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[[数学]]、とくに[[環上の加群|加群]]論として知られている[[抽象代数学]]の分野において、[[環 (数学)|環]] ''R'' は、''R'' 上の[[射影加群]]のすべての[[部分加群]]が再び射影加群になるとき、'''遺伝環'''（いでんかん、{{lang-en-short|hereditary ring}}）と呼ばれる。この条件が[[有限生成加群|有限生成部分加群]]についてのみ要求されるときは、'''半遺伝環'''（はんいでんかん、{{lang-en-short|semihereditary ring}}）と呼ばれる。

非可換環 ''R'' に対しては、左右の区別が必要であり、'''左遺伝的'''、'''左半遺伝的'''および左を右にした用語が使われる。左（半）遺伝的であるためには、射影'''左''' ''R''-加群のすべての（有限生成）部分加群が射影的でなければならないし、右（半）遺伝的であるためには、射影'''右''' ''R''-加群のすべての（有限生成）部分加群が射影的でなければならない。環が左（半）遺伝的だが右（半）遺伝的でないことはあり、左右を逆にしても同様である。

== 同値な定義 ==
* 環 ''R'' が左（半）遺伝的であることと ''R'' のすべての（有限生成）左イデアルが射影加群であることは同値である<ref>{{harvnb|Lam|1999|p=42}}</ref><ref name=R2729>{{harvnb|Reiner|2003|pp=27–29}}</ref>。
* 環 ''R'' が左遺伝的であることとすべての左加群が長さが高々 1 の[[射影分解]]をもつことは同値である。したがって通常の[[導来関手]]、例えば {{math|[[Ext関手|Ext]]{{SubSup||''R''|''i''}}}} や  {{math|[[Tor関手|Tor]]{{SubSup||''i''|''R''}}}} は ''i''&nbsp;&gt;&nbsp;1 のとき自明である。

== 例 ==
* [[半単純環]]は同値な定義によって左右とも遺伝的であることが容易にわかる。すべての左右のイデアルは ''R'' の直和成分であり、したがって射影的である。同様に、[[フォン・ノイマン正則環]]において、すべての有限生成な左右のイデアルは ''R'' の直和成分であるので、フォン・ノイマン正則環は左右半遺伝的である。

* [[非可換整域]] ''R'' の任意の 0 でない元 ''x'' に対し、写像 <math>r\mapsto xr</math> によって <math>R\cong xR</math>である。したがって、任意の非可換整域において、単項右イデアルは自由ゆえ射影的である。これは非可換整域は右 {{仮リンク|Rickart 環|en|Rickart ring}} であるという事実を反映している。''R'' が右[[ベズー整域]]であれば有限生成右イデアルは単項イデアルであるので ''R'' のすべての有限生成右イデアルは射影的であるということが従い、したがって ''R'' は右半遺伝環である。最後に、''R'' が単項右イデアル整域であれば、すべての右イデアルは射影的であり ''R'' は右遺伝的である。

* 可換遺伝整域は[[デデキント整域]]と呼ばれる。可換半遺伝整域は[[プリューファー整域]]と呼ばれる。

* （左）遺伝環の重要な例は[[箙 (数学)|箙]]の[[箙 (数学)#道代数|道代数]]である。これは道代数上の加群に対し長さ 1 の標準分解が存在することの帰結である。

== 性質 ==
* 左遺伝環 ''R'' に対し、自由左 ''R''-加群のすべての部分加群は ''R'' の左イデアルの直和に同型で、したがって射影的である<ref name=R2729/>。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
*{{citation | last=Crawley-Boevey | first=William | url=http://www.amsta.leeds.ac.uk/~pmtwc/quivlecs.pdf | title=Notes on Quiver Representation }}
*{{Citation | last1=Lam | first1=Tsit-Yuen | title=Lectures on modules and rings | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics No. 189 | isbn=978-0-387-98428-5 | mr=1653294 | zbl=0911.16001 | year=1999 | pages=42&ndash;45 | url={{google books|r9VoYbk-8c4C|Lectures on modules and rings|page=42|plainurl=yes}} }}
* {{citation | last = Osborne | first = M. Scott | title = Basic Homological Algebra | series = Graduate Texts in Mathematics | volume = 196 | publisher = Springer-Verlag | date = 2000 | isbn = 0-387-98934-X | zbl=0948.18001 }}
* {{citation | last=Reiner | first=I. | title=Maximal Orders | series=London Mathematical Society Monographs.  New Series | volume=28 | publisher=[[Oxford University Press]] | year=2003 | isbn=0-19-852673-3 | zbl=1024.16008 }}
* {{citation | last=Weibel | first=Charles A. | title=An introduction to homological algebra | series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics | volume=38 | publisher=[[Cambridge University Press]] | location=Cambridge | year=1994 | isbn=0-521-43500-5 | zbl=0797.18001 }}

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