配景のソースを表示

{{混同|背景}}
{{翻訳直後|[[:en:Perspective_(geometry)|英語版:Perspective_(geometry)  19:42, 5 June 2024]]|date=2024年7月}}
[[ファイル:Desargues_theorem_alt.svg|右|サムネイル|300x300ピクセル|2つの三角形の配景]]
点に関して'''配景'''（はいけい<ref>{{Cite web |title=配景(はいけい)とは？ 意味や使い方 |url=https://kotobank.jp/word/%E9%85%8D%E6%99%AF-1194570 |website=コトバンク |access-date=2024-06-23 |language=ja |first=改訂新版 |last=世界大百科事典}}</ref>、{{Lang-en-short|Perspective from point}}）であるとは、特に[[射影幾何学]]において、ある図形の対応する点を結ぶ[[直線]]がすべて[[共点|一点で交わる]]ことである<ref>{{Cite web |url=https://mixedmoss.com/ProjectiveGeometry/desargue/desargues.pdf#:~:text=%E3%83%87%E3%82%B6%E3%83%AB%E3%82%B0%28Desargues%29%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86%20%E8%A8%98%E8%BF%B0%E3%82%92%E7%B0%A1%E5%8D%98%E3%81%AB%E3%81%99%E3%82%8B%E3%81%9F%E3%82%81%2C%E3%80%8C%E7%9B%B4%E7%B7%9Al%20%E3%81%A8%E7%9B%B4%E7%B7%9Am%20%E3%81%AE%E4%BA%A4%E7%82%B9%E3%82%92l%20%C2%B7%20m%E3%80%8D%E3%81%A8%E8%A1%A8%E3%81%97%E3%81%BE%E3%81%99.%20%E2%96%B3ABC%20%E3%81%A8%E2%96%B3,%E7%9B%B4%E7%B7%9AAA%E2%80%99%2CBB%E2%80%99CC%E2%80%99%20%E3%81%8C1%E7%82%B9Z%E3%81%A7%E4%BA%A4%E3%82%8F%E3%82%8B%E3%81%93%E3%81%A8%20%E7%9B%B4%E7%B7%9AAB%20%E3%81%A8A%E2%80%99B%E2%80%99%20%E3%81%AE%E4%BA%A4%E7%82%B9%2CBC%20%E3%81%A8B%E2%80%99C%E2%80%99%E3%81%AE%E4%BA%A4%E7%82%B9%2CCA%20%E3%81%A8C%E2%80%99A%E2%80%99%20%E3%81%AE%E4%BA%A4%E7%82%B9%E3%81%8C%E7%9B%B4%E7%B7%9AL%E4%B8%8A%E3%81%AB%E3%81%82%E3%82%8B%E3%81%93%E3%81%A8 |title=デザルグの定理 |access-date=2024-7-22 |publisher=mixedmoss}}</ref>。 この[[双対]]、直線に関して'''配景'''（{{Lang|en|perspective from a line}}）であるとは、図形の対応する[[辺]]（またはその延長線）の交点が[[同一直線上にある]]ことである。

配景の概念の射影幾何学における例としては[[平行線]]が[[無限遠点]]（無限遠直線上にある点）で交わることが挙げられる。 また、[[次元 (数学)|高次元]]の配景も、同様に定義することができる。

== 用語 ==
図形の対応する[[辺]]（またはその延長線）のすべての交点を通る直線を'''配景の軸'''（{{Lang|en|axis of perspectivity, perspective axis, homology axis}}, 古風には {{Lang|en|perspectrix}}）という。

図形の対応する点を結ぶ[[直線]]の交点は'''配景の中心'''（{{Lang|en|center of perspectivity, perspective center, homology center, pole}}, 古風には{{Lang|en|perspector}}）または単に'''配景中心'''という<ref>{{Harvnb|Young|1930|loc=p. 28}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=英和工学字典 |year=1908 |publisher=[[丸善出版]] |page=43 |author=中島鋭治 |doi=10.11501/845326}}</ref>。

配景の関係にある二つの図形は'''配景の位置'''にあると言われる<ref>{{Cite book|和書 |title=幾何学の基礎 (岩波全書) |year=1946 |publisher=[[岩波書店]] |pages=10-15 |author=[[窪田忠彦]] |doi=10.11501/1371935}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=近世幾何学 |year=1929 |publisher=[[積善館]] |pages=99-105 |doi=10.11501/1171033 |author=[[森本清吾]]}}</ref>。

== 配景 ==
いくつかの図形の対応する点すべてを通る直線（{{仮リンク|射影領域|en|Projective range|label=}}）が存在するとき、一方の射影領域の点をもう一方の射影領域へ移す変換を「''central perspectivity''」という。この変換の双対は、ある点を通る直線（[[束 (射影幾何学)|束]]）を他の束へ移す変換である。これを「''axial perspectivity''」という<ref>{{Harvnb|Young|1930|loc=p. 29}}</ref>。

== 三角形 ==
[[三角形]]の配景は特に重要な場合である。2つの三角形がある点に関して配景であるとき、その状態を「''centrally perspective''」といい、元の三角形は「''central couple''」と呼ばれる。2つの三角形がある直線に関して配景であるとき、 その状態を「''axially perspective''」といい、元の三角形は「''axial couple''」と呼ばれる<ref>{{Harvnb|Dembowski|1968|loc=p. 26}}</ref>。

[[カール・フォン・シュタウト]]は三角形の配景について記号<math>ABC \doublebarwedge abc</math>を導入した<ref>[[ハロルド・スコット・マクドナルド・コクセター|H. S. M. Coxeter]] (1942) ''Non-Euclidean Geometry'', University of Toronto Press, reissued 1998 by [[アメリカ数学協会|Mathematical Association of America]], {{ISBN2|0-88385-522-4}} . 21,2.</ref>。

== 関連する定理 ==
[[デザルグの定理]]は三角形のcentral perspectiveとaxial perspectiveは[[同値]]であるという定理である。[[ユークリッド平面]]のデザルグの定理は、[[実射影平面]] 上で証明可能である。図形が{{仮リンク|一般の位置|en|General position}}にない場合でも、もとの証明を少し修正したものを使用できる。デザルグの定理が成立する[[射影平面]]は「''Desarguesian planes''」と呼ばれる。

2種類の配景には延べ10個の点が関連する。6つは三角形の[[頂点]]で、他3つは配景の軸上の点、1つは配景の中心である。{{仮リンク|射影幾何学の双対性|en|Duality (projective geometry)}} によれば、点と同様に、10個の直線が配景に関連する。うち6つは三角形の辺、3つは配景の中心を通るもの、１つは配景の軸である。この10個の点と10個の線は{{仮リンク|デザルグ配置|en|Desargues configuration}}を作る。
[[ファイル:Pappus_hexagon.svg|サムネイル|240x240ピクセル|3つのどの対応でも配景的となる三角形{{Math|△''BbY'',△''CcX''}}]]
2つの三角形が少なくとも2つの配置を持つ（対応する頂点の結び方が2通り以上あり、2つの配景の中心がある）とき、3つ目の辺の対応でも配景対応を作ることができる。これは、例えば[[パップスの六角形定理]]などと等しい表現である<ref>{{Harvnb|Coxeter|1969|loc=p. 233 exercise 2}} </ref>。3つの対応のどれでも配景的であるとき、9点（頂点6つと配景の中心3つ）と、9つの直線（6つの辺と配景の中心を通る3つの直線）は{{仮リンク|パップス配置|en|Pappus configuration}}を成す。

{{仮リンク|ライ配置|en|Reye configuration}}は、[[三次元]]上での{{仮リンク|パップス配置|en|Pappus configuration}}、つまり[[三角錐]]で4通りの配景の関係ができる構成である。

== 関連項目 ==

* {{仮リンク|曲線配景|en|Curvilinear perspective}}
* [[チェバの定理]]
* [[メネラウスの定理]]
* [[図形の合同]]
* [[図形の相似]]
* {{仮リンク|相似変換 (幾何学)|en|Homothety|label=相似変換}}
* [[相似の中心]]

== 出典 ==
<references responsive="1"></references>

== 参考文献 ==

* {{Citation|title=Introduction to Geometry|last=Coxeter|first=Harold Scott MacDonald|author-link=Harold Scott MacDonald Coxeter|year=1969|edition=2nd|publisher=[[John Wiley & Sons]]|location=New York|isbn=978-0-471-50458-0|mr=123930}}
* {{Citation|title=Finite geometries|last=Dembowski|first=Peter|year=1968|url=https://archive.org/details/finitegeometries0000demb|publisher=[[Springer-Verlag]]|series=[[Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete]], Band 44|location=Berlin, New York|isbn=3-540-61786-8|mr=0233275}}
* {{Citation|title=Projective Geometry|last=Young|first=John Wesley|year=1930|publisher=Mathematical Association of America|series=The Carus Mathematical Monographs (#4)}}
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[[Category:射影幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]