部分圏のソースを表示

[[数学]]において，[[圏 (数学)|圏]] {{mvar|C}} の'''部分圏'''（ぶぶんけん，{{lang-en-short|subcategory}}）とは，圏 {{mvar|S}} であって対象が {{mvar|C}} の対象で[[射 (圏論)|射]]が {{mvar|C}} の射で同じ恒等射と射の合成をもつものである．直観的には，{{mvar|C}} の部分圏は {{mvar|C}} から対象と射をいくつか「取り除いて」得られる圏である．

== 定義 ==
{{mvar|C}} を圏とする．{{mvar|C}} の'''部分圏''' {{mvar|S}} は以下によって与えられる：
*{{mvar|C}} の対象の部分類 ob(''S''),
*{{mvar|C}} の射の部分類 hom(''S''),
であって以下を満たす
*ob(''S'') の任意の {{mvar|X}} に対し，恒等射 {{math|id<sub>''X''</sub>}} は hom(''S'') に属す，
*{{math|hom(''S'')}} の任意の射 {{math|''f'': ''X'' → ''Y''}} に対し，始域 {{mvar|X}} と終域 {{mvar|Y}} はともに {{math|ob(''S'')}}に属す，
*{{math|hom(''S'')}} の任意の射の対 {{mvar|f}}, {{mvar|g}} に対し，合成 <math>f \circ g</math> が定義されるときにはいつでも {{math|hom(''S'')}} に属する．

これらの条件は {{mvar|S}} 自身が圏であることを保証する．対象の集まりは {{math|ob(''S'')}} であり，射の集まりは {{math|hom(''S'')}} であり，恒等射と合成は {{mvar|C}} におけるものと同じである．対象と射を自身に写す明らかな[[忠実関手]] {{math|''I'': ''S'' → ''C''}} が存在し，'''包含関手''' (inclusion functor) と呼ばれる．

{{mvar|S}} を圏 {{mvar|C}} の部分圏とする．{{mvar|S}} が {{mvar|C}} の'''充満部分圏''' (full subcategory) であるとは，{{mvar|S}} の各対象の対 {{mvar|X}}, {{mvar|Y}} に対し，
:<math>\operatorname{Hom}_\mathcal{S}(X,Y)=\operatorname{Hom}_\mathcal{C}(X,Y)</math>
となることをいう．充満部分圏は {{mvar|S}} の対象の間の''すべての''射を含むものである．{{mvar|C}} の対象の任意の集まり {{mvar|A}} に対し，対象が {{mvar|A}} であるような {{mvar|C}} の充満部分圏が一意的に存在する．

== 例 ==
* [[有限集合]]の圏は[[集合の圏]]の充満部分圏をなす．
* 対象が集合で射が[[全単射]]な圏は集合の圏の充満でない部分圏をなす．
* [[アーベル群の圏]]は[[群の圏]]の充満部分圏をなす．
* [[単位元 (環論)|単位元]]をもつ[[環 (数学)|環]]の圏（射は単位元を保つ環準同型）は環の圏の充満でない部分圏をなす．

== 埋め込み ==
{{mvar|C}} の部分圏 {{mvar|S}} が与えられると，包含関手 {{math|''I'': ''S'' → ''C''}} は[[忠実関手|忠実]]かつ対象上[[単射]]である．それが[[充満関手|充満]]であることと {{mvar|S}} が充満部分圏であることは同値である．

著者によっては'''埋め込み''' (embedding) を[[充満忠実関手]]と定義する．そのような関手は同型を除いて対象上単射でなければならない．例えば，[[米田埋め込み]]はこの意味での埋め込みである．

著者によっては'''埋め込み'''を対象上（真に）単射であるような充満忠実関手と定義する<ref>{{cite web|author=van Oosten|title=Basic category theory|url=http://www.staff.science.uu.nl/~ooste110/syllabi/catsmoeder.pdf|accessdate=2016年12月18日}}</ref>．

また著者によっては関手が'''埋め込み'''であることを忠実かつ対象上単射であるものとして定義する．あるいは同じことであるが，{{mvar|F}} が埋め込みであることを射上単射であるものと定義する．このとき関手 {{mvar|F}} が'''充満埋め込み''' (full embedding) であるとは，充満関手かつ埋め込みであることをいう．

任意の（充満）埋め込み {{math|''F'': ''B'' → ''C''}} に対し，{{mvar|F}} の像は {{mvar|C}} の（充満）部分圏 {{mvar|S}} であり，{{mvar|F}} は {{mvar|B}} と {{mvar|S}} の間の[[圏の同型]]を誘導する．{{mvar|F}} が対象上真に単射ではなければ，{{mvar|F}} の像は {{mvar|B}} に同値である．

ある圏においては，圏の射についても[[埋め込み (数学)#圏論|埋め込み]]を定義できる．

== 部分圏の種類 ==
{{mvar|C}} の部分圏 {{mvar|S}} が '''[[:en:isomorphism-closed|isomorphism-closed]]''' あるいは '''replete''' とは，{{mvar|C}} の同型射 {{math|''k'': ''X'' → ''Y''}} であって {{mvar|Y}} が {{mvar|S}} に属するようなものはすべて {{mvar|S}} に属することをいう．isomorphism-closed 充満部分圏は '''strictly full''' といわれる．

{{mvar|C}} の部分圏が '''wide''' あるいは '''lluf''' (P. Freyd によって最初に提案された用語<ref>{{cite book |last= Freyd|first= Peter|authorlink=Peter J. Freyd  |year= 1991|month= |pages=95–104 |chapter= Algebraically complete categories|series=Lecture Notes in Mathematics |volume= 1488|publisher=Springer|title=Proceedings of the International Conference on Category Theory, Como, Italy (CT 1990)|doi=10.1007/BFb0084215}}</ref>) とは，{{mvar|C}} のすべての対象を含むことをいう．lluf 部分圏は一般に充満でない：圏の充満 lluf 部分圏はその圏自身しかない．

'''セール部分圏''' (Serre subcategory) は，[[アーベル圏]] {{mvar|C}} の空でない充満部分圏 {{mvar|S}} であって，{{mvar|C}} におけるすべての短[[完全列]]

:<math>0\to M'\to M\to M''\to 0</math>

に対して，{{mvar|M}} が {{mvar|S}} に属することと <math>M'</math> と <math>M''</math> がともにそうであることが同値であるものである．この概念は{{仮リンク|圏の局所化#セールのC-理論|en|Localization of a category#Serre's C-theory|label=セールの C-理論}}から生じる．

== 関連項目 ==
{{Wiktionary}}
*{{仮リンク|Reflective subcategory|en|Reflective subcategory}}
*{{仮リンク|Exact category|en|Exact category}}，拡大で閉じている充満部分圏．

== 参考文献 ==
{{reflist}}

{{圏論}}

{{DEFAULTSORT:ふふんけん}}
[[Category:ヒエラルキー]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:圏の類]]