部分構造論理のソースを表示

'''部分構造論理'''（ぶぶんこうぞうろんり、{{lang-en-short|Substructural logic}}）は、通常の[[命題論理]]を弱くした論理体系群を指し、[[数理論理学]]の中でも[[証明理論]]と密接に関連する。部分構造論理は使用可能な[[構造規則]]が命題論理よりも少なく、かつ個々の部分構造論理によってその種類が異なる。構造規則の概念は[[自然演繹]]の定式化手法よりも[[シークエント]]表現に基づく。主な部分構造論理の例として、[[適切さの論理]]と[[線型論理]]がある<ref>{{Cite thesis|和書|author=坪井直人 |year=2004 |title=線形論理の拡張体系に対する代数的研究 |volume=北陸先端科学技術大学院大学 情報科学研究科 |series=修士 |url=https://hdl.handle.net/10119/1789 |hdl=10119/1789}}</ref>。

[[シークエント計算]]では、証明の各行は次のように記される。

{{Indent|<math>\Gamma\vdash\Sigma</math>}}

ここでの構造規則とは、左辺 <math>\Gamma</math> のシークエント（命題を表す[[文字列]]）の[[項書き換え]]規則である。一般にここの文字列は[[論理積]]と解釈される。例えば、命題 <math>A, B, C</math> に対して、以下のようなシークエント表現

{{Indent|<math>\mathcal A,\mathcal B \vdash\mathcal C</math>}}

は次のように解釈される。

{{Indent|(<math>A</math> '''かつ''' <math>B</math>) は <math>C</math> を'''含意'''する。}}

ここで、右辺 <math>\Sigma</math> が単一の命題 <math>C</math> であるとしたが（[[直観主義 (数学の哲学)|直観主義]]的なシークエントのスタイル）、全ての操作はターンスタイル記号の左側で行われるので、一般のケースにも当てはまる。

論理積には[[交換法則]]と[[結合法則]]が成り立つので、シークエント <math>\Gamma</math> を書き換える'''構造規則'''にも同じ法則に対応したもの（転置規則）がある。例えば、

{{Indent|<math>\mathcal B,\mathcal A\vdash\mathcal C</math>}}

から

{{Indent|<math>\mathcal A,\mathcal B\vdash\mathcal C</math>}}

を導くことができる。他にも[[冪等]]に対応した規則（縮約規則）と[[単調関数|単調性]]に対応した規則（弱化規則）が存在する。

{{Indent|<math> \Gamma,\mathcal A,\mathcal A,\Delta\vdash\mathcal C</math>}}

から、次を導くことができる（縮約規則）。

{{Indent|<math> \Gamma,\mathcal A,\Delta\vdash\mathcal C</math>}}

また

{{Indent|<math> \Gamma,\mathcal A,\Delta\vdash\mathcal C</math>}}

から任意の ''B'' を加えて

{{Indent|<math> \Gamma,\mathcal A,\mathcal B,\Delta\vdash\mathcal C</math>}}

を導くこともできる（弱化規則）。

[[線型論理]]では、前提が重複する場合は単一のときとは異なった意味を持つので、これらの規則は除外される。[[適切さの論理]]では、弱化規則だけを除外する（<math>B</math> は帰結とは明らかに無関係であるため）。

これらは部分構造論理の基本的な例である。なお、通常の命題論理にこれらの規則を適用することは何ら問題ない。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 外部リンク ==
* [http://plato.stanford.edu/entries/logic-substructural/ Article on ''Substructural logics''] [[スタンフォード哲学百科事典]]


{{Math-stub}}
{{DEFAULTSORT:ふふんこうそうろんり}}
[[Category:部分構造論理|*]]
[[Category:数理論理学]]
[[Category:非古典論理]]
[[Category:論理記号]]
[[Category:数学に関する記事]]