閉測地線のソースを表示

[[数学]]の[[微分幾何学]]および[[力学系]]の分野において、ある[[リーマン多様体]]上の'''閉測地線'''（へいそくちせん、{{Lang-en-short|closed geodesic}}）とは、その多様体上の[[測地線|測地流]]の閉軌道の射影のことを言う。

== 定義 ==

[[リーマン多様体]] (''M'',''g'') において閉測地線は、計量 ''g'' についての[[測地線]]であり、周期的であるような曲線 <math>\gamma:\mathbb R\rightarrow M</math> である。

閉測地線は、変分原理によって特徴付けられる。<math>\Lambda M</math> を ''M'' 上の滑らかな 1-周期曲線の空間とするとき、周期 1 の閉測地線は、次式で定義されるエネルギー函数 <math>E:\Lambda M\rightarrow\mathbb R</math> の[[臨界点 (数学)|臨界点]]である。

<math>E(\gamma)=\int_0^1 g_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))\,\mathrm{d}t.</math>

<math>\gamma</math> が周期 ''p'' の閉測地線であるなら、再びパラメータ化された曲線 <math>t\mapsto\gamma(pt)</math> は周期 1 の閉測地線であり、したがって ''E'' の臨界点である。<math>\gamma</math> が ''E'' の臨界点であるなら、各 <math>m\in\mathbb N</math> に対して <math>\gamma^m(t):=\gamma(mt)</math> で定義される曲線 <math>\gamma^m</math> も ''E'' の臨界点である。したがって、''M'' 上のすべての閉測地線はエネルギー ''E'' の臨界点からなる無限列を生成する。

== 例 ==

通常の円形リーマン計量を伴う[[単位球面]] <math>S^n\subset\mathbb R^{n+1}</math> 上のすべての[[大圏]]は、閉測地線の一例である。すべての測地線が閉測地線であるような多様体は、数学関連の文献において綿密に調べられてきた。基本群がねじれを持たないようなコンパクト双曲[[曲面]]上で、閉測地線は、その曲面の{{仮リンク|フックス群|en|Fuchsian group}}の元の非自明な[[共役類]]と一対一対応を持つ。

== 関連項目 ==
* [[セルバーグ跡公式]]
* {{仮リンク|ゾール曲面|en|Zoll surface}}
* [[測地線]]

== 参考文献 ==

*[[:en:Arthur Besse|Besse, A.]]: "Manifolds all of whose geodesics are closed", ''Ergebisse Grenzgeb. Math.'', no. 93, Springer, Berlin, 1978.
*[[:en:Wilhelm Klingenberg|Klingenberg, W.]]: "Lectures on closed geodesics", Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Vol. 230. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1978. x+227 pp. ISBN 3-540-08393-6

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