重複度 (数学)のソースを表示

[[数学]]において、[[多重集合]]の元の'''重複度'''（ちょうふくど、じゅうふくど、{{lang-en-short|multiplicity}}）は、それがその多重集合において現れる回数である。例えば、与えられた[[多項式方程式]]が与えられた点において持つ[[関数の零点|根]]の数など。

重複度の概念は、（「二重根」は二個と考えるなどの）例外を指定せずとも「重複度を込めて」(with multiplicity) と表現すれば正確に数えることができるという点で重要である。

重複度を無視する場合には、そのことを「相異なる根の個数」というように'''相異なる'''（あいことなる、{{lang-en-short|distinct}}）と言って強調することもある。ただし、（多重集合ではなく）[[集合]]を考える場合には「相異なる」と断らずとも自動的に重複度は無視される。

==素因数の重複度==
{{main|p進付値}}

[[素因数分解]]において、例えば、

: <math>60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5</math>

だと、素因数 2 の重複度は 2 であり、各素因数 3 と 5 の重複度は 1 である。したがって、60 は 4 つの素因数をもつが、異なる素因数は 3 つしかもたない。

==多項式の根の重複度==
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<math>F</math> を[[可換体|体]]とし <math>p(x)</math> を <math>F</math> に係数をもつ一変数[[多項式]]とする。元 <math>a \in F</math> は次のようなとき <math>p(x)</math> の重複度 <math>k</math> の[[関数の零点|根]]と呼ばれる。

ある多項式 <math>s(x)</math> が存在して <math>s(a) \ne 0</math> かつ <math>p(x) = (x-a)^k {s(x)}</math>とするとき、<math>k = 1</math> であれば、<math>a</math> は[[多項式|単根]]（simple root）と呼ばれ、<math>k \geqq 2</math> であれば、<math>a</math> は'''重根''' (multiple root) と呼ばれる。

例えば、多項式 <math>p(x) = x^3+2x^2-7x+4</math> は <math>1</math> と <math>-4</math> を[[多項式の根|根]]としてもち、<math>p(x) = (x+4)(x-1)^2</math> と書くことができる。これが意味するのは、<math>1</math> は重複度 2 の根であり <math>-4</math> は'単'根（重複度 1）である。重複度は「根が何回もとの方程式に現れるか？」として考えることができる。

多項式の[[導関数]]は多項式の重複度 <math>n</math> の根において重複度 <math>n - 1</math> の根をもつ。多項式の[[判別式]] が <math>0</math> であることと多項式が重根をもつことは同値である。

=== 重根の近くでの多項式関数の振る舞い ===
[[File:Polynomial roots multiplicity.svg|thumb|多項式 ''p''(''x'') = ''x''<sup>3</sup>&nbsp;+&nbsp;2''x''<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;7''x''&nbsp;+&nbsp;4 のグラフとその根（零点） -4 と 1。根 -4 は'単'根（重複度 1）でありしたがってグラフはこの根で ''x''-軸とクロスする。根 1 は重複度が偶数でしたがってグラフはこの根で ''x''-軸から跳ね返る。|upright]]

[[多項式関数]] <math>y = f(x)</math> の[[関数のグラフ|グラフ]]は ''x''-軸と多項式の実根で交わる。グラフは <math>f</math> の重根でこの軸に[[接線|接し]]、単根では接しない。グラフは重複度が奇数の根で ''x''-軸とクロスし、重複度が偶数の根で ''x''-軸から跳ね返る（突き抜けない）。

<math>0</math> でない多項式関数がつねに{{仮リンク|非負|en|non-negative}}であることと、すべてのその根の重複度が偶数である <math>x_0</math> が存在して <math>f(x_0) > 0</math> であることは同値である。

== 交叉重複度 ==
{{main|交叉理論}}
[[代数幾何学]]において、代数多様体の2つの部分多様体の共通部分は[[既約多様体]]の有限個の和集合である。そのような共通部分の各 component に対して'''交叉重複度''' (intersection multiplicity) が取り付けられる。この概念は次の意味で{{仮リンク|局所性質|label=局所的|en|local property}}である。この成分の任意の{{仮リンク|生成点|en|generic point}}の近傍において起こることを見ることでそれを定義できる。一般性を失うことなく、交叉重複度を定義するために2つの[[アフィン多様体]]（アフィン空間の部分多様体）の共通部分を考えることができるということが従う。

したがって、2つのアフィン多様体 ''V''{{sub|1}} と ''V''{{sub|2}} が与えられると、''V''{{sub|1}} と ''V''{{sub|2}} の共通部分の[[既約成分]] ''W'' を考えよう。''d'' を ''W'' の{{仮リンク|代数多様体の次元|label=次元|en|dimension of an algebraic variety}}とし、''P'' を ''W'' の任意の生成点とする。''W'' の ''P'' を通る{{仮リンク|一般の位置|en|general position}}にある ''d'' 個の[[超平面]]との共通部分は一点 ''P'' にreduceされる既約成分をもつ。したがって、共通部分の[[座標環]]のこの成分における[[局所環]]は[[素イデアル]]を 1 つしかもたず、したがって[[アルティン環]]である。それゆえこの環は基礎体上[[ハメル次元|有限次元]]ベクトル空間である。その次元が ''V''{{sub|1}} と ''V''{{sub|2}} の ''W'' における'''交叉重複度''' (intersection multiplicity) である。

この定義によって[[ベズーの定理]]とその一般化を正確に述べることができる。

この定義は多項式の根の重複度を次のように一般化する。多項式 ''f'' の根は[[アフィン空間|アフィン直線]]上の点で、その多項式によって定義される代数的集合の成分である。このアフィン集合の座標環は <math>R=K[X]/\langle f\rangle,</math> ただし ''K'' は ''f'' の係数を含む[[代数閉体]]。<math>f(X)= \textstyle\prod\limits_{i=1}^k (X-\alpha_i)^{m_i}</math> が ''f'' の分解であれば、''R'' の素イデアル <math>\langle X-\alpha_i\rangle</math> における局所環は <math>K[X]/\langle (X-\alpha)^{m_i}\rangle</math> である。これは ''K'' 上のベクトル空間で、次元として根の重複度 <math>m_i</math> をもつ。

交叉重複度のこの定義は、本質的に [[Jean-Pierre Serre]] の本 ''Local algebra'' によるが、集合論的な成分（''isolated component'' とも呼ばれる）に対してしかうまくいかず、{{仮リンク|埋め込まれた素因子|label=埋め込まれた成分|en|embedded prime}}に対してはうまくいかない。埋め込まれたケースを扱うために理論は発達してきている（詳細は[[交叉理論]]を見よ）。

==複素解析学において==
''z''<sub>0</sub> を[[正則関数]] '' &fnof; '' の根とし、''n'' を ''&fnof;'' の ''n'' 次導関数の ''z''<sub>0</sub> における値が 0 とは異なるような最小の正の整数とする。このとき ''&fnof;'' の ''z''<sub>0</sub> についての冪級数は ''n'' 次の項から始まり、''&fnof;'' は重複度（あるいは「位数」） ''n'' の根をもつという。''n''&nbsp;=&nbsp;1 であれば、根は単根と呼ばれる (Krantz 1999, p.&nbsp;70)。

[[有理型関数]]の[[零点]]と[[極 (複素解析)|極]]の重複度もまた次のように定義することができる。有理型関数 ''&fnof;''&nbsp;=&nbsp;''g''/''h'' があれば、点 ''z''<sub>0</sub> についての ''g'' と ''h'' の[[テイラー展開]]をとり、それぞれにおいて最初の 0 でない項を見つける（項の位数をそれぞれ ''m'' と ''n'' で表す）。''m''&nbsp;=&nbsp;''n'' であれば、点は 0 でない値をもつ。''m''&nbsp;>&nbsp;''n'' であれば、点は重複度 ''m''&nbsp;&minus;&nbsp;''n'' の零点である。''m''&nbsp;<&nbsp;''n'' であれば、点は重複度 ''n''&nbsp;&minus;&nbsp;''m'' の極をもつ。

==関連項目==
* [[固有値]]の代数的重複度と幾何学的重複度
* [[算術の基本定理]]
* [[集合 (数学)]]
* [[重根 (多項式)]]
* [[代数学の基本定理]]
* [[零点 (複素解析学)]]
* [[:en:Frequency (statistics)]]

==参考文献==

*Krantz, S. G. ''Handbook of Complex Variables''. Boston, MA: Birkhäuser, 1999. ISBN 0-8176-4011-8.

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[[Category:集合論]]
[[Category:解析学]]
[[Category:数学に関する記事]]