部分積分のソースを表示

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'''部分積分'''（ぶぶんせきぶん、{{Lang-en-short|Integration by parts}}）とは、[[微分積分学]]・[[解析学]]における[[関数 (数学)|関数]]の[[積]]の[[積分法]]に関する[[定理]]であり、積の積分をより計算が容易な積分に変形するために頻繁に使われる手法である。

具体的には、2つの微分可能な関数 <math display="inline">u(x) </math>、<math display="inline">v(x) </math>、区間 <math display="inline">a \leq x \leq b </math> に対して成り立つ以下のような関係式を指す<ref>Konrad Königsberger: ''Analysis 1''. Springer-Verlag, Berlin u. a., 2004, ISBN 3-540-41282-4, 202.</ref>。

:<math>\int_a^b u(x)v'(x)\,dx =  \left[u(x)v(x)\right]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx </math>

[[不定積分]]の場合であれば、同様に以下の関係式が成り立つ。

:<math>\int u(x) v'(x)\, dx = u(x) v(x) - \int u'(x) v(x)\, dx\!</math>

またはより簡潔に

:<math>\int u \, dv=uv-\int v \, du.\!</math>

と表記される。ここで <math display="inline">du </math> と <math display="inline">dv </math> は <math display="inline">x </math> の関数 <math display="inline">u </math> 、<math display="inline">v </math> の[[関数の微分|微分]]、即ち

:<math>du=u'(x)dx, \quad dv=v'(x)dx </math>

である。

== 導出 ==

上記の定理は以下のように導出される。

<math display="inline">u(x) </math> と <math display="inline">v(x) </math> がともに[[微分可能関数]]であるとき、[[積の微分法則]]（ライプニッツ則）より

:<math>\frac{d}{dx}\left(u(x)v(x)\right) = v(x) \frac{d}{dx}\left(u(x)\right) + u(x) \frac{d}{dx}\left(v(x)\right)\!</math>

両辺を[[区間 (数学)|区間]] <math display="inline">a \leq x \leq b </math> で ''<math display="inline">x </math>'' に関して積分して

:<math>\int_a^b \frac{d}{dx}\left(u(x)v(x)\right)\,dx = \int_a^b u'(x)v(x)\,dx + \int_a^b u(x)v'(x)\,dx </math>

ここで[[微分積分学の基本定理]]より、

:<math>\int_a^b \frac{d}{dx}\left(u(x)v(x)\right)\,dx = \left[u(x)v(x)\right]_a^b</math>

であるから、

:<math>\left[u(x)v(x)\right]_a^b = \int_a^b u'(x)v(x)\,dx + \int_a^b u(x)v'(x)\,dx </math>

即ち以下の'''部分積分'''の公式を得る。

:<math>\int_a^b u(x)v'(x)\,dx =  \left[u(x)v(x)\right]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx </math>

不定積分の場合も同様に導出出来る。

ここで左辺の <math display="inline">\int uv'dx </math> は <math display="inline">v' </math> (''<math display="inline">v </math>'' の 導関数) を含んでいるから、まず ''<math display="inline">v </math>''（<math display="inline">v' </math> の 原始関数）を見つける必要があり、次いで部分積分の公式を適用し、積分 <math display="inline">\int vu'dx </math> を計算する。

（具体的な計算例は[[#部分積分を用いた積分計算|後述]]）

== 視覚的な解釈 ==
[[Image:Integration by parts v1.jpg|thumb|280px |部分積分の定理のグラフによる解釈。図示された曲線は媒介変数 t の関数である。]]
パラメーター ''t'' によって <math display="inline">(x, y) = (f(t), g(t)) </math> で表された曲線を定義する。この曲線が局所的に[[全単射]]であると仮定すると、

:<math>x(y) = f(g^{-1}(y))</math>
:<math>y(x) = g(f^{-1}(x))</math>

青色の領域の面積は、

:<math>A_1=\int_{y_1}^{y_2}x(y)dy</math> 

同様に赤色の領域の面積は、

:<math>A_2=\int_{x_1}^{x_2}y(x)dx</math>

にそれぞれ対応する。

<math display="inline">A_1 </math> と <math display="inline">A_2 </math> を足し合わせた領域全体は、大きい方の長方形の面積 <math display="inline">x_2y_2 </math> から小さい方の長方形の面積 <math display="inline">x_1y_1 </math> を除いたものに等しい。

:<math>\overbrace{\int_{y_1}^{y_2}x(y)dy}^{A_1}+\overbrace{\int_{x_1}^{x_2}y(x)dx}^{A_2}=\biggl.x_iy_i\biggl|_{i=1}^{i=2}</math>

近傍で曲線が滑らかであれば、これは不定積分に一般化できる。

:<math>\int xdy + \int y dx = xy</math>
変形して、
:<math>\int xdy = xy - \int y dx</math>
つまり部分積分は、青色の領域の面積が領域全体の面積と赤色の領域の面積から導かれることに相当すると考える事が出来る。

またこのように可視化することにより、関数 <math display="inline">f(x) </math> の積分が分かっている時に逆関数 <math display="inline">f^{-1}(x) </math> の積分が部分積分で求められることが理解出来る。実際、関数 <math display="inline">x(y) </math> と <math display="inline">y(x) </math> は逆関数の関係にあり、積分 <math display="inline">\int x dy </math> は <math display="inline">\int y dx </math> が分かっていれば上記のようにして計算可能である。

== 部分積分を用いた積分計算 ==

=== 基本方針 ===

部分積分は機械的に積分を求められる方法ではなく、むしろある程度の試行錯誤を要する場合がある。基本的な方針は、ある一つの関数が与えられた時に、それを部分積分公式に当てはめて変形した場合に出現する積分項がもとの積分よりも計算が容易になるように、その関数を2つの関数の積 <math display="inline">u(x)v(x) </math> に分割するというものである<ref>Yvonne Stry: ''Mathematik kompakt: für Ingenieure und Informatiker''. 3., bearb. Auflage, Springer-Verlag, 2010, ISBN 3642111912, 314.</ref>。下記の式は良い分割の方法を探すのに役立つであろう。

:<math>\int uv \,dx = u \int v \,dx - \int \left ( u' \int v \,dx \right )\,dx\!</math>

右辺で ''u'' は微分されて、逆に ''v'' は積分されていることに注意。即ち、微分された時に単純な形になる関数を ''<math display="inline">u</math>'' に、また積分された時に単純な形になる関数を ''<math display="inline">v</math>'' に選択するのが良いことが分かる。簡単な例として以下の積分を考えてみると、

:<math>\int \frac{\ln x}{x^2}\,dx\!</math>

<math display="inline">\ln(x) </math> を微分すると <math display="inline">1/x </math> であることから、<math display="inline">\ln(x) </math> を ''<math display="inline">u </math>'' の部分として選択し、また <math display="inline">1/x^2 </math> の不定積分が <math display="inline">-1/x </math> であることから、<math display="inline">1/x^2 </math> を ''<math display="inline">v </math>'' の部分として選択する。すると公式により、

:<math>\int \frac{\ln x}{x^2}\,dx = -\int \ln x \, d\left( \frac{1}{x} \right) = -\frac{\ln x}{x} + \int \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} \, dx = -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} + C \!</math>

<math display="inline">-1/x^2 </math> の不定積分は <math display="inline">1/x </math> となる。

別の例として、<math display="inline"> u' (\int v dx) </math> の積が約分により簡単な形になるように ''<math display="inline"> u </math>'' と ''<math display="inline"> v </math>'' を選択することもある。例えば次の例では、

:<math>\int\sec^2x\ln|\sin x|dx</math>

''<math display="inline"> u(x) = \ln |\sin x| </math>'' として、また ''<math display="inline"> v(x) = \sec^2x </math>'' とすると、 ''<math display="inline"> u </math>'' を微分すると合成関数の微分法により ''<math display="inline"> 1 / \tan x </math>'' となり、 ''<math display="inline"> v </math>'' を積分すると ''<math display="inline"> \tan x </math>'' となる。したがって公式により、

:<math>\int\sec^2x\ln|\sin x|dx=\tan x\ln|\sin x|-\int\tan x\frac{1}{\tan x}dx</math>

被積分関数は 1 となり、積分して ''<math display="inline"> x </math>'' となる。積が簡単な形になる組み合わせを探すにはある程度の試行錯誤が必要なことがある。

その他いくつかのテクニックを以下の例で示す。

=== 例 ===
;多項式と三角関数

:<math>I=\int x\cos x \,dx\,</math>

この積分を計算するには、

:<math>u = x \Rightarrow d u = dx</math>
:<math>dv = \cos x\,dx \Rightarrow v = \sin x</math>

とすると、

:<math>
\begin{align}
  \int x\cos (x) \,dx & = \int u \, dv \\
  & = uv - \int v \, du \\
  & = x\sin x - \int \sin x \,dx \\
  & = x\sin x + \cos x + C,
\end{align}
\!</math>

ここで ''<math display="inline"> C </math>'' は積分定数である。

下記の式における ''<math display="inline">x</math>'' のより高位の累乗では、

:<math>\int x^n e^x \,dx,\,\int x^n\sin x\,dx,\,\int x^n\cos x \,dx\,</math>

部分積分を繰り返し使って同様に計算出来る。1回部分積分を適用する度に ''<math display="inline"> x </math>'' の指数が1ずつ下がる。

;指数関数と三角関数

部分積分の仕組みを考えるためによく使われる例として、

:<math>I=\int e^{x} \cos x \,dx </math>

を計算する。ここでは、部分積分を2回行う。最初に

:<math>u = \cos x \Rightarrow du = -\sin x\,dx</math>
:<math>dv = e^x \, dx \Rightarrow v = e^x</math>

とすると、

:<math>\int e^{x} \cos x \,dx = e^{x} \cos x + \int e^{x} \sin x \,dx.\!</math>

となる。残った積分項に対して再度部分積分を行う。

:<math>u = \sin x \Rightarrow du = \cos x\, dx</math>
:<math>dv = e^x \,dx \Rightarrow v = e^x</math>

として、

: <math>\int e^x \sin x \,dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \,dx </math>

これらを組み合わせて、

:<math>\int e^x \cos x \,dx = e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x \,dx </math>

同じ積分項が等式の両辺に出現しているので

:<math>2 \int e^{x} \cos x \,dx = e^{x} ( \sin x + \cos x ) + C\!</math>

と変形出来て、

:<math>\int e^x \cos x \,dx = \ \frac{1}{2} e^x ( \sin x + \cos x ) + C'\!</math>

となる。ただし、''<math display="inline"> C </math>'' と ''<math display="inline"> C' = \frac{C}{2} </math>'' は積分定数である。

<math>\int \sec^3 x \, dx</math> のような積分も[[:en:Integral of secant cubed|同様の方法]]を使って計算出来る。

;関数に形式的に1を掛ける

更によく知られた例を挙げる。被積分関数を1とそれ自身の積と考えて部分積分を行う方法である。これは、被積分関数の導関数が分かっていて、更にその導関数に ''x''を乗じた関数の積分が計算可能な場合に有効である。

最初の例として<math display="inline">\int \ln x \,dx</math> を考える。これを以下のように1と自身の積として考えて、

:<math>I=\int \ln x \cdot 1 \,dx.\!</math>

次のようにおくと、

:<math>u = \ln x \Rightarrow du = \frac{dx}{x}</math>
:<math>dv = dx  \Rightarrow v = x\ </math>

以下のように計算出来る<ref>Otto Forster: ''Analysis'' Band 1: ''Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen.'' Vieweg-Verlag, 8. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2, 210.</ref>。

: <math>
\begin{align}
\int \ln x \,dx & = x \ln x - \int \frac{x}{x} \,dx \\
& = x \ln x - \int 1 \,dx \\
& = x \ln x - x + C
\end{align}
</math>

次の例として <math display="inline">\arctan x</math> の積分を考える。

:<math>I=\int \arctan x \,dx </math>

これを以下のように書き換える。

:<math>\int \arctan (x) \cdot 1 \,dx </math>

次のようにおくと、

: <math>\begin{align}
u = \arctan x &\Rightarrow \tan u = x \\
&\Rightarrow \sec^2 u \, du = dx \\
&\Rightarrow (1 + \tan^2 u) \, du = dx \\
&\Rightarrow du = \frac{dx}{1 + x^2}
\end{align}</math>
: <math>dv =dx \Rightarrow v = x</math>

以下のように計算出来る。

: <math>
\begin{align}
\int \arctan x \,dx
& = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} \,dx \\
& = x \arctan x - \left. \frac{1}{2} \right. \int \frac{2x}{1 + x^2} \,dx \\
& = x \arctan x - \frac{1}{2} \int \frac{d(1 + x^2)}{1 + x^2} \\
& = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln \left( 1 + x^2 \right) + C
\end{align}
</math>

ここでは逆関数の微分法を使用した。

== 部分積分の再帰的適用 ==

部分積分を <math display="inline">\int v \, du</math> に対して[[再帰]]的に適用することにより、次の公式を得る。

:<math>\int uv = u v_1 - u' v_2 + u'' v_3 - \cdots + (-1)^{n-1}\ u^{(n-1)} \ v_{n} + (-1)^n \int{u^{(n)}v_{n}}.\!</math>

ここで、<math display="inline">u'</math> は ''<math display="inline">u</math>'' の1次導関数、<math display="inline">u''</math> は2次導関数であり、<math display="inline">u^{(n)}</math> は ''n'' 次導関数を表す。<math>v_{n}</math> は以下のように定義される。

:<math>v_{n+1}(x)=\int\! \int\ \cdots \int v \ (dx)^{n+1}.\!</math>

上記の式は、<math display="inline">uv_1</math> から開始して1つ目の項は順に微分して行き、2つ目の項は積分して行けば計算出来る（同時に符号を反転しながらであるが）。特に、<math display="inline">u^{(k+1)}</math> がある <math display="inline">k+1</math> で 0 になる時には <math display="inline">u^{(k)}</math> の項までで終了するため、便利な公式である。

== 拡張 ==
=== 多因子への拡張 ===

（[[積の微分法則#一般化|積の微分法則の一般化]]も参照のこと）

3つの関数 <math display="inline">u(x) </math>、<math display="inline">v(x) </math>、<math display="inline">w(x) </math> の積の微分法則に対して積分を行うと、同様に以下のような結果を得る。

:<math>\int_a^b u v \, dw = u v w - \int_a^b u w \, dv - \int_a^b v w \, du</math>

一般的に ''<math display="inline">n </math>'' 個の関数の積の場合は、

:<math>\frac{d}{dx} \left(\prod_{i=1}^n u_i(x) \right)= \sum_{j=1}^n \prod_{i\neq j}^n u_i(x) \frac{du_j(x)}{dx} </math>

即ち、

:<math> \Bigl[ \prod_{i=1}^n u_i(x) \Bigr]_a^b = \sum_{j=1}^n \int_a^b \prod_{i\neq j}^n u_i(x) \, du_j(x) </math>

ここで右辺の積は、同じ項で微分を取った関数を'''除く'''全ての関数の積を取るものとする。
=== スティルチェス積分 ===

[[リーマン＝スティルチェス積分]]（またはスティルチェス積分）とは、[[トーマス・スティルチェス]]による[[リーマン積分]]の拡張である。

リーマン＝スティルチェス積分に関しても、被積分関数 ''<math display="inline">f </math>'' および積分関数 ''<math display="inline">g </math>'' に対して部分積分公式が
:<math>\int_a^b f\,dg=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int_a^b g\,df</math>
なる形で成り立つ。

また、リーマン＝スティルチェス積分および（狭義の）[[ルベーグ積分]]の一般化である[[ルベーグ＝スティルチェス積分]]（またはルベーグ＝ラドン積分）に対しても、以下の形で部分積分公式が定式化される。

2つの有界変動関数 ''U'', ''V'' に対して ''U'' または ''V'' のいずれかが連続、若しくは ''U'' および ''V'' がともに正常（{{Lang-en-short|regular}}）となるような点では、
:<math>\int_a^b U\,dV+\int_a^b V\,dU=U(b+)V(b+)-U(a-)V(a-),\quad(a<b)</math>
が成立する。

詳細は[[リーマン＝スティルチェス積分]]および[[ルベーグ＝スティルチェス積分]]を参照。
=== 高次元への拡張 ===

部分積分を高次元の場合に対して拡張することが出来る。

<math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> を区分的に滑らかな境界 <math>\Gamma</math> を持つ[[有界]]な[[開集合]]とし、<math>\mathbf{n}</math> を <math>\Gamma</math> への外向き単位面[[法線ベクトル]]、<math>u</math> と <math>\mathbf{v}</math> をそれぞれ <math>\Omega</math> の[[閉包 (位相空間論)|閉包]]において[[滑らかな関数]]およびベクトル値関数として定義する。

この時、 <math>\nabla \cdot (u \mathbf{v}) = \nabla u \cdot \mathbf{v} + u \nabla \cdot \mathbf{v}</math> に対してガウスの[[発散定理]]を適用すると、
:<math> \int_\Omega \nabla \cdot (u \mathbf{v}) \, d\Omega = \int_\Omega ( \nabla u \cdot \mathbf{v} + u \nabla \cdot \mathbf{v}) \, d\Omega =\int_{\Gamma} (u \mathbf{v}) \cdot \mathbf{n}\,  d\Gamma</math>

であるから、以下の部分積分公式が得られる。
:<math> \int_{\Omega} \nabla u \cdot \mathbf{v}\, d\Omega = \int_{\Gamma} u (\mathbf{v}\cdot \mathbf{n})\,  d\Gamma -  \int_\Omega u\, \nabla\cdot\mathbf{v}\, d\Omega</math>

また、<math>\mathbf{v}=\nabla v</math>，<math>v\in C^2(\bar{\Omega} )</math> なる <math>v</math> で表される時、
:<math> \int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v\, d\Omega = \int_{\Gamma} u\, \nabla v\cdot \mathbf{n}\, d\Gamma -  \int_\Omega u\, \nabla^2 v\, d\Omega</math>
となり、[[グリーンの恒等式#グリーンの第一恒等式|グリーンの第一恒等式]]が得られる。

同様に、任意の階数の微分可能[[テンソル場]] <math>\boldsymbol{F}</math> と <math>\boldsymbol{G}</math> に対して、発散定理より以下の部分積分公式が導かれる。
:<math>
   \int_{\Omega} \boldsymbol{F}\otimes\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{G}\, d\Omega = \int_{\Gamma} \mathbf{n}\otimes(\boldsymbol{F}\otimes\boldsymbol{G})\, d\Gamma - \int_{\Omega} \boldsymbol{G}\otimes\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{F}\, d\Omega
 </math>
ここで <math>\otimes</math> は[[テンソル積]]を表す。<math>\boldsymbol{F}</math> が恒等テンソルに等しい時は、発散定理の式を得る。
:<math>
   \int_{\Omega}\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{G}\, d\Omega = \int_{\Gamma} \mathbf{n}\otimes\boldsymbol{G}\, d\Gamma \,
 </math>
添字表記で表すと以下のようになる。
:<math>
   \int_{\Omega} F_{ijk....}\,G_{lmn...,p}\, d\Omega = \int_{\Gamma} n_p\,F_{ijk...}\,G_{lmn...}\, d\Gamma - \int_{\Omega} G_{lmn...}\,F_{ijk...,p}\, d\Omega \,
 </math>
ここで<math>\boldsymbol{F}</math> と <math>\boldsymbol{G}</math> がともに2階のテンソルであるような特殊な場合を考え、1つの添字の縮約を取ると、
:<math>
  \int_{\Omega} F_{ij}\,G_{pj,p}\, d\Omega = \int_{\Gamma} n_p\,F_{ij}\,G_{pj}\, d\Gamma - \int_{\Omega} G_{pj}\,F_{ij,p}\, d\Omega \,
 </math>
即ち
:<math>
   \int_{\Omega} \boldsymbol{F}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{G})\, d\Omega = \int_{\Gamma} \mathbf{n}\cdot(\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{F}^T)\, d\Gamma - \int_{\Omega} (\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{F}):\boldsymbol{G}^T\, d\Omega \,
 </math>
となる。

== 応用 ==
部分積分の[[解析学]]におけるいくつかの応用例を挙げる。

=== ガンマ関数 ===
====関数等式====
[[ガンマ関数]]は[[広義積分]]を用いて定義される[[特殊関数]]である。部分積分を使うと、これが[[階乗]]の拡張になっていることが分かる<ref name="toki">{{cite book|和書|author=時弘哲治, 伊理正夫, 杉原厚吉, 速水謙, 今井浩 |title=工学における特殊関数 |publisher=共立出版 |year=2006 |series=工系数学講座 |id={{国立国会図書館書誌ID|000008218132}} |ISBN=4320016122 |url=https://id.ndl.go.jp/bib/000008218132}}</ref>。

:<math>\begin{align}
\Gamma(z) & := \int_0^\infty d\lambda e^{-\lambda} \lambda^{z-1} \\
 & = - \int_0^\infty d\left(e^{-\lambda}\right) \lambda^{z-1} \\
 & = - \left[e^{-\lambda}\lambda^{z-1}\right]_0^\infty + \int_0^\infty d\left(\lambda^{z-1}\right) e^{-\lambda} \\
 & = 0 + \int_0^\infty d\lambda\left(z-1\right) \lambda^{z-2} e^{-\lambda} \\
 & = (z-1)\Gamma(z-1) \\
\end{align} </math>

このようにして、以下のよく知られた等式が得られる。

:<math>\Gamma(z) = (z-1)\Gamma(z-1).</math>

<math>n\in\mathbb{N}</math>に対してこの公式を繰り返し適用することで階乗が得られる<ref name="toki"/>。

:<math>\Gamma(n+1) = n!, \quad n\in\mathbb{N}.</math>
====定義の等価性====
[[ガンマ関数]]は[[ガンマ関数#ワイエルシュトラスの乗積表示|ワイエルシュトラスの乗積表示]]:
:<math>\frac{1}{\Gamma(z)}:=ze^{{\gamma}z}\prod_{m=1}^{\infty}\left(1+\frac{z}{m}\right)e^{-z/m},\quad\gamma:=\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\log{n}\right)</math>
を用いて定義することもできる（<math>\gamma</math>は[[オイラーの定数]]である）<ref name="toki"/>。

無限乗積による定義と広義積分による定義が[[同値]]であることは部分積分を繰り返すことで示される<ref name="toki" />。

=== 調和解析  ===

[[調和解析]]、特に[[フーリエ変換]]における部分積分の応用例を挙げる。よく知られた例として、関数のフーリエ変換の収束が、関数の滑らかさに依存していることを示すものである。

;導関数のフーリエ変換

''f'' が ''k'' 回連続微分可能であり、更に ''k'' 次までの導関数が無限大で 0 に収束する時、そのフーリエ変換は以下の関係式を満たす。

:<math>(\mathcal{F}f^{(k)})(\xi) = (2\pi i\xi)^k \mathcal{F}f(\xi)</math>

ここで <math>f^{(k)}</math> は ''<math>f</math>'' の ''<math>k</math>'' 次導関数を表す。

導関数のフーリエ変換に対して部分積分を適用すると、以下の結果を得る。

:<math>\begin{align}
(\mathcal{F}f')(\xi) &= \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi iy\xi} f'(y)\,dy \\
&=\left[e^{-2\pi iy\xi} f(y)\right]_{-\infty}^\infty - \int_{-\infty}^\infty (-2\pi i\xi e^{-2\pi iy\xi}) f(y)\,dy \\
&=2\pi i\xi \int_{-\infty}^\infty  e^{-2\pi iy\xi} f(y)\,dy \\
&=2\pi i\xi \mathcal{F}f(\xi).
\end{align}</math>

この結果を繰り返し適用することによって、一般の ''k'' に対する結果が得られる。同様の手法は導関数の[[ラプラス変換]]を求める際にも利用出来る。

;フーリエ変換の収束

上記の結果により、''<math>f</math>'' と <math>f^{(k)}</math> が積分可能ならば、

:<math>\vert\mathcal{F}f(\xi)\vert \leq \frac{I(f)}{1+\vert 2\pi\xi\vert^k}</math>, ただし <math>I(f):=\int_{-\infty}^\infty\Bigl(\vert f(y)\vert + \vert f^{(k)}(y)\vert\Bigr) dy</math>.

言い換えると、''<math>f</math>'' がこれらの条件を満足するならば、そのフーリエ変換は無限大で高々 ''<math display="inline">1/|\xi|^k</math>'' のオーダーで収束するということである。特に、''<math>k \geq 2</math>'' ならばフーリエ変換は積分可能である。

証明にはフーリエ変換の定義から直ちに得られる次の関係を用いる。

:<math>\vert\mathcal{F}f(\xi)\vert \leq \int_{-\infty}^\infty \vert f(y) \vert \,dy</math>
節の冒頭で述べたのと同様の考え方により、次の結果が得られる。
:<math>\vert(2\pi i\xi)^k \mathcal{F}f(\xi)\vert \leq \int_{-\infty}^\infty \vert f^{(k)}(y) \vert \,dy</math>
この2つの不等式を片々加えて ''<math display="inline">1 + |2 \pi \xi|^k</math>'' で除することにより上記の結果が得られる。

=== 作用素論 ===

[[作用素論]]における部分積分の利用例の1つとして、''<math display="inline">- \Delta</math>'' ( ''<math display="inline">\Delta</math>'' は [[ラプラス作用素]]) が ''<math display="inline">L^2</math>'' において正値作用素であるということが挙げられる（[[Lp空間|''Lp''空間]]を参照）。

''f'' が滑らかで[[関数の台#コンパクト台付きの函数|コンパクトな台]]を持つならば、部分積分を用いることにより以下の結果を得る。

:<math>\begin{align}
\langle -\Delta f, f \rangle_{L^2} &= -\int_{-\infty}^\infty f''(x)\overline{f(x)}\,dx \\
&=-\left[f'(x)\overline{f(x)}\right]_{-\infty}^\infty + \int_{-\infty}^\infty f'(x)\overline{f'(x)}\,dx \\
&=\int_{-\infty}^\infty \vert f'(x)\vert^2\,dx \geq 0.
\end{align}</math>

=== その他の応用 ===
* [[弱微分]]、および[[シュワルツ超函数]]の定式化。
* [[スツルム＝リウヴィル型微分方程式]]における[[境界値問題]]。
* [[変分法]]による[[オイラー＝ラグランジュ方程式]]の導出<ref>[[常微分方程式]]と[[解析力学]] (1998)、[[木村俊房]]・[[飯高茂]]・西川青季・岡本和夫・楠岡成雄 (編集委員)・伊藤秀一著、共立講座 21世紀の数学、{{ISBN2|978-4-320-01563-0}}、[[共立出版]]。</ref>。
* [[複素解析]]における[[漸近展開]]の導出<ref name="AF">Ablowitz, M. J., & Fokas, A. S. (2003). Complex variables: introduction and applications. [[:en:Cambridge University Press]].</ref>。
* [[数値積分]]への応用<ref>{{Cite journal|和書|author=平山弘 |date=1997 |url=https://doi.org/10.11540/jsiamt.7.2_131 |title=部分積分法による半無限区間振動型積分の数値計算法 |journal=日本応用数理学会論文誌 |ISSN=09172246 |publisher=日本応用数理学会 |volume=7 |issue=2 |pages=131-138 |doi=10.11540/jsiamt.7.2_131 |CRID=1390001205768016384}}</ref><ref>{{Cite journal|和書|author=平山弘, 館野裕文, 平野照比古 |date=2004-10 |url=https://hdl.handle.net/2433/25947 |title=部分積分法による数値積分法 |journal=数理解析研究所講究録 |ISSN=1880-2818 |publisher=京都大学数理解析研究所 |volume=1395 |pages=190-195 |hdl=2433/25947 |CRID=1050001202108546176 |ref=harv}}</ref>。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book| first=Lawrence C. | last=Evans | title=Partial Differential Equations | publisher=[[:en:American Mathematical Society|American Mathematical Society]] | location=[[:en:Providence, Rhode Island|Providence, Rhode Island]] | year=1998 | isbn=0-8218-0772-2}}
* {{Cite book| first=Todd | last=Arbogast | coauthors=Jerry Bona | title=Methods of Applied Mathematics | url=http://www.math.utexas.edu/users/arbogast/appMath08.pdu |format=Pdu| year=2005}}

== 関連項目 ==
{{Div col}}
*[[弱微分]]
*[[積の微分法則]]
*[[積分法]]
*[[置換積分]]
*[[発散定理]]
*[[不定積分]]
*[[部分和分]]
*[[ベクトル解析]]
{{Div col end}}

== 外部リンク ==
{{Portal 数学}}
*{{Kotobank|部分積分法|2=世界大百科事典 第2版}}
*{{MathWorld|title=Integration by Parts|urlname=IntegrationbyParts}}
{{integral}}
{{DEFAULTSORT:ふふんせきふん}}

[[Category:微分積分学]]
[[Category:ベクトル解析]]
[[Category:数学に関する記事]]