関数解析学のソースを表示

{{Expand English|Functional analysis|date=2024年5月}}
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'''関数解析学'''（かんすうかいせきがく、{{lang-en-short|functional analysis}}、{{lang-fr-short|Analyse fonctionnelle}}、'''函数解析学'''とも書かれる。別名は'''位相解析学'''。）は[[数学]]（特に[[解析学]]）の一分野で、[[フーリエ変換]]や[[微分方程式]]、[[積分方程式]]などの研究に端を発している<ref name="nlab">[https://ncatlab.org/nlab/show/functional+analysis Functional analysis at nLab]</ref><ref name="world">Weisstein, Eric W. "Functional Analysis." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/FunctionalAnalysis.html</ref><ref name="em">[https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Functional_analysis Functional analysis from Encyclopedia of Mathematics]</ref><ref name ="infty">関数解析の基礎-<math>\infty</math>次元の微積分-, 堀内利郎 & 下村勝孝, 内田老鶴圃.
</ref>。特定のクラスの[[関数 (数学)|関数]]からなる[[ベクトル空間]]にある種の[[位相空間|位相構造]]を定めた[[関数空間]]や、その公理化によって得られる[[線形位相空間]]の[[構造 (数学)|構造]]が研究される<ref name="nlab"/><ref name="world"/><ref name="em"/><ref name ="infty"/>。主な興味の対象は、様々な[[関数空間]]上で積分や微分によって定義される[[線形写像|線型]][[作用素 (関数解析学)|作用素]]の振る舞いを通じた[[積分方程式]]や[[微分方程式]]の[[線型代数学]]的取り扱いであり、無限次元[[ベクトル空間]]上の[[線型代数学]]と捉えられることも多い<ref name="nlab"/><ref name="world"/><ref name="em"/>。また、無限次元空間上での微分 ([[フレシェ微分]]など) を扱うため、無限次元空間上での[[微分積分学]]という捉え方も可能である<ref name ="infty"/>。

==応用==
関数解析の中でも特に[[ヒルベルト空間|ヒルベルト空間論]]は[[量子力学の数学的定式化|量子力学の数学的基礎]]である<ref>新井朝雄, [http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/posts/20181122slaSlide.pdf 関数解析学と量子物理学]</ref><ref>原隆, [http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/09/QM_structure2.pdf 数学者のための量子力学入門]</ref>。また、コンピュータが高度に発達した現代においては[[数値解析]]（特に[[有限要素法]]、[[精度保証付き数値計算]]）において[[微分方程式]]の解の存在を議論するためなどに使われる他<ref>[[大石進一]] et. al. (2018), 精度保証付き数値計算の基礎, コロナ社.</ref><ref>中尾充宏, & 山本野人. (1998). 精度保証付き数値計算 チュートリアル: 応用数理最前線.</ref><ref>中尾充宏, & 渡部善隆. (2011). 実例で学ぶ精度保証付き数値計算, [[サイエンス社]].</ref><ref>{{cite book |author=Nakao, Mitsuhiro T; Plum, Michael; Watanabe, Yoshitaka |year=2019 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-13-7669-6 |title=Numerical verification methods and computer-assisted proofs for partial differential equations |publisher=Springer |doi=10.1007/978-981-13-7669-6 |ref=harv}}</ref><ref>桂田祐史、[http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lecture/suurikeisantokuron/fem-theory.pdf Poisson方程式に対する有限要素法の解析超特急]</ref>、[[機械学習]]にも応用される<ref>Sam Power, [http://statslab.cam.ac.uk/~sp825/slides/fa-ip-dl.pdf Functional Analysis meets Deep Learning].</ref>。
{{seealso|有限要素法|精度保証付き数値計算}}

==主な研究者==
===海外===
*[[リース・フリジェシュ]]
*[[ステファン・バナッハ]]
*[[ダフィット・ヒルベルト]]
*[[イズライル・ゲルファント]]
*[[ピーター・ラックス]]

===日本===
*[[加藤敏夫]]
*[[吉田耕作]]
*[[藤田宏]]
*[[増田久弥]]

== 関連項目 ==
* [[弱解]]
* [[弱形式]]
* [[汎関数]]
* [[超関数]]
* [[スペクトル (関数解析学)]]
* [[関数方程式]]
* [[有限要素法]]
===微分===
* [[フレシェ微分]]
* [[ガトー微分]]
* [[汎関数微分]]
===関数解析の定理===
{{seealso|Category:関数解析学の定理}}
* [[リースの表現定理]]
* [[バフスカ＝ラックス＝ミルグラムの定理]]
* [[フレドホルムの定理]]
** [[フレドホルムの交代定理]]
* [[ニュートン＝カントロビッチの定理]]
* [[サードの定理]]
* [[ベールの範疇定理]]
* [[開写像定理]]
* [[ハーン-バナッハの定理]]
====不等式====
*[[ソボレフ不等式]]
*[[ポアンカレ不等式]]
*[[フリードリヒの不等式]]
*[[ベッセルの不等式]]

====不動点定理====
* [[バナッハの不動点定理]]
* [[ブラウワーの不動点定理]]
* [[無限次元空間における不動点定理]]

===関数空間===
* [[バナッハ空間]]
** [[バナッハ空間の一覧]]
* [[ヒルベルト空間]]
* [[ソボレフ空間]]
* [[ハーディ空間]]

===作用素===
* [[コンパクト作用素]]
** [[ヒルベルト空間上のコンパクト作用素]]
* [[ヒルベルト＝シュミット作用素]]
* [[フレドホルム作用素]]
* [[随伴作用素]]
* [[射影作用素]]
* [[閉作用素]]
* [[微分作用素]]
* [[積分作用素]]

===関連分野===
* [[フレドホルム理論]]
* [[作用素論]]
* [[作用素環論]]
* [[フーリエ解析]]
* [[実解析]]
====半群====
* [[解析半群]]
* [[C0半群]]

==出典==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist|2}}

==参考文献==
===洋書===
====[[英語]]====
{{Div col|rules=yes}}
* Kantorovich, L. V., & Akilov, G. P. (1982). ''Functional Analysis'' [[:en:Pergamon Press]]. University of Michigan.
* Yosida, K. (1995). ''Functional Analysis''. Springer Berlin Heidelberg. 
* Brezis, H. (2010). ''Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations''. [[:en:Springer Science & Business Media]].
* Adams, R. A., & Fournier, J. J. (2003). ''Sobolev Spaces''. [[エルゼビア|Elsevier]].
* Deimling, K. (2010). ''Nonlinear functional analysis''. Courier Corporation.
* Berger, M. S. (1977). ''Nonlinearity and functional analysis: lectures on nonlinear problems in mathematical analysis''. [[:en:Academic Press]].
* Schwartz, J. T., Schwartz, L., & Karcher, H. (1969). ''Nonlinear functional analysis''. [[:en:CRC Press]].
* Zeidler, E., ''Nonlinear Functional Analysis and Its Applications'' I-V. [[:en:Springer Science & Business Media]].
* Zeidler, E. (2012). ''Applied functional analysis: main principles and their applications''. [[:en:Springer Science & Business Media]].
* Zeidler, E. (2012). ''Applied functional analysis: applications to mathematical physics''. [[:en:Springer Science & Business Media]].
* Collatz, L. (2014). ''Functional analysis and numerical mathematics''. [[:en:Academic Press]].
* Ramon Moore & Michael Cloud (2007), ''Computational Functional Analysis'', 2nd Ed., Woodhead Publishing.
* Lebedev, V. I. (2000). ''Functional analysis and computational mathematics''. Moscow: Fizmatlit.
* DeVito Carl. L. (1990). ''Functional Analysis and Linear Operator Theory'', Addison-Wesley, ISBN 0-201-11941-2 (1990).
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====[[フランス語]]====
* [[:en:Haïm Brezis]], Analyse fonctionnelle - Théorie et applications, Dunod, 2005.

===和書===
{{Div col|rules=yes}}
* 吉田耕作：「近代解析」、共立出版（基礎数学講座20巻）、(1956年2月25日)。※　復刊版は2014年7月。
* [[吉田耕作]]、河田敬義、岩村聯：「位相解析の基礎」, [[岩波書店]] 	ISBN 978-4-00-005025-8 (1960年2月29日).
* トレーブ：「位相ベクトル空間・超関数・核 <上>」、吉岡書店、ISBN 4-8427-0165-X (1973年9月15日).
* 前田周一郎：「函数解析」、森北出版 (1974年).
* トレーブ：「位相ベクトル空間・超関数・核 <下>」、吉岡書店、ISBN 4-8427-0178-1（1976年2月25日).
* エス・ゲー・クレイン（編）：「増訂新版　関数解析」、総合図書 (1976年8月10日).
* コルモゴルフ、フォミーン：「函数解析の基礎 [原書第4版]（上）」、岩波書店 (1979年10月12日).
* コルモゴルフ、フォミーン：「函数解析の基礎 [原書第4版]（下）」、岩波書店 (1979年11月9日).
* 村上温夫：「関数解析」、朝倉書店 (1980年5月30日).
* 黒田成俊：「関数解析」、共立出版、ISBN 4-320-01106-6 (1980年11月10日).
* 高橋渉：「非線形関数解析学：不動点定理とその周辺」、近代科学社、ISBN 4-7649-1008-X (1988年5月30日).
* ハイム・ブレジス：「関数解析」、産業図書、ISBN 4-7828-0507-1 (1988年10月25日).
* [[藤田宏]]、黒田成俊、伊藤清三、「関数解析」、[[岩波書店]]、ISBN 978-4-00-007810-8 (1991年2月8日)。
* [[増田久弥]]：「関数解析」、 [[裳華房]]、ISBN 978-4-7853-1407-1 (1994年6月15日).
* 州之内治男：「改訂 関数解析入門」，サイエンス社、ISBN 4-7819-0742-3 (1994年11月10日).
* [[加藤敏夫]]：「復刊 位相解析：理論と応用への入門」、[[共立出版]]、ISBN 978-4-320-01666-8（2001年1月15日).
* 竹之内脩:「函数解析」、朝倉書店、ISBN 978-4-254-11657-1 (2004年3月15日).　初版1968年？
* 岡本久、中村周：「関数解析」、岩波書店、ISBN 978-4-00-005197-2 (2006年1月26日).
* [[藤田宏]]：「理解から応用への 関数解析」、岩波書店、ISBN 978-4-00-005201-6 (2007年3月9日).
* 山田功：「工学のための関数解析」、数理工学社、ISBN 978-4-901683-62-3 (2009年5月10日).
* 増田久弥(編)：「応用解析ハンドブック」、シュプリンガ－・ジャパン、ISBN 978-4-43110042-3 (2010年2月).
* 新井仁之：「新・フーリエ解析と関数解析学」、培風館、ISBN 978-4-563-01141-3 (2010年6月30日).
* 宮寺功：「関数解析」、筑摩書房（筑摩学芸文庫）ISBN 978-4-480-09889-4（2018年11月8日）.
* 荷見守助、長宗雄、瀬戸道生：「関数解析入門 : 線型作用素のスペクトル」、内田老鶴圃、ISBN 978-4-7536-0089-2 (2018年). 
* 泉正巳：「数理科学のための 関数解析学」、サイエンス社、ISBN 978-4-7819-1532-6 (2021年12月25日).
* 吉田伸生：「関数解析の基礎」、裳華房、ISBN 978-4-7853-1599-3 (2023年8月25日).
* 竹内慎吾：「数学のとびら 関数解析：基本と考え方」、裳華房、ISBN 978-4-7853-1210-7 (2023年10月10日).
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====解説記事====
* [[吉田耕作]] (1982)：「函数解析 50 年」、数学、vol.34，no.4，pp.354-364.

====[[数値解析]]との関係を解説する文献====
* 柴垣和三雄：「関数解析と数値解析入門」、森北出版、ISBN 978-4-627-00340-8 (1973年10月20日).
* [[大石進一]] (1997)：「非線形解析入門」, [[コロナ社 (出版社)|コロナ社]] 、ISBN 978-4-339-02600-9 (1997年4月25日). （PDEに対する[[精度保証付き数値計算]]に用いる関数解析の知識を詳述している）
* 鈴木千里：「数値関数解析の基礎」、[[森北出版]]、ISBN 978-4-627-07521-4（2001年6月).

==外部リンク==
*[https://language-and-engineering.hatenablog.jp/entry/20140616/FunctionalAnalysisPDFLectureNote 「関数解析学」の講義ノートPDF（Functional Analysis）入門用の教科書]
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[[Category:関数解析学|*]]
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