部分写像のソースを表示

[[file:Partial function.svg|thumb|200px|単射な部分写像の例]] 
[[file:Total function.svg|thumb|200px|単射でない全域写像の例]]

[[数学]]において'''部分写像'''（ぶぶんしゃぞう、{{lang-en-short|'''partial mapping'''}}）あるいは部分函数（{{lang-en-short|'''partial function'''}}）は適当な部分集合上で定義された[[写像]]である。即ち、集合 {{mvar|X}} から {{mvar|Y}} への部分写像 {{math|''f''}} は {{mvar|X}} の'''任意の'''元に {{mvar|Y}} の元を割り当てることが求められる[[写像]] {{math|''f'': ''X'' → ''Y''}} の概念を一般化して、{{mvar|X}} の適当な部分集合 {{mvar|X{{'}}}} の元に対してのみそれを要求する。{{math|1=''X''′ = ''X''}} となる場合には {{mvar|f}} は'''全域写像''' ({{lang|en|'''total function'''}}) と呼ばれ、これは写像と同じ概念を意味する。部分写像を考えるときには、その[[定義域]] {{mvar|X{{'}}}} がはっきりとは分かっていないという場合もよくある。

== 基本概念 ==
部分写像 {{mvar|f}} に対し {{math|''f''(''x'')}} が定義される値 {{mvar|x}} 全体の成す集合（上記の {{mvar|X{{'}}}}）を {{mvar|f}} の[[定義域]]と呼び、{{math|''D''(''f'')}} や {{math|Def(''f'')}} のように表すのが典型的である。これに対し集合 {{mvar|X}} は {{mvar|f}} の[[始域]]（あるいは[[圏論]]においては「[[域]]」とも）呼ばれる。英語等では両者とも単に {{mvar|f}} の ''domain'' と呼ぶことがあるので注意が必要である（定義域を明確に domain of definition と呼ぶ流儀もあるが）。同様に ''codomain'' が {{mvar|f}} の[[像 (数学)|像]]（[[値域]]）と[[終域]]（圏論では[[余域]]とも）の何れかの意味で用いられる。

始域 {{mvar|X}}, 終域 {{mvar|Y}} の部分写像を {{math|''f'': ''X''&nbsp;⇸&nbsp;''Y''}} のように縦棒付き矢印であらわすことがある。あるいは
: <math>f\colon X\rightsquigarrow Y,\quad f\colon {}_\subseteq X \to Y, \quad f\colon X \underset{p}{{}\to{}} Y, \quad f\colon X\rightarrowtail Y</math>
などとも表す（単に {{math|''f'': ''X'' → ''Y''}} と書くと（全域）写像と紛らわしい）。

「{{math|''f''(''x'')}} が未定義である」とか「{{math|''f''(''x'') {{=}} undefined}}」などと書くのは、{{math|''f''(''x'')}} はあるのに値が与えられていないだけという印象を与えるため、しばしば適当でない。正確には「写像 {{mvar|f}} は点 {{mvar|x}} において定義されない」とか「{{math|''x'' ∉ Def(''f'')}}」のように書くべきである。[[表示的意味論]]では、部分写像が未定義であるときには、[[最小元|{{math|⊥}}]]を返すものと理解される。

部分写像が[[単射]]あるいは[[全射]]であるとは、その始域を定義域に制限して得られる写像がそうであるときに言う。部分写像が単射かつ全射となり得る。任意の写像はその像に終域を制限するとき自明に全射となるから、部分写像が{{仮リンク|部分全単射|en|partial bijection}}とは、単射な部分写像の意である<ref name="Hollings2014">{{cite book|author=Christopher Hollings|title=Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups|url=https://books.google.co.jp/books?id=O9wJBAAAQBAJ&pg=PA251&redir_esc=y&hl=ja|year=2014|publisher=American Mathematical Society|isbn=978-1-4704-1493-1|page=251}}</ref>。即ち、単射部分写像の[[逆関係]]は単射部分写像であり、全単射な部分写像はその逆部分写像として単射な写像を持つ。さらにいえば、単射全域写像の逆は単射部分写像になる。

[[変換 (数学)|変換]]の概念も部分写像によって一般化することができる。即ち、集合 {{mvar|X}} 上の'''部分変換'''とは、写像 {{math|''f'': ''A'' → ''B''}} で、{{mvar|A, B}} の双方が {{mvar|X}} の部分集合となるものを言う<ref name="Hollings2014-251">{{cite book|author=Christopher Hollings|title=Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups|url=https://books.google.co.jp/books?id=O9wJBAAAQBAJ&pg=PA251&redir_esc=y&hl=ja|year=2014|publisher=American Mathematical Society|isbn=978-1-4704-1493-1|page=251}}</ref>。

== 全域写像 ==
全域写像（全域函数）は[[写像]]（[[函数]]）の[[同義語]]である。接頭辞として「全域」({{lang|en|total-}}) を付けるのは、それが {{mvar|X}} の部分集合上で定義される部分写像の特別な場合（全体集合 {{mvar|X}} 上で定義される場合）であることを示唆するためである。

例えば{{仮リンク|具体圏|en|Concrete category}}における[[射 (圏論)|射]]の合成を行う演算
: <math>\circ\colon \operatorname{Hom}(C) \times \operatorname{Hom}(C) \to \operatorname{Hom}(C)</math>
が全域写像となるための必要十分条件は、{{math|Ob(''C'')}} がただ一つの元からなることである。なぜならば、二つの射 {{math|''f'': ''X'' → ''Y''}}, {{math|''g'': ''U'' → ''V''}} が {{mvar|''g'' ∘ ''f''}} と合成できるのは {{mvar|f}} の余域と {{mvar|g}} の域が一致するとき ({{math|1= ''Y'' = ''U''}}) に限られるからである。

== 性質等 ==
=== 圏論 ===
集合と部分写像の[[圏 (圏論)|圏]]は[[点付き集合|基点付き集合]]と基点を保つ写像の圏に[[圏同値]]だが{{仮リンク|圏同型|en|Isomorphism of categories}}でない<ref name="KoslowskiMelton2001">{{cite book|editor=Jürgen Koslowski and Austin Melton|title=Categorical Perspectives|year=2001|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-8176-4186-3|page=10|author=Lutz Schröder|chapter=Categories: a free tour}}</ref>。 

集合と部分全単射の圏は自身の[[逆圏|双対]]に同値である<ref name="Borceux1994">{{cite book|author=Francis Borceux|title=Handbook of Categorical Algebra: Volume 2, Categories and Structures|url=https://books.google.co.jp/books?id=5i2v9q0m5XAC&pg=PA289&redir_esc=y&hl=ja|year=1994|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-44179-7|page=289}}</ref>。これは{{仮リンク|可逆圏|en|inverse category}}の原型例である<ref name="Grandis2012">{{cite book|author=Marco Grandis|title=Homological Algebra: The Interplay of Homology with Distributive Lattices and Orthodox Semigroups|url=https://books.google.co.jp/books?id=TWqhelao4KsC&pg=PA55&redir_esc=y&hl=ja|year=2012|publisher=World Scientific|isbn=978-981-4407-06-9|page=55}}</ref>。

=== 抽象代数学 ===
[[普遍代数学]]において{{仮リンク|偏代数|en|Partial algebra}}は部分写像となっているような演算（偏[[演算 (数学)|演算]]）を許す[[代数系]]の一般化である。例えば[[可換体|体]]は、[[零除算]]が定義されないから除法が真に偏演算である<ref name="RosenbergSabidussi1993">{{cite book|editors=Ivo G. Rosenberg and Gert Sabidussi|title=Algebras and Orders|year=1993|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-7923-2143-9|author=Peter Burmeister|chapter=Partial algebras – an introductory survey}}</ref>。

与えられた台集合 {{mvar|X}} 上の部分写像全体の成す集合は、{{mvar|X}} 上の全部分変換半群と呼ばれる{{仮リンク|正則半群|en|regular semigroup}}を成し、典型的には <math>\mathcal{PT}_X</math> のように表される<ref name="CliffordPreston1967">{{cite book|author1=Alfred Hoblitzelle Clifford|author2=G. B. Preston|title=The Algebraic Theory of Semigroups. Volume II|url=https://books.google.co.jp/books?id=756KAwAAQBAJ&pg=PR12&redir_esc=y&hl=ja|year=1967|publisher=American Mathematical Soc.|isbn=978-0-8218-0272-4|page=xii}}</ref><ref name="Higgins1992">{{cite book|author=Peter M. Higgins|title=Techniques of semigroup theory|year=1992|publisher=Oxford University Press, Incorporated|isbn=978-0-19-853577-5|page=4}}</ref><ref name="GanyushkinMazorchuk2008">{{cite book|author1=Olexandr Ganyushkin|author2=Volodymyr Mazorchuk|title=Classical Finite Transformation Semigroups: An Introduction|year=2008|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-84800-281-4|pages=16 and 24}}</ref>。また {{mvar|X}} 上の部分全単射全体の成す集合は{{仮リンク|対称逆半群|en|symmetric inverse semigroup}}を成す<ref name="CliffordPreston1967"/><ref name="Higgins1992"/>。

== 関連項目 ==
* [[作用素 (関数解析学)|作用素]]
* [[多価函数]]
* [[密定義作用素]]

== 参考文献 ==
{{Reflist}}
*[[Martin Davis]] (1958), ''Computability and Unsolvability'', McGraw–Hill Book Company, Inc, New York. Republished by Dover in 1982. ISBN 0-486-61471-9.
*[[Stephen Kleene]] (1952), ''Introduction to Meta-Mathematics'', North-Holland Publishing Company, Amsterdam, Netherlands, 10th printing with corrections added on 7th printing (1974). ISBN 0-7204-2103-9.
*[[Harold S. Stone]] (1972), ''Introduction to Computer Organization and Data Structures'', McGraw–Hill Book Company, New York.

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[[Category:数学的関係]]
[[Category:写像]]
[[Category:数学に関する記事]]