関数の零点のソースを表示

{{Indent|''本項は函数が 0 となる点（x切片）についてのものであり、0 における函数の値（y切片）と混同してはならない。''}}
{{CSS image crop|Image = X-intercepts.svg |bSize = 300 |cWidth = 300 |cHeight = 110 |oLeft = 0 |oTop = 100 |Location = right |Description = 定義域 <math>\scriptstyle{[-2\pi,2\pi]}</math> における関数 cos&nbsp;''x'' のグラフ。''x'' 切片は赤で示してある。関数は ''x'' が <math>\scriptstyle\frac{-3\pi}{2}</math>, <math>\scriptstyle\frac{-\pi}{2}</math>, <math>\scriptstyle\frac{\pi}{2}</math>, <math>\scriptstyle\frac{3\pi}{2}</math> のところで'''零点'''をもつ。}}
[[関数 (数学)|関数]] ''f'' の '''零点'''（れいてん、{{lang-en-short|zero}}, '''根'''（こん、{{en|root}}）と呼ばれることもある）とは、''f'' の[[定義域]]の元 ''x'' であって、
<math display="block">f(x) = 0</math>
を満たすようなもののことである。別の言い方をすれば、関数 ''f'' の零点 (zero) とは、''x'' を ''f'' で写した結果が 0 (zero) となるような値 ''x'' のことである。<math>f(x)</math> が ''x'' で'''消えている''' (vanish) と表現することもできる<ref name="Foerster">{{cite book | last = Foerster | first = Paul A. | title = Algebra and Trigonometry: Functions and Applications, Teacher's Edition | edition = Classics | year = 2006 | page = 535 | publisher = [[Prentice Hall]] | location = Upper Saddle River, NJ | url = http://www.amazon.com/Algebra-Trigonometry-Functions-Applications-Prentice/dp/0131657100 | isbn = 0-13-165711-9}}</ref>。実関数、複素関数、あるいは一般に、[[環 (数学)|環]]に値を持つ関数や{{仮リンク|ベクトル値関数|en|vector-valued function}}に対して用いられる。

[[多項式]]の'''[[多項式の根|根]]''' (root) とは、それを[[多項式関数]]として考えたときの零点のことである。[[代数学の基本定理]]によると、0 でない任意の[[多項式]]は根を高々その[[多項式の次数|次数]]個だけもち、根の個数と次数は、[[複素数]]の根（あるいはより一般に[[代数的閉体|代数的に閉じている拡大]]における根）を[[重根 (多項式)|重複度]]を込めて考えると等しい。例えば、多項式
<math display="block">f(x)=x^2-5x+6</math>
で定義される2次多項式 ''f'' は、
<math display="block">f(2) = 2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 0</math>
<math display="block">f(3) = 3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 0</math>
となるから、2と3を根にもつ。

関数が[[実数]]を実数に写すならば、その零点は[[グラフ (関数)|グラフ]]が [[直交座標系|''x'' 軸]]と交わる点の ''x'' 座標である。この意味でそのような点 (''x'', 0) を '''''x'' 切片''' (''x''-intercept) とも呼ぶ。

[[複素数]]の概念は（判別式が負の値となる）[[二次方程式]]や[[三次方程式]]の根（負の数の平方根等が含まれる）を扱うために発展したものである。
{{see also|代数方程式|多項式}}

最も重要な[[数学上の未解決問題|未解決問題]]の1つである[[リーマン予想]]は、[[リーマンゼータ関数]]の複素根の位置に関するものである。

== 多項式の根 ==
{{main|{{仮リンク|多項式の根の性質|en|Properties of polynomial roots}}}}
奇数{{仮リンク|多項式の次数|label=次|en|Degree of a polynomial|preserve=1}}のすべての実多項式は（[[重根 (多項式)|重複度]]を考慮に入れて）奇数個の実根をもつ。同様に、偶数次の実係数多項式は偶数個の実根をもたなければならない。したがって、奇数次の実多項式は少なくとも1つの実根をもたなければならない（なぜなら1が最小の正の奇数だから）が、一方偶数次の多項式は実根をもたなくてもよい。この原理は[[中間値の定理]]を参照することによって証明できる。多項式関数は[[連続関数|連続]]であるから、関数は負から正にあるいは正から負に変わる過程で0を横切らなければならない。

=== 代数学の基本定理 ===
{{main|代数学の基本定理}}
代数学の基本定理は次のことを述べている。すべての ''n'' 次多項式は重複をこめて ''n'' 個の複素数根をもつ。実係数多項式の虚根は[[複素共役|共役]]のペアで現れる<ref name="Foerster" />。[[根と係数の関係|Vieta の公式]]は多項式の係数をその根の和と積に関係づける。

== 根の計算 ==
{{main|求根アルゴリズム|[[:en:Equation solving]]}}
ある種の関数、特に[[多項式関数]]の根を計算するには、しばしばそれ専用のあるいは[[近似]]の手法（例えば[[ニュートン法]]）を使うことが要求される。

== 零点集合 ==
トポロジーや数学の他の分野において、実数値関数 ''f'' : ''X'' → '''R''' （あるいはより一般に[[加法群]]に値をとる関数）の'''零点集合''' (zero set) は ''X'' の[[部分集合]] <math>f^{-1}(0)</math> （{0} の[[逆像]]）である。

零点集合は数学の多くの分野で重要である。特に重要な1つの分野は代数幾何学であり、[[代数多様体]]の最初の定義は零点集合によってなされる。例えば、''k''[''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>] の多項式からなる各集合 ''S'' に対して、zero-locus ''Z''(''S'') を ''S'' の関数が同時に消えるような '''A'''<sup>''n''</sup> の点全体の集合と定義する。つまり
<math display="block">Z(S) = \{x \in \mathbb A^n \mid f(x) = 0 \text{ for all } f\in S\}.</math>
このとき '''A'''<sup>''n''</sup> の部分集合 ''V'' はある ''S'' に対して ''V'' = ''Z''(''S'') であるときに'''アフィン代数的集合''' (affine algebraic set) と呼ばれる。これらのアフィン代数的集合は代数幾何学の基本的な構成要素である。

== 出典 ==
{{reflist}}

== 関連項目 ==
* [[零点]]
* [[極 (複素解析)]]
* [[代数学の基本定理]]
* [[ニュートン法]]
* {{仮リンク|Sendov予想|en|Sendov's conjecture}}
* {{仮リンク|Mardenの定理|en|Marden's theorem}}
* {{仮リンク|無限遠点で消える|en|Vanish at infinity}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld |title=Root |urlname=Root}}
* {{MathWorld|urlname=Vanishing|title=Vanishing}}
* {{PlanetMath|urlname=ZeroOfAFunction|title=zero of a function}}
* {{ProofWiki|urlname= Definition:Zero_of_Function|title= Definition:Zero of Function}}

{{DEFAULTSORT:かんすうのれいてん}}
[[Category:初等数学]]
[[Category:写像]]
[[Category:零点]]
[[Category:0]]
[[Category:数学に関する記事]]