量子回帰定理のソースを表示

[[量子力学]]において、'''量子回帰定理'''（りょうしかいきていり、{{lang-en-short|Quantum recurrence theorem}}）とは、[[量子状態]]の[[時間発展]]に関する定理。[[エネルギー固有状態]]として、[[離散準位]]のみをもつ量子系は[[時間発展]]により、初期状態のいくらでも近くに回帰することを主張する。古典力学における[[ポアンカレの回帰定理]]の量子力学版に相当する。1957年にP. BocchieriとA. Loingerによって、示された<ref name="Bocchieri1957">P. Bocchieri and A. Loinger,"Quantum Recurrence Theorem," ''Phys. Rev.'' '''107''', 337 (1957){{doi|10.1103/PhysRev.107.337}}</ref>。
== 概要 ==
エネルギー固有値として、離散準位のみを持つ量子系において、系の状態ベクトルを{{math|{{!}}&psi;(''t'')&#12297;}}で表す。このとき、任意の正の定数{{math|&epsilon; &gt; 0}}と任意の初期時刻{{math|''t''<sub>0</sub>}}に対し、

<math>
|| \,|\psi(T)\rangle-|\psi(t_0) \rangle ||< \epsilon
</math>

を満たす時刻{{math|''T'' (&gt; ''t''<sub>0</sub>)}}が存在する。

この定理は、古典力学での有限領域内の運動は、初期状態のいくらでも近くに回帰するというポアンカレの回帰定理の量子力学版となっている。ポアンカレの回帰定理では、運動は有限領域内という仮定がなされるが、これは量子系では有限系のエネルギー準位が離散的であることに対応している。

== 証明 ==
ハミルトニアンの固有ベクトルの時間発展は、エネルギー準位から定まる周期をもつ周期関数であり、一般の状態ベクトルの時間発展はこれらの和として、表現される。P. BocchieriとA. Loingerは[[概周期関数]]の性質に基づき、初期状態の近くに回帰することを示した<ref name="Bocchieri1957"></ref>。

系のハミルトニアンを{{math|{{hat|''H''}}}}とすると、状態ベクトルの時間発展は次の[[シュレディンガー方程式]]にしたがう

:<math>
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle= \hat{H}|\psi(t)\rangle
</math>

ここで、離散準位{{mvar|E<sub>n</sub>}}をエネルギー固有値とする固有状態を{{math|{{!}}n&#12297;}}と表すと、この解は

:<math>
|\psi(t)\rangle= \sum_{n=0}^{\infty}a_n e^{-\frac{i}{\hbar}E_n(t-t_0)}|n \rangle
</math>
:<math>
\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|^2=1 
</math>

で与えられる。

このとき、時間{{mvar|t}}での状態{{math|{{!}}&psi;(''t''&#12297;}}と初期状態{{math|{{!}}&psi;(''t''<sub>0</sub>)&#12297;}}の差の[[ノルム]]を評価すると、

:<math>
|| \, |\psi(t)\rangle - |\psi(t_0)\rangle ||^2 =
2 \sum_{n=0}^{\infty} |a_n|^2  \left (1-\cos{\frac{E_n}{\hbar}(t-t_0)} \right )
</math>

である。

ここで任意の正数{{math|&epsilon; &gt; 0}}について、十分な大きな{{mvar|N}}をとれば、

:<math>
2 \sum_{n=N}^{\infty} |a_n|^2  \left (1-\cos{\frac{E_n}{\hbar}(t-t_0)} \right )
< 4 \sum_{n=N}^{\infty} |a_n|^2  
< \frac{\epsilon^2}{2}
</math>

を満たす。

残る有限個の項については、概周期関数の理論より、

:<math>
2 \sum_{n=0}^{N-1} |a_n|^2  \left (1-\cos{\frac{E_n}{\hbar}(T-t_0)} \right )
< \frac{\epsilon^2}{2}
</math>

を満たす時間{{mvar|T}}が存在することから、証明は完了する。

== 脚注 ==
<references />

== 参考文献 ==
*上田正仁 『現代量子物理学―基礎と応用』 培風館 (2004)　ISBN 978-4563022655

== 関連項目 ==
* [[ポアンカレの回帰定理]]

{{DEFAULTSORT:りようしかいきていり}}

[[Category:力学系]]
[[Category:量子力学]]
[[Category:物理学の定理]]