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'''開口端補正'''（かいこうたんほせい、{{Lang-en-short|end correction}}）とは、[[音響学]]において端が開いた[[気柱]]の[[音響共鳴]]が気柱の物理的な長さとは異なる長さに対応する[[振動数]]で起こる現象のこと、またその長さの変化量のこと。開口端補正の大きさは気柱の半径の0.6倍から0.8倍程度である。

== 概要 ==
[[フルート]]や[[クラリネット]]、[[ホルン]]などの[[管楽器]]が発する音は、楽器内部の空気の振動（[[音波]]）が共鳴条件（[[音響共鳴]]）を満たすように発生する。例えば両端が閉じた円筒形の気柱では、共鳴[[振動数]]は
{{Indent|<math>f = \frac{ n }{ 2 } \frac{ c }{ L } \ \ (n = 1, 2, 3, \cdots)</math>}}
となる（<math>L</math> は気柱の長さ）<ref name="田中"/>。一方、気柱の一方の端が開いているときにはこれは、端点からのエネルギー散逸を無視すると、端点で圧力がゼロであるという境界条件を課すことにより、振動数
{{Indent|<math>f = \frac{ 2 n - 1 }{ 4 } \frac{ c }{ L } \ \ (n = 1, 2, 3, \cdots)</math>}}
で生じることが導かれる<ref name="田中"/><ref>{{Cite web |url=https://doi.org/10.20697%2Fjasj.63.6_328 |title=Lecture 20: Pipes, resonances, standing waves |accessdate=2021-01-03}}</ref>。しかし実際にはこの結果は正確ではなく
{{Indent|<math>f = \frac{ 2 n - 1 }{ 4 } \frac{ c }{ L + l_\mathrm{E} } \ \ (n = 1, 2, 3, \cdots)</math>}}
という条件で音響共鳴が起こる<ref name="田中"/><ref name="Howe1999"/>。これは気柱の長さが幾何学的な長さ <math>L</math> ではなくそれより <math>l_\mathrm{E}</math> だけ大きいかのように振る舞っていることを意味する<ref>Howe, p. 417.</ref>。この長さ <math>l_\mathrm{E}</math> を開口端補正と呼ぶ<ref name="田中"/>。これは気柱内部の波がその慣性によって気柱外部の空気をも振動させることによって生じる<ref name="Howe423"/>（[[#原理]]節を参照）。

== 開口端補正の値 ==
開口端補正の大きさはノズルの幾何学的構造によって異なる<ref>{{Cite book |author=M. S. Howe |title=Acoustics of Fluid-Structure Interactions |publisher=Cambridge University Press |date=1998 |isbn=9780511662898 |doi=10.1017/CBO9780511662898 |pages=169-170}}</ref>。開口端補正の値は実験的に求められるが、理論的に計算することも可能であり、[[グリーン関数]]や{{仮リンク|ウィーナー・ホップの方法|en|Wiener–Hopf method}}を用いる手法が知られている<ref name="Howe1999"/><ref name="NorrisSheng1989">{{cite journal|last1=Norris|first1=A.N.|last2=Sheng|first2=I.C.|title=Acoustic radiation from a circular pipe with an infinite flange|journal=Journal of Sound and Vibration|volume=135|issue=1|year=1989|pages=85–93|issn=0022460X|doi=10.1016/0022-460X(89)90756-6}}</ref>。

両端に[[フランジ]]がある円柱の場合の開口端補正は
{{Indent|<math>l_\mathrm{E} \approx 0.8242 a</math>}}
である<ref>{{Cite book |editor=Thomas D. Rossing |title=Springer Handbook of Acoustics |doi=10.1007/978-0-387-30425-0 |publisher=Springer |date=2007 |isbn=978-0-387-30446-5 |page=94}}</ref><ref>Howe, pp. 426, 429-430.</ref><ref name="Howe1999"/>。これは[[ジョン・ウィリアム・ストラット (第3代レイリー男爵)|レイリー卿]]によって初めて求められた<ref name="Howe1999"/>。一方フランジなし円筒形の気柱の開口端補正の大きさは、円筒の半径を <math>a</math> として
{{Indent|<math>l_\mathrm{E} = - \frac{ a }{ \pi } \int_0^\infty \frac{ 1 }{ z^2 } \ln [ 2 K_1 ( z ) I_1 ( z ) ] dz \approx 0.6127 a</math>}}
により与えられる<ref>Howe, pp. 99-100.</ref>。ここに <math>K_1</math> および <math>I_1</math> は変形[[ベッセル関数]]である。この結果は1948年に Harold Levine および[[ジュリアン・シュウィンガー]]によって導かれた<ref name="LevineSchwinger1948">{{cite journal|last1=Levine|first1=Harold|last2=Schwinger|first2=Julian|title=On the Radiation of Sound from an Unflanged Circular Pipe|journal=Physical Review|volume=73|issue=4|year=1948|pages=383–406|issn=0031-899X|doi=10.1103/PhysRev.73.383}}</ref>。

== 原理 ==
以下では単色波の[[波長]]が気柱の半径よりも十分に長い場合に開口端補正の大きさを求めるレイリーの方法<ref name="Howe421"/>に沿って開口端補正の原理について説明する。ここでは[[音圧]]ではなく[[速度ポテンシャル]] <math>\varphi</math> を用いて議論する。

気柱内の[[音波]]は波数 <math>k</math> の[[平面波]]の重ね合わせにより与えられる<ref name="Howe422"/>。
{{Indent|<math>\varphi ( x ) = e^{i k x} + R e^{- i k x}</math>}}
係数 <math>R</math> が開口端での反射係数である<ref name="Howe423"/>。一方, 開口端を出た波は、遠方では[[球面波]]
{{Indent|<math>\varphi ( x ) = \delta \frac{ A }{ 4 \pi } \frac{ e^{i k r} }{ r }</math>}}
へと漸近する<ref name="Howe422"/>。ここに <math>A</math> は開口端の断面積である<ref name="Howe422"/>。

開口端付近では解はこれらのいずれと異なる形を取る。特に、この領域を音波の波長 <math>\lambda</math> より十分小さく取るとき,
流れは非圧縮性であるものとみなすことができ、その解を[[ラプラス方程式]]を解くことにより陽に求めることができる<ref name="Howe422"/><ref>Howe, pp. 63-65, 99-100.</ref>。それを
{{Indent|<math>\varphi ( x ) = \beta + \gamma \psi ( x )</math>}}
という形に書くとき、解 <math>\psi ( x )</math> は一般に気柱内側では漸近形
{{Indent|<math>\psi ( x ) \sim x - l_\mathrm{E}</math>}}
を、気柱外では漸近形
{{Indent|<math>\psi ( x ) \sim - \frac{ A }{ 4 \pi } \frac{ e^{i k r} }{ r }</math>}}
を持ち、上述の解と[[漸近接続]]することが可能である<ref name="Howe422"/><ref>柴田, pp. 202-213</ref>。その結果、反射係数 <math>R</math> は
{{Indent|<math>R = - \exp \left( 2 i k l_\mathrm{E} - k^2 \frac{ A }{ 4 \pi } \right)</math>}}
と定まる<ref name="Howe423"/>。この結果は、開口端から気柱の外へと放射される単位時間当たりの音波のエネルギーの割合が、
<math>a \sim \sqrt{ A / \pi }</math> を気柱の半径として
{{Indent|<math>1 - \exp \left( - \frac{ 1 }{ \pi } k^2 A \right) \sim ( k a )^2</math>}}
により与えられることを意味している<ref name="Howe423"/>。これは気柱の半径が音波の波長に比べて十分小さいならば（すなわち <math>k a \ll 1</math> ならば）無視できる<ref name="Howe423"/>。さらに、そのとき気柱内の音波は
{{Indent|<math>e^{i k x} - e^{- i k ( x - 2 l_\mathrm{E}) } = 2 i e^{i k l_\mathrm{E} } \sin \{ k ( x - l_\mathrm{E} ) \}</math>}}
となり、開口端補正 <math>l_\mathrm{E}</math> だけ長い気柱であるかのように[[定常波]]を形成する<ref name="Howe423"/>。

== 歴史 ==
開口端補正は[[オルガン]]のパイプにおける[[音響共鳴]]の研究から見出された。パイプからの音について調べた初期の研究者としては[[ダニエル・ベルヌーイ]]や[[レオンハルト・オイラー]]、[[ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ]]がいるものの、開口端において[[音圧]]がゼロになると考えていたため、彼らの理論は実験と整合しなかった<ref name="Helmholtz1860"/>。[[シメオン・ドニ・ポアソン]]は開口端で音圧がゼロになるという仮定が破綻しているものと考え、1817年にパイプ内の平面波がパイプ外まで広がっているという考え方を導入した<ref name="Helmholtz1860"/><ref>{{Cite journal |last=Poisson |first=Siméon Denis |journal=Mémoire l'Académie des Sciences |date=1817 |volume=2 |page=305 |title=Sur le mouvement des fluides élastiques dans des tuyaux cylindriques, et sur la théorie des instruments à vent}}</ref>。1859年に[[ヘルマン・フォン・ヘルムホルツ]]は[[ヘルムホルツ方程式]]に[[グリーンの定理]]を適用することで実験と整合する開口端補正の理論を構築した（この成果は翌年に出版された）<ref name="Helmholtz1860"/><ref>{{Cite journal|和書|author=神部勉 |date=2010-07 |url=https://hdl.handle.net/2433/141677 |title=渦運動による音波の発生 : 歴史と理論と実験と (オイラー方程式の数理 : 渦運動と音波150年) |journal=数理解析研究所講究録 |ISSN=1880-2818 |publisher=京都大学数理解析研究所 |volume=1697 |pages=1-15 |hdl=2433/141677 |CRID=1050001202113858304 |accessdate=2024-08-29}}</ref>。

1870年に[[ジョン・ウィリアム・ストラット (第3代レイリー男爵)|レイリー卿]]は[[ヘルムホルツ共鳴器]]に関する研究の中で開口端補正について詳しく議論している<ref>Howe, pp. 429-432.</ref><ref>{{Cite journal |author=Lord Rayleigh |title=On the theory of resonance |journal=Phil. Trans. R. Soc. Lond. |volume=161 |pages=77-118 |date=1870}}</ref><ref name="Campbell2007"/>。彼はフランジつきの共鳴器について開口端補正の値を <math>l_\mathrm{E} \approx 0.85 a</math> と求めている<ref name="Howe1999"/>。レイリー卿および同時代の成果は著書「The Theory of Sound」の第2巻にまとめられた。

実験的にフランジなしの開口端補正の値を求める試みは20世紀前半まで継続的に行われた。1879年に Blaikley<ref>D. J. Blaiklet, Phil. Mag., 7, 339 (1879)</ref> は 0.576 を、1910年に Boehm<ref>W. M. Bohm, Phys. Rev., 31, 341 (1910)</ref> は 0.656 を、1930年代に Bate<ref>A. E. Bate, Phil. Mag., 10, 617 (1930); 24, 453 (1937)</ref> は 0.66 を報告している。1948年に Harold Levine および[[ジュリアン・シュウィンガー]]はフランジなし開口端補正の理論的表式を導出し、その値を数値的に評価することによって 0.6133 という結論を得た<ref name="LevineSchwinger1948"/>。なお1960年にYukichi Nomuraらは、シュウィンガーらの成果を受け、フランジありの開口端補正が
{{Indent|<math>\frac{ \pi }{ 4 } < l_\mathrm{E} < \frac{ 8 \pi }{ 3 }</math>}}
を満足することを示した<ref name="NomuraYamamura1960">{{cite journal|last1=Nomura|first1=Yûkichi|last2=Yamamura|first2=Ichirô|last3=Inawashiro|first3=Sakari|title=On the Acoustic Radiation from a Flanged Circular Pipe|journal=Journal of the Physical Society of Japan|volume=15|issue=3|year=1960|pages=510–517|issn=0031-9015|doi=10.1143/JPSJ.15.510}}</ref>。

1953年に Ingard はヘルムホルツ共鳴器の内側の開口端補正について研究し、共鳴器の首の大きさが胴体に比べて十分小さいとみなせない場合にはそれが外側の開口端補正とは一致しないことを見出した<ref name="Ingard1953">{{cite journal|last1=Ingard|first1=Uno|title=On the Theory and Design of Acoustic Resonators|journal=The Journal of the Acoustical Society of America|volume=25|issue=6|year=1953|pages=1037–1061|issn=0001-4966|doi=10.1121/1.1907235}}</ref>。

== 脚注 ==
{{Reflist |2 |refs=
<ref name="Campbell2007">{{cite journal|last1=Campbell|first1=D. Murray|title=Lord Rayleigh: A master of theory and experiment in acoustics|journal=Acoustical Science and Technology|volume=28|issue=4|year=2007|pages=215–218|issn=1347-5177|doi=10.1250/ast.28.215}} 日本語訳: {{Cite journal|和書|title=レイリー卿 : 音響学における理論と実験の達人(<シリーズ企画>音響学の名著とその著者に出会う) |author=キャンベル マレー |translator=西口磯春 |journal=日本音響学会誌 |volume=63 |date=2007 |issue=6 |pages=328-332 |doi=10.20697/jasj.63.6_328}}</ref>
<ref name="Howe1999">{{cite journal|last1=Howe|first1=M. S.|title=On Rayleigh's computation of the ‘end correction’, with application to the compression wave generated by a train entering a tunnel|journal=Journal of Fluid Mechanics|volume=385|year=1999|pages=63–78|issn=0022-1120|doi=10.1017/S0022112098004182}}</ref>
<ref name="田中">{{Cite book |和書 |author=田中秀数 |title=振動と波動 ―身近な普遍的現象を理解するために―（フロー式物理演習シリーズ 6） |publisher=共立出版 |date=2014 |isbn=9784320035058 |pages=76-77}}</ref>
<ref name="Helmholtz1860">{{Cite journal |last=Helmholtz |first=Hermann von |title=Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden |journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik |volume=57 |date=1860 |issue=1 |pages=1-72 |url=http://www.deutschestextarchiv.de/book/show/helmholtz_luftschwingungen_1860}}</ref>
<ref name="Howe421">Howe, p. 421.</ref>
<ref name="Howe422">Howe, p. 422.</ref>
<ref name="Howe423">Howe, p. 423.</ref>
}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book |last=Howe |first=Michale |title=Acoustics and Aerodynamic Sound |publisher=Cambridge University Press |date=2014 |isbn=9781107360273 |doi=10.1017/CBO9781107360273}}
* {{Cite book |和書 |author=柴田正和 |title=漸近級数と特異摂動法 |date=2009 |publisher=森北出版 |isbn=978-4-627-07631-0}}

== 関連項目 ==
* [[音波]]
* [[音響共鳴]]
* [[ヘルムホルツ共鳴器]]
* [[管楽器#開管と閉管]]

{{DEFAULTSORT:かいこうたんほせい}}
[[Category:音響学]]
[[Category:音響工学]]
[[Category:振動と波動]]