重ね合わせの原理のソースを表示

{{Otheruseslist|物理学における一般的な重ね合わせの原理|電気回路に関する重ね合わせ|重ね合わせの原理 (電気回路) |量子力学的な状態の重ね合わせ|重ね合わせ|数学における線形方程式の解の重ね合わせ|線形方程式}}
[[File:Anas platyrhynchos with ducklings reflecting water.jpg|thumb|right|
遠い波源から伝わってきた[[平面波]]的な波（斜めの筋）と、[[マガモ]]が作る[[航跡|航跡波]]の重ね合わせ。水面波において、[[線形性]]は波長と比べて振幅が小さい波に対してのみ近似的に成り立つ。]]

[[物理学]]および[[システム理論]]における'''重ね合わせの原理'''<ref name=jiten>{{Cite book|和書|author=物理学辞典編集委員会（編）|title=物理学辞典（三訂版）|publisher=培風館|year=2005|isbn=456302094X}}</ref>（かさねあわせのげんり、{{lang-en-short| superposition principle}}<ref>{{cite book|title=The Penguin Dictionary of Physics|author=Valerie Illingworth (ed.)|year=1991|publisher=Penguin Books, London}}</ref>）とは、[[線形性|線形な系]]一般に成り立つ特徴的な原理。二つ以上の入力が同時に与えられた時に系が返す応答が、それぞれの入力が単独に加えられた場合に返される応答の総和となることをいう。つまり、入力{{mvar| A }}に対して応答{{mvar| X }}が返され、入力{{mvar| B }}に対して応答{{mvar| Y }}が返されるならば、入力{{math| ( ''A'' + ''B'' ) }}に対して返される応答は{{math| ( ''X'' + ''Y'' ) }}である。

重ね合わせの原理が成り立つためには、加法性および斉次性の[[線形性#線形写像|二つの性質]]が必要十分である。以下のような性質を持つ写像（線形写像）はそのような性質を持つものの一つである。

:<math>
\begin{align}
F(x_1+x_2)  &= F(x_1)+F(x_2) & \text{: 加  法  性  } \\
F(a x) & = a F(x)   & \text{: 斉  次  性  }
\end{align}
</math>
<!-- 数式の\text内にある全角文字がうまく表示されないようなので、スペースを入れて調整しました。 -->
''x'', ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>は線型空間の要素（ベクトル）であり, {{mvar| a }}はスカラーである。入力に対して応答を対応付ける写像を''F''とすれば, 線型系の応答を表す写像は上の2式を満たす。

多くの物理系は線形系としてモデル化できるため、重ね合わせの原理が適用できる例は[[物理学]]・[[工学]]に数多い。たとえば、[[はり部材|はり]]は[[荷重]]を入力、[[はり部材#たわみ|たわみ]]を応答とする線形系としてモデル化できる。線形系は数学的に解析が容易だという点で重要性が高く、[[フーリエ変換]]や[[ラプラス変換]]のような[[周波数領域]]への[[線形変換]]、[[線形作用素]]理論など、多数の数学的技法が適用可能である。ただし、物理系の線形性は近似的にしか成り立たないこともある。そのような場合は重ね合わせの原理は真の物理的振る舞いの近似でしかない。

重ね合わせの原理はいかなる線形系においても適用できる。[[代数方程式]]、[[線形微分方程式]]およびそれらの[[方程式|方程式系]]は一例である。入力と応答になりうるのは、[[数]]、[[関数 (数学)|関数]]、[[ベクトル]]{{要曖昧さ回避|date=2021年7月}}、[[ベクトル場]]、時間変化する信号など、[[ベクトル空間]]の公理系を満たす数学的対象であれば何でもよい。ベクトルやベクトル場を問題にする場合、重ね合わせとはベクトル和を指す。

==フーリエ解析や類似の方法との関係==
線形系に対するごく一般的な入力を、単純な形式を持つ項の重ね合わせとして表現すると、応答が計算しやすくなることが多い。

例えば、フーリエ解析では入力を無限個の[[正弦関数]]の重ね合わせとして表現する。重ね合わせの原理が成り立つ場合、正弦関数を個別に解析してそれぞれの応答を計算することができる（この場合、応答は入力と等しい周波数を持つ正弦関数である。ただし、一般に[[振幅]]と[[位相]]は等しいとは限らない）。重ね合わせの原理により、入力全体に対する応答は個々の正弦波応答の総和（もしくは積分）で与えられる。

もう一つの例として、[[グリーン関数|グリーン関数法]]においても、入力は無限個の[[インパルス関数]]の重ね合わせとして表され、これに対する応答は[[インパルス応答]]の重ね合わせとなる。

フーリエ解析は特に[[波動]]の解析に広く用いられている。例えば、電磁気学において、普通の[[光]]は[[平面波]]（[[周波数]]、[[偏光]]状態、進行方向が定まった波）が多数重ね合わされたものとして記述される。重ね合わせの原理が成り立つ限り（成り立たない場合については[[非線形光学]]を参照）、いかなる光の性質も、より単純な平面波の性質の重ね合わせとして理解することができる。

==波の重ね合わせ==
{{main|波|波動方程式}}
[[File:Standing wave 2.gif|class=skin-invert-image|thumb|right|同じ媒質を逆方向に伝播する二つの波を線形に重ね合わせた様子。このアニメーションのように二つの波が等しい波長・振幅を持っていた場合、[[定常波]]が作られる。]]

通常、波はあるパラメータの時間的・空間的な変動として記述される。あるパラメータとは、水波では水面の高さ、音波では[[圧力]]、光波では[[電磁場]]である。パラメータの平衡値からのずれをここでは変位と呼ぶ。与えられた時間・空間に対して変位の値を返す関数が波である。

いかなる物理系においても、ある時刻における波形（変位の空間分布）は、波源（波動に影響を与える外力など）の条件および[[初期値問題|初期条件]]（初めの波形）のもとで微分方程式を解いて求められる。多くの場合（古典的な[[波動方程式]]など）、波動を記述する方程式は線型性を持っており、重ね合わせの原理が成り立つ。つまり、同一の空間を二つ以上の波が伝播するとき、合成波の変位は個々の波が独立に作る変位の和となる。たとえば、二つの波が直線上を互いに逆方向に進んでいるとき、それぞれの波は互いに影響を与え合うことなくすれ違いながらパラメータを変動させていく（図参照）。

===波の干渉===
{{main|干渉 (物理学)}}
[[干渉 (物理学)|干渉]]という現象は波の重ね合わせに基づいている。二つ以上の波が同一の空間を進んでいるとき、空間各点における正味の変位は個々の波が作る変位の和となる。{{仮リンク|ノイズキャンセリングヘッドホン|en|Noise-cancelling headphones}}などでは合成波の[[振幅]]は個々の成分よりも小さくなる。このような場合を「弱め合う干渉」と呼ぶ。他方で{{仮リンク|ラインアレイスピーカー|en|Line array}}などでは合成波の振幅が個々の成分より大きくなる。この場合「強め合う干渉」と呼ばれる。
{|
|-
| '''合成波'''
| colspan="2" rowspan="3" | [[File:Interference of two waves.svg|class=skin-invert-image]]
|-
| '''波 1'''
|-
| '''波 2'''
|-
| <br>
| '''波1と2が同相<BR>（強め合う干渉）'''
| '''波1と2が逆相<BR>（弱め合う干渉）'''
|}

===回折か、干渉か===
<!--原文では本節は引用文のみで構成されていたが、要約文に差し替えた（初版作成者）-->[[リチャード・ファインマン]]は『[[ファインマン物理学]]』において、波の干渉と[[回折]]はどちらも重ね合わせから生じるものであって、本質的な違いはないと述べた<ref>{{cite book|author=R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands|title The Feynman Lectures on Physics|volume=1|section=30-1|year=1963|publisher=Addison-Wesley |url= http://feynmanlectures.caltech.edu/I_30.html |accessdate=2016-6-9}}</ref>。少数の波源からの波の重ね合わせを論じるときは慣習的に「干渉」が用いられ、波源が多数であれば「回折」と呼ばれがちであるに過ぎない。この論を進めれば、干渉と回折は同一の効果の両極だといえる<ref>{{cite book|title= Physics for Engineers|author=N. K. Verma|year=2013|publisher= PHI Learning Pvt. Ltd.|page=361|url= https://books.google.com.br/books?id=kY-7AQAAQBAJ&lpg=PA361&dq=feynman%20interference%20and%20diffraction&pg=PA361#v=onepage&q=feynman%20interference%20and%20diffraction&f=false|accessdate=2016-6-9}}</ref>。はっきり区別できる少数の[[コヒーレンス|コヒーレント]]な波源の重ね合わせは干渉と呼ばれ、一つの波面を無数のコヒーレントな波源の重ね合わせとして表すとき、その効果は回折と呼ばれる。

一方で、干渉と回折という概念が不分明なのは'''波面の分割'''と'''振幅の分割'''の区別が意識されていないためだ、という主張も存在する<ref>{{cite book|title=Introduction to the Physics of Waves|author= Tim Freegard|publisher= Cambridge University Press|year=2012|page=106|url= https://books.google.com.br/books?id=eMMgAwAAQBAJ&lpg=PA106&dq=feynman%20interference%20and%20diffraction&pg=PA106#v=onepage&q=feynman%20interference%20and%20diffraction&f=false|accessdate=2016-6-9}}</ref>。[[ヤングの実験|ヤングの二重スリット実験]]や[[フラウンホーファー回折]]のように、一つの波の波面を分割して作った複数のコヒーレントな波源を干渉させる場合、それは回折に近い。これに対し、[[マイケルソン干渉計]]のように振幅を分割して作ったコヒーレントな波源を干渉させる場合、回折と見なされることはまれである。

===線型性からの逸脱===
現実に近い物理モデルの多くは、波の支配方程式は近似的にしか線型ではない。そのようなシチュエーションでは重ね合わせの原理も近似的にしか成り立たないが、波の振幅が小さいほど近似の精度が高くなるという規則が存在する。重ね合わせの原理が成り立たないときに起きる現象の例については、[[非線形光学]]および[[非線形音響学]]の項目を参照のこと。

===量子的な重ね合わせ===
{{main|[[:en:Quantum superposition]]|重ね合わせ}}
<!--本節の原文は出典を機械的に抜き書きしているように見えたので改稿した（初版作成者）-->[[量子力学]]では、ある種の波の伝播や振る舞いを計算することが最重要な問題である。この波は[[波動関数]]によって表され、その振る舞いを規定する方程式は[[シュレーディンガー方程式]]と呼ばれる。ある波動関数の振る舞いを計算する基本的なアプローチは、[[定常状態]]と呼ばれるシンプルな性質を持つ波動関数を複数（時には無限個）重ね合わせたものとして書き表すことである。シュレーディンガー方程式は線形なので、問題の波動関数の振る舞いは定常状態の振る舞いの重ね合わせとして計算できる<ref name="QuaMech">{{cite book|title=Quantum Mechanics|author=[[ヘンリク・アンソニー・クラマース|H.A. Kramers]]|publisher=Dover|year=1957|page= 62|isbn=9780486667720}}</ref>。

量子力学的な状態は[[ヒルベルト空間]]のベクトルだと見なされることが多い<ref name=solem/>。しかし、量子状態を基底ベクトル等のベクトルの重ね合わせとして表す場合、重ね合わされたベクトル間の相対位相にのみ物理的意味があると考えられており、ある状態に絶対値1の複素位相因子{{mvar| e<sup>i&theta;</sup> }}をかけても同じ状態だと解釈される<ref name=jiten/>。また、向きは同じで絶対値のみが異なるベクトルは同じ量子状態を表す。つまり、量子状態はベクトルではなく、{{仮リンク|ヒルベルト射影空間|en|projective Hilbert space}}の元、すなわち射線で表される<ref name=solem>{{cite journal|last=Solem|first=J. C.|last2=Biedenharn|first2=L. C.|year=1993|title=Understanding geometrical phases in quantum mechanics: An elementary example|journal=Foundations of Physics|volume=23|issue=2|pages=185–195|url=http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01883623|bibcode = 1993FoPh...23..185S |doi = 10.1007/BF01883623|accessdate=2016-6-10}}</ref>。射線とはあるベクトルを複素定数倍したものをすべて同値と見なす同値類である。ただし、量子状態を重ね合わせる場合には相対位相が異なる重ね合わせは異なる量子状態となるため、位相情報を失った射線の間に「重ね合わせ」は定義できず<ref>{{cite journal|author=L. J. Boya|title=State space as projective space. The case of massless particles|journal=Foundations of Physics|volume=19|issue=11|page=1363-1370|year=1989}}</ref>、適当な位相を持ったベクトルを用いる必要がある。実際[[ポール・ディラック|ディラック]]は、射線ではなく位相を持った[[ブラ-ケット記法|ブラベクトルやケットベクトル]]を重ね合わせることによって量子状態を表現している<ref name=":0" />。それにもかかわらずディラックは射線の考えに基づき「量子力学において見られる重ね合わせは、古典理論における重ね合わせとは本質的に異なった性質を持つ」<ref name=":0">{{cite book|author=[[ポール・ディラック|P.A.M. Dirac]]|year=1958|title=The Principles of Quantum Mechanics|edition=4th edition|publisher=Oxford University Press, Oxford UK|page=14}}</ref>と述べているが、例えば、偏光状態を表す[[ブロッホ球|ブロッホ球（ポワンカレ球）]]は古典偏光状態も量子偏光状態（[[量子ビット]]状態）も表すことができ、古典偏光状態と量子ビット状態は一対一に対応する。

==境界値問題==
{{main|境界値問題}}
よく見られるタイプの[[境界値問題]]は、抽象的に表せば、境界条件
:<math>G(y)=z</math>
のもとで方程式
:<math>F(y)=0</math>
を満たす関数{{mvar| y }}を見つけるというものである。たとえば、[[ディリクレ問題|ディリクレ境界条件]]のもとで[[ラプラス方程式]]を解く場合、{{mvar| F }}はある領域{{mvar| R }}における[[ラプラス作用素|ラプラシアン]]にあたり、{{mvar| G }}は{{mvar| y }}を{{mvar| R }}の境界に制限する演算子、{{mvar| z }}は{{mvar| R }}の境界において{{mvar| y }}が等しくならなければならない関数を意味する。

{{mvar| F }}および{{mvar| G }}がどちらも線形演算子である場合には、方程式{{math| 1= ''F''( ''y'' ) = 0 }}の解の線形重ね合わせがやはり方程式の解となる、という形で重ね合わせの原理が成り立つ。
:<math>F(y_1)=F(y_2)=\cdots=0\ \Rightarrow\ F(y_1+y_2+\cdots)=0</math>
このとき境界値も加算される。
:<math>G(y_1)+G(y_2) = G(y_1+y_2)</math>
そのため、方程式の解のリストが与えられれば、解を適当に重ね合わせることで境界条件を満たす解を作り出すことができる。これは境界値問題を解くアプローチとして一般的なものである。
<!--原文のAdditive state decomposition節はカットした。定義や説明の文章が不足しており、出典がない（main articleの[[:en: Additive state decomposition#Comparison with superposition principle]]に至っても出典なし）ため、線形重ね合わせに関する項目である本項に含めるべきか判断できない。編集される方はまず[[:en: Wikipedia:Articles for deletion/Additive state decomposition]]を参照。（初版作成者）-->
==その他の応用例==
* [[電気工学]]において、[[線型回路]]に対する入力（時間変化する電圧信号を印加したもの）は[[線形写像|線型変換]]によって出力（回路の任意の点における電流ないし電圧）に変換される。したがって、複数の入力信号を重ね合わせた場合、応答の重ね合わせが返される。この原理に基づく[[フーリエ解析]]の手法は非常に広く用いられている。詳しくは[[重ね合わせの原理 (電気回路)]]を参照。
* [[物理学]]における[[マクスウェルの方程式]]によれば、[[電荷]]や[[電流]]の空間分布（時間変化があっても構わない）とそれらが作る[[電場]]や[[磁場]]は線型変換によって関連付けられる。したがって、与えられた電流や電荷の分布から場を求める際には重ね合わせの原理を用いて計算を単純化できる。この原理は[[熱伝導方程式]]をはじめとする線形微分方程式一般に適用できる。
* [[機械工学]]では、組み合わせ荷重がはりや建造物に与えるたわみを求めるときに重ね合わせの考え方が用いられる。ただし荷重の効果は線型でなければならない。つまり、個々の荷重がほかの荷重の効果に影響せず、荷重が構造系の形状を著しく変化させることがない場合に限る<ref>{{cite book|title=Mechanical Engineering Design|author=J.E. Shigley, C.R. Mischke, R.G. Budynas|year=2004|publisher=McGraw-Hill Professional|page=192|isbn=0072520361}}</ref>。このほか、モード重ね合わせ法では個々の振動モードの[[固有振動|固有振動数]]と形状を用いて線型な構造物の動的応答を解析する<ref>{{cite book|title=Finite Element Procedures|author=K.J. Bathe|publisher=Prentice-Hall, Englewood Cliffs|year=1996|page=785|isbn=0133014584}}</ref>。
* [[水文地質学]]では、理想的な[[帯水層]]から複数の[[井戸]]によって水をくみ上げているときの水位低下に重ね合わせの原理が適用される。
* [[プロセス制御]]においては、[[モデル予測制御]]に重ね合わせの原理が用いられる。
* 非線形系の既知の解からのずれを[[線型化法]]によって解析しているときにも重ね合わせの原理が適用できる。
* [[ジョセフ・シリンガー]]が発表した[[音楽]]理論、{{仮リンク|シリンガー・システム|en|Schillinger System of Musical Composition}}における[[リズム]]理論は一種の重ね合わせの原理に基づいている。

==歴史==
[[レオン・ブリルアン]]によると<ref>{{cite book|author=[[レオン・ブリルアン|L. Brillouin]]|year=1946|title=Wave propagation in Periodic Structures: Electric Filters and Crystal Lattices|publisher=McGraw–Hill, New York|page=2-3}}</ref>、重ね合わせの原理（「振動系の運動は、一般に系の固有振動の重ね合わせで与えられる」）を1753年に初めて提唱したのは[[ダニエル・ベルヌーイ]]であった。重ね合わせの原理を認めると、いかなる関数も[[三角関数]]の重ね合わせとして表現できることになる。この定理が強力すぎると考えた[[レオンハルト・オイラー|オイラー]]および[[ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ|ラグランジュ]]は重ね合わせの原理に対して懐疑的な立場を取った。後になって、重ね合わせの原理は主に[[ジョゼフ・フーリエ]]の研究を通じて一般に認知されるようになった。

== 出典 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist}}

==参考文献==
{{refbegin}}
* {{cite book |author=Haberman, Richard |year=2004 |title=Applied Partial Differential Equations |publisher=Prentice Hall |isbn=0-13-065243-1}}
* [http://www.acoustics.salford.ac.uk/feschools/waves/super.htm Superposition of sound waves]
{{refend}}

==関連項目==
{{Commons|Interference}}
{{Commons category|Superposition principle}}
{{Wiktionary|interference}}
* [[うなり]]
* [[コヒーレンス]]
* [[畳み込み]]

{{Normdaten}}
{{デフォルトソート:かさねあわせのけんり}}
[[Category:物理学の概念]]
[[Category:振動と波動]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:システム理論]]