関数の極限のソースを表示

{{出典の明記|date=2015年10月}}
{{Calculus}}
'''関数の極限'''（かんすうのきょくげん）とは、ある[[関数 (数学)|関数]]に対して、その[[変数 (数学)|変数]]をある値に限りなく近づける操作、および[[極限]]操作によって定まる関数の値である。
{{see also|極限|数列の極限}}
極限操作は、記号 {{math|lim}} を用いて表される。例えば関数 {{mvar|f}} に対して変数 {{mvar|x}} を {{mvar|c}} へ近づける極限は以下のように表される：

<math display="block">\lim_{x \to c}f(x)</math>

== 変数の収束に伴う関数の挙動 ==
[[画像:Límite de una función f.gif|right|300px]]
[[画像:Continuidad de funciones 03.svg|250px|thumb|''f''(''c'') ≠ ''L'' となる例]]
{{math|''f''(''x'')}} を実関数とし、{{mvar|c}} を実数とする。式
:<math> \lim_{x \to c}f(x) = L </math>
または
:<math>f(x) \rightarrow L \quad (x \rightarrow c)</math>
は {{mvar|x}} の値を {{mvar|c}} に“十分に近づければ”{{math|''f''(''x'')}} の値を {{mvar|L}} に望む限りいくらでも近づけることができることを意味する。このとき「{{mvar|x}} を {{mvar|c}} に近づけたときの {{math|''f''(''x'')}} の極限は {{mvar|L}} である」という。これは[[イプシロン-デルタ論法]]により
:<math>{}^{\forall} \varepsilon >0,\; {}^{\exist} \delta >0 \;;\; {}^{\forall} x\; \bigg[ 0<|x-c|<\delta \Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon \bigg]</math>
という形で厳密に定義される{{refnest|group="注釈"|より一般に関数 ''f'' の定義域が実数の部分集合 ''E'' の場合、点 ''c'' は ''E'' の[[集積点]]にとる{{sfn|Krantz|2017|p={{google books quote|id=-FOzDQAAQBAJ|page=99|99}}|loc=Definition 5.1}}。このとき関数 ''f'' は点 {{mvar|c}} において定義されている必要はないことに注意。}}。このとき極限 {{mvar|L}} は存在するならば、その値は関数 {{math|''f''(''x'')}} と点 {{mvar|c}} から一意に定まる{{sfn|Krantz|2017|p={{google books quote|id=-FOzDQAAQBAJ|page=101|101}}|loc=Proposition 5.4}}。一方この極限と関数 {{math|''f''(''x'')}} の {{math2|''x'' {{=}} ''c''}} における値は無関係であり、{{math2|''f''(''c'') ≠ ''L''}} であることもある（右図）。

このことを理解するために次の例を挙げる。

{{mvar|x}} が {{math|2}} に近づくときの <math>f(x)=\frac{x}{x^2+1}</math> の値を考える。この場合、{{math|''f''(''x'')}} は {{mvar|x}} が {{math|2}} のときに定義されており、値は {{math|0.4}} である。
* <math>f(1.9)=0.4121</math>
* <math>f(1.99)=0.4012</math>
* <math>f(1.999)=0.4001</math>
{{mvar|x}} が {{math|2}} に近づくにつれて {{math|''f''(''x'')}} が {{math|0.4}} に近づいていく。したがって、 <math>\lim_{x\to 2}f(x)=0.4</math> である。このように <math>f(c) = \lim_{x\to c} f(x)</math> であるとき、{{math|''f''(''x'')}} は {{math2|''x'' {{=}} ''c''}} で[[連続 (数学)|連続]]であるという。しかし、このようなことが常に成り立つとは限らない。 

例として、
:<math>g(x)=\begin{cases}
\frac{x}{x^2+1}, & \mbox{if }x\ne 2 \\
 0, & \mbox{if }x=2
\end{cases}</math>
を考える。{{mvar|x}} が {{math|2}} に近づくときの {{math|''g''(''x'')}} の極限は {{math|0.4}} であるが、<math>\lim_{x\to 2}g(x)\neq g(2)</math> である。故に {{math|''g''(''x'')}} は {{math2|''x'' {{=}} 2}} で連続でない。

また、{{math2|''x''→ ''c''}} のとき、{{math|''f''(''x'')}} の値が限りなく大きくなることを、「''x'' が ''c'' に限りなく近づくとき関数 {{math|''f''(''x'')}} は正の無限大に発散する」といい、
:<math>\lim_{x\to c}f(x)=\infty</math>
または
:<math>f(x)\to \infty\quad (x\to c)</math>
と表す。このことは次のように厳密に定義される。
:<math>{}^{\forall} K>0,\; {}^{\exist} \delta >0 \;;\; {}^{\forall} x \; \bigg[0<|x-c|<\delta \Longrightarrow f(x)>K \bigg]</math>
逆に、{{math2|''x''→ ''c''}} のとき、{{math|''f''(''x'')}} の値が限りなく小さくなることを、「{{mvar|x}} が {{mvar|c}} に限りなく近づくとき関数 {{math|''f''(''x'')}} は負の無限大に発散する」といい、
:<math>\lim_{x\to c}f(x)=-\infty</math>
または
:<math>f(x)\to -\infty\quad (x\to c)</math>
と表す。これは次のように厳密に定義される。
:<math>{}^{\forall} K<0,\; {}^{\exist} \delta >0 \;;\; {}^{\forall} x \; \bigg[0<|x-c|<\delta \Longrightarrow f(x)<K \bigg]</math>
連続な実関数 {{math|''f''(''x'')}} が {{math2|''x'' → ''c''}} とする極限において発散するならば、{{math|''f''(''x'')}} は {{math2|''x'' {{=}} ''c''}} において定義できない。なぜなら、定義されていたとすると {{math2|''x'' {{=}} ''c''}} は不連続点となるからである。

== 無限遠点における挙動 ==
{{mvar|x}} がある有限の値に近づくときだけでなく、{{mvar|x}} が正か負の[[無限]]に近づくときの関数の極限を定義することもできる。

ある無限区間 {{math|(''a'', ∞)}} で定義される関数 {{math|''f''(''x'')}} において、{{mvar|x}} が限りなく大きくなると関数 {{math|''f''(''x'')}} の値がある値 {{mvar|L}} に近づくとき、「{{mvar|x}} が限りなく大きくなるとき {{math|''f''(''x'')}} は {{mvar|L}} に収束する」といい、
:<math>\lim_{x\to\infty}f(x)=L</math>
または
:<math>f(x)\rightarrow L\quad (x\rightarrow\infty)</math>
と表す。

これは次のように定義される。
:<math>{}^{\forall} \varepsilon >0,\; {}^{\exist} X >0 \;;\; {}^{\forall} x \; \bigg[x>X \Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon \bigg]</math>
例えば、<math>f(x) = \frac{2x}{x+1}</math> を考える。
* <math>f(100) = 1.9802</math>
* <math>f(1000) = 1.9980</math>
* <math>f(10000) = 1.9998</math>
{{mvar|x}} が十分大きくなるにつれて、{{math|''f''(''x'')}} は {{math|2}} に近づく。このとき、<math>\lim_{x\to\infty} f(x)=2</math> と表す。

また、ある無限区間 {{math|(&minus;∞, ''a'')}} で定義される関数 {{math|''f''(''x'')}} において、{{mvar|x}} が限りなく小さくなると関数 {{math|''f''(''x'')}} の値がある値 {{mvar|L}} に近づくとき、「{{mvar|x}} が限りなく小さくなるとき {{math|''f''(''x'')}} は {{mvar|L}} に収束する」といい、
:<math>\lim_{x\to -\infty}f(x)=L</math>
または
:<math>f(x)\rightarrow L\quad (x\rightarrow -\infty)</math>
と表す。

これは次のように定義される。
:<math>{}^{\forall} \varepsilon >0,\; {}^{\exist} X<0 \;;\; {}^{\forall} x \; \bigg[x<X \Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon \bigg]</math>
関数の無限における極限においても、関数の発散を考えることができる。

ある無限区間 {{math|(''a'', ∞)}} で定義される関数 {{math|''f''(''x'')}} において、{{mvar|x}} が限りなく大きくなると関数 {{math|''f''(''x'')}} の値も限りなく大きくなるとき、「{{mvar|x}} が限りなく大きくなるとき {{math|''f''(''x'')}} は正の無限大に発散する」といい、
:<math>\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty</math>
または
:<math>f(x)\rightarrow \infty \quad (x\rightarrow\infty)</math>
と表す。

これは次のように定義される。
:<math>{}^{\forall} K>0,\; {}^{\exist} X>0 \;;\; {}^{\forall} x \; \bigg[x>X \Longrightarrow f(x)>K \bigg]</math>
また、ある無限区間 {{math|(&minus;∞, ''a'')}} で定義される関数 {{math|''f''(''x'')}} において、{{mvar|x}} が限りなく小さくなると関数 {{math|''f''(''x'')}} の値が限りなく大きくなるとき、「{{mvar|x}} が限りなく小さくなるとき {{math|''f''(''x'')}} は正の無限大に発散する」といい、
:<math>\lim_{x\to -\infty}f(x)=\infty</math>
または
:<math>f(x)\rightarrow \infty \quad (x\rightarrow -\infty)</math>
と表す。

これは次のように定義される。
:<math>{}^{\forall} K>0,\; {}^{\exist} X<0 \;;\; {}^{\forall} x \; \bigg[x<X \Longrightarrow f(x)>K \bigg]</math>
同様に、{{math2|''x'' → ∞}} や {{math2|''x'' → &minus;∞}} における負の無限大への発散を定義することができる。

{{math2|''x'' → ∞}} や {{math2|''x'' → &minus;∞}} において、関数 {{math|''f''(''x'')}} が収束もせず、また正の無限大にも負の無限大にも発散しない場合、その関数は数列と同様に振動するという。

==脚注==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist}}
=== 出典 ===
{{reflist}}

==参考文献==
*{{cite book
|last = Krantz
|first = Steven G.
|title = Real Analysis and Foundations
|edition = Fourth
|year = 2017
|publisher = CRC Press
|isbn = 978-1-4987-7768-1
|zbl = 1348.26004
|ref = harv
}}

==関連項目==
*[[片側極限]]
*[[極限の一覧]]

{{デフォルトソート:かんすうのきよくけん}}
[[Category:無限]]
[[Category:極限 (数学)]]
[[Category:数学に関する記事]]