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'''量子ホール効果'''（りょうしホールこうか、{{lang-en-short|quantum Hall effect}}）は、[[半導体]]‐[[絶縁体]]界面や半導体の[[ヘテロ接合 (半導体)|ヘテロ接合]]などで実現される、2次元電子系に対し強い[[磁場]]（強磁場）を印加すると、[[電子]]の軌道運動が[[量子化 (物理学)|量子化]]され、エネルギー準位が離散的な値に縮退し、[[ランダウ準位]]が形成される現象を指す。ランダウ準位の状態密度は実際の試料では不純物の影響によってある程度の広がりを持つ。この時、[[フェルミエネルギー|フェルミ準位]]の下の電子は、[[波動関数]]が空間的に局在するようになる。これを[[アンダーソン局在]]という。

そして絶対温度がゼロ度（{{math|1=''T'' = {{Val|0|ul=K}}}}）の時、この量子化された2次元電子系のホール伝導率の {{mvar|x}} - {{mvar|y}} 成分 {{mvar|&sigma;{{sub|xy}}}} は、
:<math>\sigma_{xy}=-n\frac{e^2}{h}</math>
となる。ここで、{{mvar|n}} は整数、{{mvar|e}} は電子の[[電気素量|素電荷]]、{{mvar|h}} は[[プランク定数]]である。つまり、ホール伝導率が {{math|{{Sfrac|''e''{{Sup|2}}|''h''}}}} の整数倍になる。これを'''整数量子ホール効果'''と言う。

== 整数量子ホール効果 ==
{{物理定数
|名称=フォン・クリッツィング定数
|英語=von Klitzing constant
|画像=
|記号={{Math|''R''{{sub|K}} {{=}} {{sfrac|''h''|''e''{{sup|2}}}}}}
|値={{val|25812.8074593045|end=...|u=[[オーム|&Omega;]]}}
|不確かさ=なし
|語源=[[クラウス・フォン・クリッツィング]]
}}
この現象は、[[1975年]]に[[安藤恒也]]らによる理論からの示唆があり、[[1980年]]、[[クラウス・フォン・クリッツィング]]らによって初めて実験的に観測された。{{math|''R''{{Sub|K}} {{=}} {{Sfrac|''h''|''e''{{Sup|2}}}}}} を'''フォン・クリッツィング定数'''という。[[プランク定数]](''h'')と[[電気素量]](''e'')は2019年5月以降は[[定義定数]]であるのでフォン・クリッツィング定数には[[不確かさ]]がなく{{efn|{{Math|{{sfrac|''h''|''e''{{sup|2}}}}{{=}}{{sfrac|{{val|6.62607015|e=-34}}|({{val|1.602176634|e=-19}}){{sup|2}}}}{{=}}{{Sfrac|{{val|5521725125000000000000}}|{{val|213914163877964163}}}}{{=}}{{Sfrac|{{val|25812}}|{{val|172726981989024644}}|{{val|213914163877964163}}}}}}<ref>{{OEIS|A248510}}</ref>}}、15桁の数値は{{val|25812.8074593045|end=...|u=[[オーム|&Omega;]]}}である<ref>[https://unit.aist.go.jp/nmij/public/report/SI_9th/pdf/4_SI_%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%82%A2.pdf 改定国際単位系における電気標準] 金子普久（産総研　計量標準総合センター　物理計測標準研究部門　首席研究員）、p.35、「桁数はいくらでも取ることが可能だが、多くの研究開発、標準での利用において、実用上問題のない桁数として15桁を取ることを原則とする。」</ref>。2018年[[科学技術データ委員会|CODATA]]推奨値は、{{val|25812.80745|end=...|u=&Omega;}} と10桁で表示している<ref>[[#nist|CODATA Value]]</ref>。

この整数量子ホール効果（量子化ホール抵抗を用いる）は、[[電気抵抗]]標準として決めたり、[[微細構造定数]]の決定に使われたりする。

整数量子ホール効果はトポロジカル物性への数理物理的なアプローチにおいても基本的な対象であり、e<sup>2</sup>/h の偶数倍だけでなく奇数倍が許されるのは、電子が数学的にはスピノルという、360 度回転ではもとに戻らず 720 度回転ではじめて元に戻るもので記述されることに加え、四次元スピン多様体の交叉形式が偶であるという数学的事実に関係していることが知られている。
{{clear}}

== 分数量子ホール効果 ==
近年の試料の品質の向上に伴い、種々の[[ヘテロ接合 (半導体)|ヘテロ接合]]などに於いて[[二次元電子ガス|2次元電子系]]が実現されている。1979年に[[富士通]]の[[三村高志]]らによって[[高電子移動度トランジスタ]](HEMT)が開発された。当時は作動原理は完全には解明されていなかったが、[[1982年]]、[[ダニエル・ツイ]]、[[ホルスト・ルートヴィヒ・シュテルマー]]、[[アーサー・ゴサード]]らはこの電子系に対して強い磁場（{{Val|p=>|10|ul=T}}）を加え、{{Val|1|u=K}}程度以下にまで冷却して電気抵抗率 {{Mvar|&rho;{{sub|xx}}, &rho;{{sub|xy}}}} を測定したところ、従来の整数量子ホール効果で見られた、ホール抵抗率 {{Mvar|&rho;{{sub|xy}}}} が平坦な領域（以下これをプラトーとよぶ）のほかに、新たなプラトーを発見した。そこにおける抵抗率からホール伝導率 {{Mvar|&sigma;{{sub|xy}}}} を計算したところ、
:<math>\sigma_{xy}=-\frac{p}{q}\cdot\frac{e^2}{h}</math>
を得た。ここで {{Mvar|p, q}} は整数であり、{{Mvar|q}} が3以上の奇数の場合（1/3, 2/3, 1/5, 2/5, 3/5, 2/7など）を'''分数量子ホール効果'''と名づけた。

整数量子ホール効果の原因は、不純物ポテンシャルによる電子の局在化であるが、分数量子ホール効果は電子間の[[クーロンの法則|クーロンポテンシャル]]が不純物ポテンシャルに打ち勝つ場合に起こる。このため、分数量子ホール効果が観測されるのは、試料は不純物を極力減らし、ヘテロ接合界面が良質の試料に限られる。

1998年に[[ホルスト・ルートヴィヒ・シュテルマー]]、[[ダニエル・ツイ]]と[[理論物理学者]]である[[ロバート・B・ラフリン]]に[[ノーベル物理学賞]]が授与された。

== 数学との関わり ==
[[Image:Hofstadter's butterfly.png|thumb|[[ホフスタッターの蝶]]]]
ホール効果に現れる整数は、[[トポロジカル量子数]]の一例である。この数は、数学において第一チャーン数として知られており、[[Berry位相|ベリー位相]]と密接な関係がある。これに関係して、アベル=ハーパー=ホフスタッタ・モデルは極めて面白い。このモデルの量子位相図は、[[ホフスタッターの蝶]]として表現される。縦軸は[[磁場]]の強さ、横軸は[[電荷密度|電子密度]]によって決まる[[化学ポテンシャル]]である。色は、整数ホール電導率を表現している。暖色は正の整数を示し、寒色は負の整数を示す。位相図は[[フラクタル]]であり、明白な[[自己相関]]性が観察できる。物理的なメカニズムとしては、[[不純物]]か局所的な系（例：エッジ電流）もしくはその両方が、整数量子ホール効果と分数量子ホール効果に重要な役割を果たしていると考えられる。加えて、[[電磁相互作用|クーロン相互作用]]も、分数量子ホール効果を考える上で重要である。分数量子ホール効果は、整数量子ホール効果はよく似た現象であり、偶数本の[[磁束#磁束の量子化|磁束量子]]と[[束縛状態]]を形作った複合[[フェルミ粒子|フェルミオン]]と呼ばれる[[電子]]の性質によるものと説明できる。

==脚注==
{{脚注ヘルプ}}

===注釈===
{{notelist}}

===出典===
{{reflist}}

== 関連項目 ==
* [[ホール効果]]
* [[ホール素子]]
* [[物性物理学]]

== 外部リンク ==
* {{Cite web|url=https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rk|title=CODATA Value: von Klitzing constant|accessdate=2019-06-16|publisher=[[アメリカ国立標準技術研究所|NIST]]|ref=nist}}

{{Physics-stub}}
{{Condensed matter physics topics}}
{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:りようしほおるこうか}}
[[Category:固体物理学]]
[[Category:量子力学]]
[[Category:物理定数|ふおんくりつついんくていすう]]
[[Category:エポニム]]