遺伝的有限集合のソースを表示

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[[数学]]および[[集合論]]において'''遺伝的有限集合'''（いでんてきゆうげんしゅうごう、{{lang-en-short|hereditarily finite set}}）は有限個の遺伝的有限集合からなる有限集合と定義される。この定義は帰納的である。遺伝的という名称は遺伝的有限という性質がその元に遺伝することによる。

==形式的な定義==
[[整礎的]]な遺伝的有限集合の帰納的定義は次のようにされる：
: ''基底段階'': 空集合は遺伝的有限である。
: ''再帰段階'': もし <math>a_1,\ldots,a_k</math> が遺伝的有限ならば <math>\{ a_1,\ldots,a_k \}</math> もそうである。
以上によって遺伝的有限集合とわかるものだけが遺伝的有限集合である。

全ての整礎的な遺伝的有限集合からなる集合を <math>V_\omega</math> と書く。いま <math>\mathcal{P}(S)</math> で <math>S</math> の[[冪集合]]を表すことにすれば、 <math>V_\omega</math> は空集合から始めて次のように再帰的に定義できる：
:<math>V_0 = \varnothing</math>
:<math>V_{n+1} = \mathcal{P}(V_n)</math>
:<math>V_\omega = \bigcup_{n<\omega}V_n</math>

==議論==
遺伝的有限集合のクラスは[[フォン・ノイマン宇宙]]の部分クラスである。これは[[ツェルメロ=フレンケル集合論]]において[[無限公理]]をその否定に置き換えた理論の[[モデル理論|モデル]]を成す。したがって無限公理はその他の公理からは証明できない。

<math>V_n</math> の濃度は <math>^{n-1}2</math>（[[テトレーション]]を見よ）であるから遺伝的有限集合はちょうど[[可算無限]]個ある。

同じことであるが、集合が遺伝的有限であることと、その[[推移閉包]]が有限であることは同値である。 <math>V_\omega</math> は <math>H_{\aleph_0}</math> とも書かれる。その意味するところは遺伝的に濃度が <math>\aleph_0</math> 未満ということである。

==アッカーマンの全単射==

{{harvtxt|Ackermann|1937}}は次のような自然な全単射 <math>f:\mathbb{N} \to V_\omega</math> を与えている。これは[[アッカーマン符号化]]として知られる。これは遺伝的集合の階数に関する帰納法によって
:<math>f(2^a+2^b+\cdots) = \{f(a), f(b),\ldots\}</math>
と定義される。ただし <math>a,b,\ldots</math> は相異なるものとする。このとき <math>f(m) \in f(n)</math> であることと、 <math>n</math> の2進展開の第 <math>m</math> 位が <math>1</math> であることとは同値である。

==ラドーグラフ==

遺伝的有限集合を頂点とするグラフであって、一方が他方を含むときに限り、それらの頂点を辺で結んで得られるグラフを[[ラドーグラフ]]あるいはランダムグラフという。

==関連項目==
*[[遺伝的可算集合]]

==参考文献==

*{{citation|journal=Mathematische Annalen
|year=1937|volume= 114|issue =1|pages= 305-315
|title=Die Widerspruchsfreiheit der allgemeinen Mengenlehre
|first=Wilhelm |last=Ackermann|doi=10.1007/BF01594179}}

{{デフォルトソート:いてんてきゆうけんしゆうこう}}
[[Category:集合論]]
[[Category:数学に関する記事]]