錐 (位相幾何学)のソースを表示

[[Image:Cone.svg|right|thumb|250px|円の錐．もとの空間は青色で，押しつぶされた端点は緑色．]]
[[位相幾何学]]，特に[[代数的位相幾何学]]において，[[位相空間]] {{mvar|X}} の'''錐'''（すい，{{lang-en-short|cone}}）{{mvar|CX}} とは，{{mvar|X}} と[[単位区間]] {{math|1=''I'' = [0, 1]}} の[[直積位相|積]]の[[商位相空間|商空間]]

:<math>CX = (X \times I)/(X \times \{0\})\,</math>

である．直観的には，{{mvar|X}} を[[円柱 (数学)|円柱]]にし，円柱の一端を[[点 (トポロジー)|点]]に押しつぶす．

{{mvar|X}} が[[ユークリッド空間]]の中にあれば，{{mvar|X}} の錐は {{mvar|X}} から別の一点への線分の[[和集合]]に[[同相]]である．つまり，位相幾何学的な錐は幾何学的な錐と定義されるときには一致する．しかしながら，位相幾何学的な錐の構成の方が一般的である．

==例==

* 実数直線の点 {{mvar|p}} 上の錐は区間 {{math|{''p''} &times; [0, 1]}} である．
* 二点 {{math|{{mset|0, 1}}}} 上の錐は端点を {{math|{{mset|0}}}} と {{math|{{mset|1}}}} とする "V" 字型である．
* 実数直線の区間 {{mvar|I}} 上の錐は中身の詰まった[[三角形]]であり，2-[[単体 (数学)|単体]]とも呼ばれる（最後の例を参照）．
* [[多角形]] {{mvar|P}} 上の錐は底面を {{mvar|P}} とするピラミッドである．
* [[円板]]上の錐は古典的な幾何学における[[円錐]]体である（「錐」の名前の由来）．
* [[円 (数学)|円]]上の錐は円錐体の側面である：
::<math>\{(x,y,z) \in \mathbb R^3 \mid x^2 + y^2 = z^2 \text{ and } 0\leq z\leq 1\}.</math>
:これは閉円板に同相である．
* 一般に，[[超球面|{{mvar|n}} 次元球面]]上の錐は {{math|(''n'' + 1)}} 次元閉[[球体]]に同相である．
* {{mvar|n}} 次元[[単体 (数学)|単体]]上の錐は {{math|(''n'' + 1)}} 次元単体である．

==性質==

すべての錐は[[弧状連結]]である，なぜならば任意の点は頂点と結べるからである．さらに，すべての錐は[[ホモトピー]]

:{{math|1=''h''<sub>''t''</sub>(''x'', ''s'') = (''x'', (1&minus;''t'')''s'')}}

によって頂点に[[可縮]]である．錐は代数的位相幾何学においてまさに空間を可縮空間の[[部分位相空間|部分空間]]として埋め込んでいるから用いられる．

{{mvar|X}} が[[コンパクト空間|コンパクト]]かつ[[ハウスドルフ空間|ハウスドルフ]]であるとき（本質的には，{{mvar|X}} をユークリッド空間に埋め込めるとき），錐 {{mvar|CX}} は {{mvar|X}} のすべての点をある一点につなぐ線分の集まりとして視覚化できる．しかしながら，この描像は {{mvar|X}} がコンパクトでないかあるいはハウスドルフでないとき正しくない，なぜならば一般には {{mvar|CX}} 上の[[商位相]]は {{mvar|X}} を一点に結ぶ線分たちの集合よりも{{仮リンク|細かい位相|label=細かい|en|finer topology}}からである．

==約錐==
{{math|(''X'', ''x''{{sub|0}})}} が[[基点付き空間]]であるとき，関連した構成，'''約錐''' (reduced cone) がある．それは
:<math>X\times [0,1] / (X\times \left\{0\right\}
\cup\left\{x_0\right\}\times [0,1])</math>

で与えられる．この定義で，自然な包含 <math>x\mapsto (x,1)</math> は基点付き空間の射である，ただし {{math|(''x''{{sub|0}}, 0)}} を約錐の基点として取った．

==錐関手==
写像 <math>X\mapsto CX</math> は[[位相空間の圏]]上の[[関手]] {{math|''C'': '''Top''' &rarr; '''Top'''}} を誘導する．

==関連項目==
*[[錐 (曖昧さ回避)]]
*[[懸垂 (位相幾何学)]]
*{{仮リンク|Desuspension|en|Desuspension}}
*{{仮リンク|写像錐 (位相幾何学)|en|Mapping cone (topology)}}
*{{仮リンク|Join (位相幾何学)|en|Join (topology)}}

==参考文献==
*[[Allen Hatcher]], [http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html ''Algebraic topology.''] Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-X and ISBN 0-521-79540-0
*{{planetmath reference|id=3974|title=Cone}}

{{DEFAULTSORT:すい}}
[[Category:位相幾何学]]
[[Category:代数的位相幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]