部分群のソースを表示

{{Expand English|Subgroup|date=2024年5月}}
{{Groups}}
[[群 (数学)|群]] ''G'' の部分集合 ''H'' が ''G'' の'''部分群'''（{{lang-en-short|subgroup}}）であるとは、 ''H'' が ''G'' の[[群 (数学)#定義|演算]]に関して群になることである——より正確に表現すると、 ''H'' が ''G'' の部分群であるとは、''G'' 上の演算を[[制限写像|制限]]して得られる ''H'' 上の演算に関して ''H'' が群になることである。この関係は通常、
:<math>H \leq G</math>
という記号で表現され<ref>{{cite book
|last = Robinson
|first = Derek J. S.
|year = 1996
|title = A Course in the Theory of Groups
|edition = Second
|isbn = 978-1-4612-6443-9
|zbl = 0836.20001
|page = {{google books quote|id=zLfkBwAAQBAJ|page=8|8}}
}}</ref>、「 ''H'' は ''G'' の部分群である」と読む。

''G'' の'''真部分群'''（{{lang-en-short|proper subgroup}}）とは、部分群 ''H'' が ''G'' の[[真部分集合]]である（つまり ''H'' ≠ ''G'' である）ことであり、この関係は ''H'' < ''G'' という記号で表現される。任意の群 ''G'' に対し、''G'' 自身と単位元のみからなる集合 {''e''} は常に ''G'' の部分群である。 ''H'' が ''G'' の部分群であるとき、 ''G'' は ''H'' の拡大群であると表現する場合がある。

''G'' が任意の[[半群]]であるときも、''G'' の部分群の定義はそのまま通用するが、本項では群の部分群についてのみを扱うにとどめる。群 ''G'' は順序対 (''G'', &lowast;) として記述されることもあるが、このように書くのは普通、''G'' を台となる集合としてその上に演算 "&lowast;" が代数的構造（あるいはもっとほかの構造）を定めるということを強調するためである。

以下では、通常の慣習に倣って &lowast; を省略し、積 ''a'' &lowast; ''b'' を単に ''ab'' と表記する。また、群の演算を単に「積」と表記する場合もある。

==部分群の基本的な性質==

* ''H'' が群 ''G'' の部分群であるということは、 ''H'' が空集合ではなく、演算と逆元に対して閉じているということを意味する（「閉じている」というのは「 ''H'' に含まれる任意の元 ''a'' および ''b'' について、 ''ab'' および ''a''<sup>&minus;1</sup> も ''H'' に含まれる」ということである。なおこの2つの条件は、同値な1つの条件にまとめることができる。「 ''H'' に含まれる任意の元 ''a'' および ''b'' について、 ''ab''<sup>&minus;1</sup> も ''H'' に含まれる」という条件である）。 ''H'' が有限集合の場合、 ''H'' が部分群であるということは、 ''H'' が空集合でなく、積に関して閉じているということと同値である（この場合、 ''H'' の任意の元は、 ''H'' の有限巡回部分群を生成する。そして ''a'' の逆元は、 ''a'' の位数が ''n'' ならば ''a''<sup>&minus;1</sup> = ''a''<sup>''n'' &minus; 1</sup> となる）。
* 上記の条件は[[準同型]]の言葉で書き換えることができる。つまり ''H'' が ''G'' の部分群となる必要十分条件は、''H'' が ''G'' の部分集合で、''H'' から ''G'' への包含写像（任意の ''a'' &isin; ''H'' に対して i(''a'') = ''a'' となる写像）が準同型を与えることである。
* 部分群の[[単位元]]は群の単位元と等しい。つまり、''G'' が ''e''<sub>''G''</sub> を単位元とする群で、''H'' が ''e''<sub>''H''</sub> とする ''G'' の部分群ならば ''e''<sub>''H''</sub> = ''e''<sub>''G''</sub> でなければならない。
* 部分群のある元の[[逆元]]は、もとの群におけるその元の逆元と等しい。つまり ''H'' が群 ''G'' の部分群であり、''a'', ''b'' が ''H'' の元で ''ab'' = ''ba'' = ''e''<sub>''H''</sub> を満たすならば ''ab'' = ''ba'' = ''e''<sub>''G''</sub> が成り立つ。
*部分群 ''A'' と ''B'' の[[共通部分]]はまた部分群になる。一方、部分群 ''A'' と ''B'' の[[合併 (集合論)|和集合]]が部分群になるのは、 ''A'' と ''B'' の一方が他方を包含している場合のみに限られる<ref>Jacobson (2009), p. 41</ref>。たとえば、2 と 3 はともに加法群としての 2'''Z''' と 3'''Z''' の和集合に含まれるが、それらの和である 5 はこの和集合には属さない。別の例では、平面上のX軸とY軸（加法について考える）がある。それぞれは部分群をなすが、それらの和集合は部分群にならない。ついでながら、これら二つの部分群の共通部分は、単位元である[[原点]]のみの部分群となる。
* ''S'' が ''G'' の部分集合ならば ''S'' を含む最小の部分群が存在する。これは ''S'' を含む部分群すべての共通部分をとることによって求められる。これを記号 &lang;''S''&rang; で表し、「 ''S'' から生成される部分群」とよぶ。 ''G'' のある元が &lang;''S''&rang; に含まれるという事は、その元は ''S'' の元および ''S'' の元の逆元の有限個の積で表されるという事である。
* ''G'' の任意の元 ''a'' は[[巡回群]] &lang;''a''&rang; を生成する。 &lang;''a''&rang; が適当な正の整数 ''n'' に対する '''Z'''/''n'''''Z''' と[[同型]]であるならば、''n'' は ''a''<sup>''n''</sup> = ''e'' を満たす最小の正整数である。この ''n'' を ''a'' の[[位数]] {{lang|en|(order)}} という。もし &lang;''a''&rang; が '''Z''' と同型ならば、 ''a'' は無限位数を持つ、あるいは ''a'' の位数は無限大であるという。
* 与えられた群の部分群全体の成す集合は、包含関係に関して[[完備束]]になる。これを[[部分群の束]]と言う（この束の[[下限]]は通常の集合論的な意味での共通部分だが、[[上限 (数学)|上限]]は集合論的な意味での和集合ではなく、それから生成される部分群である）。''G'' の単位元を ''e'' と書けば、単位群 {''e''} が ''G'' の最小の部分群であり、また最大の部分群は ''G'' そのものである。

== 例 ==

[[可換群]] ''G'' をその元が

:<math>G=\{0,2,4,6,1,3,5,7\}</math>

で与えられ、[[モジュラ演算|8を法とする加法]]を群演算とするものとする。その[[乗積表]]は以下のようになる。

{| class="wikitable" style="margin: 1ex auto 1ex auto; text-align: center;"
! +
! style="color: red" | 0 
! style="color: red" | 2
! style="color: red" | 4 
! style="color: red" | 6 
! style="color: blue" | 1 
! style="color: blue" | 3 
! style="color: blue" | 5 
! style="color: blue" | 7
|-
! style="color: red" | 0 
| style="color: orange" | 0 
| style="color: red" | 2 
| style="color: orange" | 4 
| style="color: red" | 6 
| style="color: blue" | 1 
| style="color: blue" | 3 
| style="color: blue" | 5 
| style="color: blue" | 7
|-
! style="color: red" | 2
| style="color: red" | 2 
| style="color: red" | 4 
| style="color: red" | 6 
| style="color: red" | 0 
| style="color: blue" | 3 
| style="color: blue" | 5 
| style="color: blue" | 7 
| style="color: blue" | 1
|-
! style="color: red" | 4
| style="color: orange" | 4 
| style="color: red" | 6 
| style="color: orange" | 0 
| style="color: red" | 2 
| style="color: blue" | 5 
| style="color: blue" | 7 
| style="color: blue" | 1 
| style="color: blue" | 3
|-
! style="color: red" | 6
| style="color: red" | 6 
| style="color: red" | 0 
| style="color: red" | 2 
| style="color: red" | 4 
| style="color: blue" | 7 
| style="color: blue" | 1 
| style="color: blue" | 3 
| style="color: blue" | 5
|-
! style="color: blue" | 1
| style="color: blue" | 1 
| style="color: blue" | 3 
| style="color: blue" | 5 
| style="color: blue" | 7 
| style="color: red" | 2 
| style="color: red" | 4 
| style="color: red" | 6 
| style="color: red" | 0 
|-
! style="color: blue" | 3
| style="color: blue" | 3 
| style="color: blue" | 5 
| style="color: blue" | 7 
| style="color: blue" | 1 
| style="color: red" | 4 
| style="color: red" | 6 
| style="color: red" | 0 
| style="color: red" | 2
|-
! style="color: blue" | 5
| style="color: blue" | 5 
| style="color: blue" | 7 
| style="color: blue" | 1 
| style="color: blue" | 3 
| style="color: red" | 6 
| style="color: red" | 0 
| style="color: red" | 2 
| style="color: red" | 4
|-
! style="color: blue" | 7
| style="color: blue" | 7 
| style="color: blue" | 1 
| style="color: blue" | 3 
| style="color: blue" | 5 
| style="color: red" | 0 
| style="color: red" | 2 
| style="color: red" | 4 
| style="color: red" | 6
|}

この群は、二つの自明でない群を持つ。  <span style="color: orange">''J'' = {0, 4}</span> および <span style="color: red">''H'' = {0, 2, 4, 6}</span> である。 ''J'' はまた ''H'' の部分群にもなっている。 ''H'' の群表は、 ''G'' の群表の左上1/4の部分である。 ''G'' は[[巡回群]]であり、また部分群も巡回群である。一般に、巡回群の部分群はやはり巡回群になる。

==剰余類とラグランジュの定理==

群 ''G'' に関し、部分群 ''H'' と元 ''a'' が与えられたとする。このとき'''左[[剰余類]]'''をこのように定義する： ''aH'' = { ''ah'' : ''h'' &isin; ''H'' } 。 ''a'' は可逆元であるため、 φ(''h'') = ''ah'' で与えられる写像 φ : ''H'' → ''aH'' は全単射である。さらに、 ''G'' の任意の元は、 ''H'' の左剰余類のどれか1個のみに含まれる。''H'' に関する左剰余類は、「 ''a''<sub>1</sub> &sim; ''a''<sub>2</sub> となるのは ''a''<sub>1</sub><sup>&minus;1</sup>''a''<sub>2</sub> が ''H'' に属するとき、かつそのときに限る」という[[同値関係]]から定まる同値類である。''H'' の左剰余類の個数を、 ''G'' における ''H'' の[[部分群の指数|指数]]と言い、 [''G'' : ''H''] で表す。

[[ラグランジュの定理 (群論)|ラグランジュの定理]]により、有限群 ''G'' とその部分群 ''H'' について以下のことが言える。

:<math> [ G : H ] = { |G| \over |H| } </math>

|''G''| と |''H''| はそれぞれ ''G'' と ''H'' の位数を表す。特に、 ''G'' の任意の部分群の位数（および ''G'' の任意の元の位数）は、 |''G''| の約数である。

'''右剰余類'''も同様にして定義できる。:  ''Ha'' = { ''ha'' : ''h'' &isin; ''H'' } 。これもまた、適切な同値関係を適用する事によって同値類になる。その個数は [''G'' : ''H''] である。

''G'' に含まれるすべての ''a'' について ''aH'' = ''Ha'' であるとき、 ''H'' を[[正規部分群]]と言う。指数 2 の部分群は必ず正規部分群である（実際、部分群 ''H'' の指数が 2 であるということは、''H'' に関する左剰余類の全体も右剰余類の全体もともに、部分群 ''H'' とその[[補集合]]で尽くされる）。より一般に、有限群 ''G'' の位数の約数の最小の素数 ''p'' に対して、指数 ''p'' の部分群は（存在すれば）正規である。

==脚注==
<references/>

== 参考文献 ==
* {{Citation| last=Jacobson| first=Nathan| author-link=Nathan Jacobson| year=2009| title=Basic algebra| edition=2nd| volume = 1 | series= | publisher=Dover| isbn = 978-0-486-47189-1}}.

== 関連項目 ==
* [[正規部分群]]
* {{仮リンク|カルタン部分群|en|Cartan subgroup}}
* [[フィッティング部分群]]
* [[作用を持つ群|安定部分群]]

{{DEFAULTSORT:ふふんくん}}

[[Category:群論]]
[[Category:部分群の性質]]
[[Category:数学に関する記事]]