta;''}} であるとすると、
: <math>x_i(t+\tau)=\frac{1-\tau+\tau[\beta+u(e^i,\,x(t))]}{1-\tau+\tau[\beta+u(x(t),\,x(t))]}x_i(t).</math>
で表現される階数 {{math|''r''}} 世代重複ダイナミクスが得られる{{Sfn|ウェイブル|1998|pp=157&ndash;158}}。 {{math|''r'' {{=}} ''&alpha;'' &minus; ''&beta;'' + 1}} の場合は離散時間ダイナミクスである。また、階数を限りなく大きくする (つまり時間間隔 {{math|''&tau;''}} が限りなく0に近づく) と、連続時間ダイナミクスに収束する。
<!-- 編集される方へ。以下の記述は過去の版にあったものですが、明確な出典が見つけられず、現在はWeibullの教科書にならう表現にしています。しかし、大変すっきりとして分かりやすい表現ではあると思いますので、出典の判明次第記事本文の説明に組み込んでくださればと思います -->
<!-- 
最も一般的な連続時間系のレプリケータダイナミクスは以下のような[[微分方程式]]で書かれる。
:<math> \dot{x_i}(t) = x_i(t) \{ f_i(x(t)) - \phi(x(t)) \} , \quad \phi(x(t)) = \sum_{i=1}^{n}{x_i(t) f_i(x(t))}</math>
ここで、xは集団中のiの比率、fはiの適応度を表している。また<math> \phi </math>は集団の平均適応度である。

時間間隔<math> \tau </math>の離散時間系のレプリケータダイナミクスとして以下のような[[差分方程式]]がよく用いられる。
:<math> x_{i}(t+\tau ) = x_i(t) \frac{f_i(x(t))}{\phi(x(t))} </math>
-->

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Reflist|group="注釈"}}
=== 出典 ===
{{Reflist|colwidth=25em}}
=== 文献 ===
; 日本語
* {{Cite book|和書|last1=石原|first1=英樹|last2=金井|first2=雅之|title=シリーズ〈意思決定の科学〉5　進化的意思決定|date=2002-04-05|publisher=[[朝倉書店]]|isbn=4-254-29515-4|ref=harv}}
* {{Cite book|和書|last=ウェイブル|first=ヨルゲン W.|others=[[大和瀬達二]] 監訳、三澤哲也/[[赤尾健一]]/大阿久博/横尾昌紀 訳|title=進化ゲームの理論|date=1998-03-31|publisher=オフィス カノウチ|origyear=1995|isbn=4-8301-0820-7|ref=harv|authorlink=:sv:Jörgen_Weibull_(nationalekonom)}}
* {{Cite book|和書|last=大浦|first=宏邦|title=社会科学者のための進化ゲーム理論　基礎から応用まで|date=2008-09-25|publisher=[[勁草書房]]|isbn=978-4-326-60213-1|ref=harv}}
* {{Cite book|和書|last=岡田|first=章|title=ゲーム理論〔新版〕|date=2011-11-25|publisher=[[有斐閣]]|isbn=978-4-641-16382-9|ref=harv|authorlink=岡田章}}
; 外国語
* {{Cite journal|journal=[[ネイチャー|Nature]]|year=1973|title=The logic of animal conflict|volume=246|last=Maynard Smith|first=John|DOI=10.1038/246015a0|pages=15&ndash;18|ref=harv|last2=Price|first2=George|authorlink1=ジョン・メイナード＝スミス|authorlink2=ジョージ・プライス (科学者)}}
* {{Cite journal|journal=[[プリンストン大学|Princeton University]] Library|year=1950|title=Non-cooperative games|last=Nash|first=John|authorlink=ジョン・ナッシュ|url=https://library.princeton.edu/special-collections/sites/default/files/Non-Cooperative_Games_Nash.pdf|ref=harv}}
* {{Cite journal|journal=[[:en:Mathematical Biosciences|Mathematical Biosciences]]|year=1978|title=Evolutionary stable strategies and game dynamics|volume=40|last=Taylor|first=Peter|DOI=10.1016/0025-5564(78)90077-9|pages=145&ndash;156|ref=harv|last2=Jonker|first2=Leo}}


== 関連項目 ==
<!-- {{Commonscat|Evolutionary game theory}} -->
* [[力学系]]
* [[数理生物学]]
* [[比較制度分析]]
* [[社会文化的進化]]

{{Popgen}}
{{ゲーム理論}}
{{Math-stub}}
{{Sci-stub}}
{{Socsci-stub}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:しんかけえむ}}
[[Category:進化ゲーム理論|*]]
[[Category:ゲーム理論]]
[[Category:集団遺伝学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:進化動態]]