錐結合のソースを表示

[[数学]]に現れる'''錐結合'''（すいけつごう、{{Lang-en-short|conical combination}}）とは、[[ベクトル空間|実ベクトル空間]]内の有限個の[[ベクトル]] <math>x_1, x_2, \dots, x_n\,</math> と、<math>\alpha_i\ge 0 </math> を満たす実数 <math>\alpha_i\,</math> に対して、次の式で表されるベクトルのことを言う：

: <math>\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_nx_n.</math>

錐和（conical sum）や加重和（weighted sum）とも呼ばれる<ref name=conv-an>''Convex Analysis and Minimization Algorithms'' by Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal, 1993, ISBN 3-540-56850-6, [https://books.google.co.jp/books?id=Gdl4Jc3RVjcC&pg=PA101&dq=%22conical+combination%22&sig=ACfU3U1PhwoewUhc6T8MpfreQHpB35d7jQ&redir_esc=y&hl=ja#PPA101,M1 pp. 101, 102]</ref><ref name=Jeter>''Mathematical Programming'', by Melvyn W. Jeter (1986) ISBN 0-8247-7478-7, [https://books.google.co.jp/books?id=ofrBsl61lq8C&pg=PA67&dq=%22unbounded+convex+polyhedron%22&sig=ACfU3U1Yv3iG-XIn3hiuh84nK2e8UIcdAA&redir_esc=y&hl=ja#PPA68,M1 p. 68]</ref>。

ベクトルの錐結合は（低次元の部分空間内のものである場合もあるが）[[錐体|錐]]を定義するという事実より、そのような呼称が与えられている。

== 錐包 ==

与えられた集合 ''S'' に対するすべての錐結合の集合は、''S'' の'''錐包'''（conical hull）と呼ばれ、''cone''&nbsp;(''S'')<ref name=conv-an/> あるいは ''coni''&nbsp;(''S'')<ref name=Jeter/> と表記される。式で表すと

:<math>\operatorname{coni} (S)=\Bigl\{\sum_{i=1}^k \alpha_i x_i \;\Big|\; x_i\in S, \, \alpha_i\in \mathbb{R}, \, \alpha_i\geq 0, i, k=1, 2, \dots\Bigr\}</math>

となる。定義より、[[原点]]はすべての錐包に含まれる。

集合 ''S'' の錐包は[[凸集合]]である。実際、それは ''S'' を含むすべての[[凸錐]]の共通部分に原点を加えたものであるからである<ref name=conv-an/>。''S'' が[[コンパクト空間|コンパクト集合]]（特に、有限個の点の集合）であるなら、「原点を加える」という条件は必要なくなる。

原点を除いたとき、すべての係数をそれらの和で割ることで、錐結合は正の因子によってスケール化された[[凸結合]]であることが分かる。

[[File:Circle-conic-hull.svg|thumb|right|平面において、ある[[円板]]の原点を通るような錐包は、その円板の原点での[[接線]]と、原点を加えた集合、すなわち開[[上半平面|半平面]]である。]]

したがって「錐結合」あるいは「錐包」という呼び名は、より正確には「凸錐結合」あるいは「凸錐包」となる<ref name=conv-an/>。さらに、原点を除いたときにすべての係数で割るという上述の注意は、[[射影空間]]において錐結合あるいは錐包は、凸結合あるいは[[凸包]]と見なすことが出来ることを意味する。

コンパクト集合の凸包は同様にコンパクトであるが、錐包に対してこれは成り立たない。そもそも錐包は非有界である。さらに錐包は、[[閉集合]]でないことすらあり得る。そのような反例として、原点を通る[[球面]]の錐包は、開上半平面に原点を加えたものとなる。しかしもし ''S'' が原点を含まず、空でないコンパクト集合であるなら、''S'' の錐包は閉集合となる<ref name=conv-an/>。

== 関連項目 ==

* [[アフィン結合]]
* [[凸結合]]
* [[線型結合]]

== 参考文献 ==
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:すいけつこう}}
[[Category:凸幾何学]]
[[Category:解析学]]
[[Category:数学に関する記事]]