量子化誤差のソースを表示

{{複数の問題|出典の明記=2022年7月|言葉を濁さない=2022年7月}}
[[File:Quanterr.png|thumb|right|300px|上のグラフは元の信号（青）とそれを量子化した信号（赤）を示している。下のグラフは量子化誤差（2つの信号の差分）を示している。]]
'''量子化誤差'''（りょうしかごさ、Quantization Error）または'''量子化歪み'''（りょうしかひずみ、Quantization Distortion）とは、[[信号 (電気工学)|信号]]を[[アナログ]]から[[デジタル]]に変換する際に生じる[[誤差]]である。

== 概要 ==
[[アナログ信号]]から[[デジタル信号]]への変換（[[デジタイズ]]）は、信号の細部を無視する変換であるため、元の信号からの誤差が必ず発生する。このような誤差を、'''量子化誤差'''と呼び、発生する[[雑音]]は、'''量子化雑音'''（Quantization Noise）と呼ばれる。

量子化誤差の大きさは、[[量子化 (情報科学)|量子化]]の解像度や[[アナログ-デジタル変換回路]]のビット数に依存する。

== 量子化誤差モデル ==
さまざまな物理量が実際に物理的な実体によって量子化される。これが当てはまる分野の例としては、[[電子工学]]（[[電子]]による量子化）、[[光学]]（[[光子]]による量子化）、[[化学]]（[[分子]]による量子化）などである。これをその系の「量子化雑音限界」と呼ぶこともある。これは、「量子化誤差」の別の現れでもあり、この場合は理論的モデルはアナログでも、実際の現象はデジタル的になっているのである。量子限界付近では、アナログとデジタルの区別はなくなる。

== 量子化雑音モデル ==
'''量子化雑音'''（りょうしかざつおん、{{lang-en-short|Quantization noise}}）は、[[電気通信]]や[[デジタル信号処理]]における[[アナログ-デジタル変換回路|アナログ-デジタル変換]]過程での[[量子化 (情報科学)|量子化]]で生まれる[[ノイズ]]である。これはアナログ値とデジタル値の'''量子化誤差'''によって生じる。このノイズは非線形で元の信号に依存したものとなる。量子化雑音はいくつかの方法でモデル化される。

量子化雑音を以下のように[[二乗平均平方根]]誤差として表現できる。

:<math> N_Q = \frac{ \left ( \frac{V_\mathrm{AD}}{2^Q} \right )^2 }{6 \cdot T_\mathrm{S} \cdot R_\mathrm{L}^2} </math>

ここで <math> V_\mathrm{AD} </math> は変換回路に入力されるアナログ電圧範囲（[[ボルト (単位)|ボルト]]）、<math> Q </math> は変換回路の量子化ビット数、<math> T_\mathrm{S} </math>は標本化周期（[[秒]]）、<math> R_\mathrm{L} </math> は変換回路の[[負荷抵抗]]（[[オーム]]）である。

理想的なアナログ-デジタル変換回路では、[[S/N比]]は以下のように求められる。

:<math>\mathrm{SNR_{ADC}} = 20 \log_{10}(2^Q) \approx 6.02 \cdot Q\ \mathrm{dB} </math>

16ビットオーディオでのダイナミックレンジは 6.02 &middot; 16 = 96.3 dB である。

この値は、理想的なアナログ-デジタル変換では量子化誤差が −1/2 [[最下位桁ビット|LSB]] から +1/2 LSB まで一様に分布すると仮定したものである。また、信号の値が量子化可能な範囲に全て含まれていると仮定している。量子化可能な範囲を調べるには[[三角波 (波形)|三角波]]や[[のこぎり波]]を最大強度で入力してみればよい。

入力信号が最大強度の[[正弦波]]の場合、信号の値の確率分布は一様ではなくなり、以下のような式でS/N比が求められる。

:<math> \mathrm{SNR_{ADC}} =  \left ( 1.761 + 6.02 \cdot Q \right )\ \mathrm{dB} </math>

ここでも量子化誤差の分布は一様であると仮定している。高解像度のアナログ-デジタル変換回路はこの式に近い特性を示すが、4ビットまでの低解像度の変換回路では、入力信号が量子化可能範囲を超えてしまう問題が強くなり、この式とはかけ離れてしまう。

== 関連項目 ==
* [[量子化 (情報科学)]]
* [[ディザ]]
* [[離散化誤差]]
* [[歪み (電子機器)]]
* [[S/N比]]
* [[バンディング (色)]]
* {{仮リンク|SQNR|en|SQNR}}

== 外部リンク ==
{{参照方法|date=2022年7月|section=1}}
* [http://www.oki.com/jp/rd/ss/digital.html 音声信号のディジタル化] 沖電気
* [http://www.techonline.com/community/related_content/20771  The Relationship of Dynamic Range to Data Word Size in Digital Audio Processing]
* [http://ccrma.stanford.edu/~jos/mdft/Round_Off_Error_Variance.html Round-Off Error Variance] 
* [http://ieee.li/pdf/dynamic_evaluation_dac.pdf Dynamic Evaluation of High-Speed, High Resolution D/A Converters] 
* [http://dsplog.blogspot.com/2007/03/in-problem-4.html  Signal to quantization noise in quantized sinusoidal]

[[Category:信号処理|りようしかこさ]]
[[Category:ノイズ|りようしかこさ]]