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'''選択公理'''（せんたくこうり、{{Lang-en-short|axiom of choice}}、'''選出公理'''ともいう）とは[[公理的集合論]]における[[公理]]のひとつで、どれも空でないような[[集合]]を[[元 (数学)|元]]とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。[[1904年]]に[[エルンスト・ツェルメロ]]によって初めて正確な形で述べられた<ref>[[エルンスト・ツェルメロ|Zermelo, Ernst]] (1904). "Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann". Mathematische Annalen 59: 514-16.</ref>。

== 定義 ==
[[空集合]]を要素に持たない任意の[[集合族]]に対して、各要素（それ自体が集合である）から一つずつその要素を選び、新しい集合を作ることができる。あるいは同じことであるが、空でない集合の空でない任意の族 <math>\mathcal{A}</math> に対して写像 <math>f \colon \mathcal{A} \to \textstyle{\bigcup} \mathcal{A}:=\textstyle{\bigcup_{A \in \mathcal{A}}}A</math> であって任意の <math>A \in \mathcal{A}</math> に対し <math>f(A) \in A</math> なるものが存在する、と[[写像]]を用いて言い換えることが出来る（ここで存在が要求される写像 {{mvar|f}} を'''{{ill2|選択関数|en|Choice function}}'''という）。これは次の[[命題]]と[[同値]]である。

: {''A''<sub>''λ''</sub>}<sub>''λ''∈''Λ''</sub> をどれも空集合でないような集合の族とすると、それらの[[直積集合|直積]]<!--
:: <math>\prod_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda</math>
:-->も空集合ではない。記号で書けば、
:<math>\left(\forall \lambda \in \Lambda \right)\left[A_{\lambda} \neq \emptyset \right]
\implies \textstyle\prod_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda \neq \emptyset.</math>

== 選択公理と等価な命題 ==

以下の命題は全て選択公理と同値である。つまり、以下の命題のいずれかを仮定すると選択公理を[[証明 (数学)|証明]]することができるし、逆に選択公理を仮定すると以下の命題が全て証明できる。

; [[整列可能定理]]:任意の集合は整列可能である。
; [[ツォルンの補題]]:[[順序集合]]において、任意の[[全順序]][[部分集合]]が[[有界]]ならば、[[極大元]]が存在する。（実際の数学では、この形で選択公理が使われることも多い。）
; [[テューキーの補題]]:{{仮リンク|有限性|en|Finite character}}を満たす空でない任意の集合族は[[包含関係]]に関する極大元を持つ。
; [[比較可能定理]]:任意の集合の[[濃度 (数学)|濃度]]は比較可能である。
; [[直積定理]]:[[無限]]個の空集合でない集合の直積は空集合ではない。
;右逆写像の存在:[[全射]]は[[逆写像|右逆写像]]を有する。
; [[ケーニヒの定理 (集合論)|ケーニッヒ（Julius König）の定理]]:濃度の小さい集合の[[直和]]より、濃度の大きい集合の直積のほうが濃度が大きい。
;ベクトル空間における基底の存在: 全ての[[ベクトル空間]]は[[基底 (線型代数学)|基底]]を持つ（1984年に[[:en:Andreas Blass]]によって選択公理と同値であることが証明された。ただし、[[正則性公理]]が必要になる）。
; [[チコノフの定理]]:[[コンパクト空間]]の任意個の積空間はコンパクトになる。
; [[クルルの定理]]:単位元をもつ環は[[極大イデアル]]を持つ。

== 応用 ==
選択公理、もしくはそれと同値な命題を適用することで、以下を示すことができる。
* [[ハーン–バナッハの定理]]<!--
* ベクトル空間の基底の存在-->
* [[ハウスドルフのパラドックス]]
* [[バナッハ＝タルスキーのパラドックス|バナッハ＝タルスキーの定理]]
* 可算集合の可算個の和は可算である
* 任意の無限集合は可算集合を含む
* [[ルベーグ測度|ルベーグ非可測集合]]の存在
* 任意の[[フィルター (数学)|フィルター]]は極大フィルターに拡大できる
* 全ての体には代数的閉包が存在する。

== 歴史 ==
集合論の創始者[[ゲオルク・カントール]]は、選択公理を自明なものとみなしていた。

しかし、[[エルンスト・ツェルメロ|ツェルメロ]]による整列可能定理の証明に反論する過程で、[[エミーユ・ボレル]]、[[ルネ＝ルイ・ベール]]、[[アンリ・ルベーグ]]、[[バートランド・ラッセル]]などが選択公理の存在に気付き、新たな公理と認識されるようになった。

[[クルト・ゲーデル]]と[[ポール・コーエン (数学者)|ポール・コーエン]]によって、[[ツェルメロ＝フレンケル集合論|ZF（ツェルメロ＝フレンケルの公理系）]]から独立であること（ZFに選択公理を付け加えても矛盾しないが、ZFから選択公理を証明することはできない）が示された。これは集合論研究における大きな成果であろう。

ZFに[[一般連続体仮説]]を加えると選択公理を証明できることが知られている。これは、[[1926年]]に{{仮リンク|アドルフ・リンデンバウム|en|Adolf Lindenbaum}}と[[アルフレト・タルスキ]]が示したが証明は散逸したとされる。同内容を[[1943年]]に[[ヴァツワフ・シェルピニスキ]]が再発見し[[1947年]]に出版した。

== バナッハ＝タルスキーのパラドックスと選択公理 ==
選択公理を仮定することによって導かれる、一見、奇怪で非直観的な結果の中でも、[[バナッハ＝タルスキーのパラドックス]]は有名なもので、「有限個の部分に分割し、それらを回転・平行移動操作のみを使ってうまく組み替えることで、元の球と同じ半径の球を2つ作ることができる」と、初歩的な概念のみで表現することができる。ただ、ここでの「有限個の分割」は、通常イメージされる単純な分割（包丁でいくつかのパーツに切り分けるようなもの）ではなく、非常に特殊な分割であるため、「"奇怪な分割"をした結果、奇怪な結果（2つに増える）が生じた」にすぎないという側面もある。

なお、[[ステファン・バナフ|ステファン・バナフ（バナッハ）]]と[[アルフレト・タルスキ|タルスキ]]は論文の冒頭で、「証明のなかに、この公理（選択公理）が果たす役割は、注目するに値する」と述べているだけであり、バナッハ＝タルスキーのパラドックスによって選択公理が正しくないと明確に主張したわけではない。

== 代わりとなる公理 ==
選択公理とは矛盾するが、ZFCから選択公理を除いたZFとは矛盾しないような命題は数多く発見されている。たとえば{{仮リンク|ロバート・ソロヴェイ|en|Robert M. Solovay}}は[[強制法]]を用いて実数の集合が全て[[ルベーグ測度|ルベーグ可測]]であるようなZFのモデル（[[ソロヴェイモデル]]）を構成した。

[[1964年]]に{{仮リンク|ヤン・ミシェルスキ|en|Jan Mycielski}}が導入した[[決定性公理]]もその一つである。これはその後、無矛盾性証明のために頻繁に用いられている。ZFに決定性公理を付け加えた公理系の無矛盾性と、ZFに選択公理と[[巨大基数]]の一種である{{仮リンク|ウッディン基数|en|Woodin cardinal}}の存在を公理として付け加えた公理系の無矛盾性が同値となるという[[ヒュー・ウッディン|ウッディン]]の定理は、互いに矛盾する公理を関係づける非常に重要なものである。

== 選択公理の変種 ==
選択公理には様々な変種が存在する。

=== 可算選択公理 ===
{{Main|可算選択公理}}
選択公理よりも弱い公理として、可算選択公理（{{Lang-en-short|countable axiom of choice,denumerable axiom of choice}}）というものも考えられている<ref name="Tanaka1987.p.36">[[#田中1987|田中(1987)]]、36頁。</ref>。全ての集合は可算集合を含むこと、可算集合の可算和が可算集合であることは、この公理により証明できる。

[[ゲオルク・カントール|カントール]]、[[バートランド・ラッセル|ラッセル]]、[[エミーユ・ボレル|ボレル]]、[[アンリ・ルベーグ|ルベーグ]]などは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている。

=== 従属選択公理 ===
{{Main|従属選択公理}}

=== 有限集合の族に対する選択公理 ===
集合族の要素を特定の有限集合に制限した公理も研究されている<ref>Jech, Thomas J. (2008-07-24), The Axiom of Choice, Dover Books on Mathematics (Paperback ed.), United States: Dover Publications Inc., ISBN 978-0-486-46624-8</ref>。即ち、

　　　　'''AC<sub>n</sub> : n元集合からなる任意の集合族は選択関数を持つ。'''

という形の公理である。

この種の公理について以下のようなことが知られている（すべてZF公理系を仮定）。

*AC<sub>2</sub> <math>\Rightarrow</math> AC<sub>4</sub>

*<math>n \neq 1,2,4</math> ならば AC<sub>2</sub> <math>\nRightarrow</math> AC<sub>n</sub>

*各 <math>n \in N</math> について AC<sub>n</sub> が成り立つ仮定の下でも、「有限集合からなる任意の集合族は選択関数を持つ」(Axiom of choice for finite sets)を証明できない。

*ZFでは AC<sub>2</sub> を証明できない。

AC<sub>2</sub> <math>\Rightarrow</math> AC<sub>4</sub>を示すには、4元集合からなる集合族 <math>F</math> に選択関数が存在することを示せば良い。まず <math> \{\{a,b\}:a,b \in \bigcup F , a\neq b\}</math> に AC<sub>2</sub> を適用して、選択関数 <math>g</math> を得る。次に <math>g</math> を使って <math>F</math> の各元 <math>\rm A</math> から元をひとつ取りだすことを考える。集合 <math>{\rm B}</math> を <math> \{\{a,b\}:a,b \in {\rm A} , a\neq b \}</math> とおくと、<math>{\rm B}</math> は <math>_4C_2=</math>6元集合となる。<math>\rm A</math> の元 <math>a</math> に対し、<math>q(a) = |\{b \in B : g(b) = a \}|</math> という関数を定め、<math>q(a)</math> の最小値を <math>m</math> とおく。集合 <math>{\rm M}</math> を <math>\{a \in {\rm A} : q(a) = m\}</math> とおくと、<math>{\rm A}</math> は4元集合なので <math>{\rm M}</math> の濃度は <math> 1, 2, 3, 4 </math> のいずれかであるが、<math>|\rm M|=4</math>と仮定すると、<math>4q(a)=\sum_{a\in \rm A}q(a)=|\rm B|=6</math>となり矛盾する。<math>|\rm M| = 1</math> である場合は、<math>{\rm M}</math> の元を選択関数 <math>f({\rm A})</math> の値とすればよい。<math>|M| = 2</math> の場合は、<math>f({\rm A}) = g({\rm M})</math> とする。最後に <math>|M| = 3</math> である場合は、<math>{\rm A} \setminus {\rm M}</math> の元を <math>f({\rm A})</math> の値とすればよい。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
===注釈===
{{Notelist}}
===出典===
{{reflist}}

== 参考文献 ==
*{{Cite book|和書|author=田中尚夫|authorlink=田中尚夫|year=1987|month=5|title=選択公理と数学――発生と論争、そして確立への道|publisher=遊星社(出版) 星雲社(発売)|isbn=4-7952-6857-6|ref=田中1987}}
**{{Cite book|和書|author=田中尚夫|authorlink=田中尚夫|year=1999|month=9|title=選択公理と数学――発生と論争、そして確立への道|edition=増補版|publisher=遊星社(出版) 星雲社(発売)|isbn=4-7952-6890-8|ref=田中1999}}
**{{Cite book|和書|author=田中尚夫|authorlink=田中尚夫|year=2005|month=10|title=選択公理と数学――発生と論争、そして確立への道|edition=増訂版|publisher=遊星社(出版) 星雲社(発売)|isbn=4-434-06805-9|ref=田中2005}}
*{{Cite book|和書|editor=日本数学会|editor-link=日本数学会|date=2007-03-15|title=岩波数学辞典|edition=第4版|publisher=[[岩波書店]]|isbn=978-4-00-080309-0|url=http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/08/3/0803090.html|ref=日本数学会2007}}
*{{Cite book|和書|author1=ケネス・キューネン|authorlink1=ケネス・キューネン|author2=藤田博司|year=2008|month=1|title=集合論―独立性証明への案内|publisher=日本評論社|isbn=978-4535783829|ref=Kunen}}
* {{cite book
 | author = Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach Jr.
 | year = 1995
 | title = Counterexamples in Topology (Dover Books on Mathematics)
 | edition = New
 | publisher = Dover Publications
 | isbn = 978-0486687353
}}

== 関連文献 ==
*{{Citation|last=Bell|first=John L.|author-link=ジョン・L・ベル|date=2009-11-23|title=The Axiom of Choice|publisher=College Publications|location=United Kingdom|edition=Paperback|series=Studies in Logic Series|isbn=978-1-904987-54-3}}
*{{Citation|last=Jech|first=Thomas J.|author-link=トマーシュ・イェフ|date=2008-07-24|title=The Axiom of Choice|publisher=Dover Publications Inc.|location=United States|edition=Paperback|series=Dover Books on Mathematics|isbn=978-0-486-46624-8}}
*{{Citation|last=Moore|first=Gregory H.|author-link=グレゴリー・H・ムーア|date=2013-03-21|title=Zermelo's Axiom of Choice: Its Origins, Development, and Influence|publisher=Dover Publications Inc.|location=United States|edition=Paperback|series=Dover Books on Mathematics|isbn=978-0-486-48841-7}}

== 関連項目 ==
*[[決定性公理]]
*[[公理的集合論]]
*[[整列可能定理]]
*[[ツォルンの補題]]
*[[ブール論理]]
*[[バナッハ＝タルスキーのパラドックス]]

== 外部リンク ==
*{{MathWorld|title=Axiom of Choice|urlname=AxiomofChoice}}
{{SEP|axiom-choice|The Axiom of Choice}}
*[http://alg-d.com/math/ac/ 選択公理] 特に選択公理と同値な命題とその証明について詳しい
{{DEFAULTSORT:せんたくこうり}}
{{集合論}}
{{Normdaten}}
[[Category:選択公理|*]]
[[Category:集合論の公理]]
[[Category:数学に関する記事]]