閉値域の定理のソースを表示

[[数学]]の[[バナッハ空間]]に関する[[定理]]である'''閉値域の定理'''（へいちいきのていり、{{Lang-en-short|closed range theorem}}）とは、[[稠密に定義された作用素|稠密に定義された]][[閉作用素|閉]]作用素が[[閉集合|閉]]の[[値域]]を持つための[[必要十分条件]]を与える定理である。[[ステファン・バナフ]]の[[1932年]]の論文 ''Théorie des opérations linéaires'' において証明された。

''X'' と ''Y'' をバナッハ空間とし、''T''&nbsp;:&nbsp;''D''(''X'')&nbsp;→&nbsp;''Y'' を、定義域 ''D''(''T'') が ''X'' において稠密であるような線形閉作用素とし、<math>\scriptstyle{T'}</math> をその[[非有界作用素#転置|転置]]とする。閉値域の定理は、次の四つの条件が同値であるということについて述べた定理である:

* ''T'' の値域 ''R''(''T'') は、''Y'' において閉である。
* <math>\scriptstyle{T'}</math> の値域 <math>\scriptstyle{R(T')}</math> は、''X'' の[[双対空間]] <math>\scriptstyle{X'}</math> において閉である。
* <math>R(T) = N(T')^\perp=\{y\in Y | \langle x^*,y\rangle = 0\quad \forall x^*\in N(T')\}</math>
* <math>R(T') = N(T)^\perp=\{x^*\in X' | \langle x^*,y\rangle = 0\quad \forall y\in N(T)\}.</math>

この定理には、いくつかの系（corollary）が存在することがただちに分かる。例えば、上述のような稠密に定義された閉作用素 ''T'' に対して ''R''(''T'')&nbsp;=&nbsp;''Y'' が成り立つことと、転置 <math>\scriptstyle{T'}</math> に連続な逆が存在することは同値である。同様に、<math>\scriptstyle{R(T') = X'}</math> であることと、''T'' に連続な逆が存在することは同値である。

<!-- == 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}} -->
== 参考文献 ==
* {{Citation
|last1 = Yosida
|first1 = K.
|year = 1980
|title = Functional Analysis
|edition = 6th
|publisher = [[Springer-Verlag]]
|location = Berlin, New York
|series = Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (Fundamental Principles of Mathematical Sciences), vol. 123
}}.

== 関連項目 ==
<!-- {{Commonscat|}} -->
* [[線型代数学の基本定理]]

{{Mathanalysis-stub}}
{{デフォルトソート:へいちいきのていり}}
[[Category:関数解析学]]
[[Category:数学に関する記事]]