閉多様体のソースを表示

{{seealso|[[:en:Classification of manifolds#Point-set]]}}

[[数学]]において、'''閉多様体''' (closed manifold) とは、境界を持たない[[コンパクト空間|コンパクトな]][[多様体]]のことである。境界が存在しえない文脈では、任意のコンパクト多様体が閉多様体である。

コンパクト多様体は、直感的な意味で、「有限」である。コンパクト性の基本的な性質により、閉多様体は連結閉多様体の有限個の[[非交和]]である。[[幾何学的トポロジー]]の最も基本的な目的の 1 つは、閉多様体がどのくらいあるかを理解することである。

==例==
最も簡単な例は[[円 (数学)|円]]であり、これは 1 次元のコンパクトな多様体である。閉多様体の別の例は[[トーラス]]と[[クラインの壺]]である。反例としては、[[実数直線]]はコンパクトでないから閉多様体ではない。[[円板 (数学)|円板]]はコンパクトな 2 次元多様体だが、境界を持つので閉多様体ではない。

==性質==
すべてのコンパクトな位相多様体は、[[ホイットニーの埋め込み定理]]によって、ある ''n'' に対して <math>\mathbf{R}^n</math> に埋め込むことができる。

==用語の対比==
'''コンパクトな多様体'''は位相空間としてコンパクトな、境界を持つかもしれない「多様体」を意味する。より正確には、それは境界を持ったコンパクトな多様体である（境界は空でもよい）。対照的に、閉多様体は境界''を持たずに''コンパクトである。

'''開多様体'''はコンパクトな連結成分を持たない境界を持たない多様体である。連結多様体に対して、「開」と「境界を持たず非コンパクト」は同値であるが、連結でない多様体に対しては、開の方が強い。例えば、円と直線の[[非交和]]は非コンパクトだが、1 つの成分（円）がコンパクトなので、開多様体ではない。

閉多様体の概念は[[閉集合]]の概念とは関係ない。境界を含む円板は平面の閉部分集合であるが、閉多様体ではない。

==物理学における使用==
「[[宇宙の形|閉宇宙]]」([[:en:Shape of the Universe|closed universe]]) の概念は閉多様体である宇宙を意味することもあるが正定数の[[リッチ曲率]]の多様体である宇宙を意味する可能性が高い。

== 参考文献 ==
* [[Michael Spivak]]: ''A Comprehensive Introduction to Differential Geometry.'' Volume 1. 3rd edition with corrections. Publish or Perish, Houston TX 2005, ISBN 0-914098-70-5.

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[[Category:多様体論]]
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