隆起函数のソースを表示

[[Image:Bump2D illustration.png|right|thumb|250px|ある二変数の隆起函数の図]]

[[数学]]において'''隆起函数'''（りゅうきかんすう、{{Lang-en-short|bump function}}）とは、（全ての階数の連続な導函数を持つ意味で）[[滑らかな函数|滑らか]]であり、かつコンパクトな[[関数の台|台]]を持つ[[ユークリッド空間]] '''R'''<sup>''n''</sup> 上の函数のことを言う。'''R'''<sup>''n''</sup> 上のすべての隆起函数の空間は、<math>C^\infty_0(\mathbf{R}^n)</math> あるいは <math>C^\infty_c(\mathbf{R}^n)</math> と表記される。適切な位相を備えるこの空間の[[双対空間]]は、[[シュワルツ超函数]]の空間である。

== 例 ==
[[File:Mollifier Illustration.svg|right|thumb|280px|函数 &Psi;(''x'').]]

次で与えられる函数 Ψ : '''R''' → '''R''' は、一次元における隆起函数の一例である：

:<math>\Psi(x) = 
\begin{cases}
\exp \left(-\dfrac{1}{1 - x^2} \right) & \mbox{ for } |x| < 1\\
0 & \mbox{ otherwise.} 
\end{cases}</math>

この形状より、この函数がコンパクトな台を持つことは明らかである。実際、実数直線上の函数がコンパクトな台を持つための必要十分条件は、それが有界な台を持つことだからである。滑らかさの証明は、記事「{{仮リンク|解析的ではない滑らかな函数|en|non-analytic smooth function}}」において議論されているものと同様に行うことが出来る。この函数は、単位円板にスケールされた[[ガウス函数]] <math>\exp(-y^2)</math> と解釈することが出来る。すなわち、<math>y^2=1/(1-x^2)</math> を代入することで、''x'' = ±1 を ''y'' = ∞ と解釈することが出来る。

''n'' 変数の隆起函数の簡単な例は、上述の一変数の隆起函数の ''n'' 個の積として得られる：

:<math>\Phi(x_1, x_2, \dots, x_n) = \Psi(x_1)\Psi(x_2)\cdots\Psi(x_n).</math>

== 隆起函数の存在 ==

[[Image:Venn diagram of three sets.svg|right|thumb|隆起函数の構成法における集合の図]]

隆起函数は「特殊化」するように構成することが出来る。より具体的に言うと、''K'' を任意の ''n'' 次元[[コンパクト集合]]とし、''U'' をある[[開集合]]で ''K'' を含むものとすると、''K'' 上で 1 となり ''U'' の外側で 0 となるような隆起函数 φ が存在する。''U'' は ''K'' の非常に小さい近傍として取ることが出来るため、''K'' 上では 1 であり ''K'' の外側では急速に 0 となるが依然として滑らかな函数を構成することが出来る。

そのような構成法は以下のような手順で表される。''U'' に含まれる ''K'' のあるコンパクトな近傍 ''V'' を考える。すなわち ''K'' ⊂ ''V<sup>o</sup>'' ⊂ ''V'' ⊂ ''U'' が成立する。このとき ''V'' の[[指示函数|特性函数]] <math>\chi_V</math> は、''V'' 上で 1 となり ''V'' の外側で 0 となるものである。特に ''K'' 上で 1 となり ''U'' の外側で 0 となることに注意されたい。しかしこの函数は滑らかではない。鍵となるアイデアは、<math>\chi_V</math> とある[[軟化子]]との[[畳み込み]]を取ることによって、わずかに <math>\chi_V</math> を滑らかなものに変える、というものである。そのようにして得られた函数は、非常に小さな台を持ち、積分が 1 であるような隆起函数となる。その軟化子は、例えば前節の隆起函数 <math>\Phi</math> に対して適切なスケーリングを行うことによって得られる。

== 性質と用法 ==

隆起函数は滑らかであるが、恒等的に零でない限り[[解析函数|解析的]]ではない。これは[[一致の定理]]の簡単な帰結である。

隆起函数はしばしば[[軟化子]]や、カットオフ函数として用いられたり、滑らかな[[1の分割]]を構成するために用いられる。それらは、解析学において最もポピュラーな[[シュワルツ超函数|テスト函数]]の族である。

隆起函数の空間は、多くの演算の下で閉じている。例えば、二つの隆起函数の和、積あるいは[[畳み込み]]は再び隆起函数である。また滑らかな係数を持つ任意の[[微分作用素]]が隆起函数に適用される場合、別の隆起函数が構成される。

隆起函数の[[フーリエ変換]]は（実）解析函数であり、複素平面全体へ拡張することが出来る。したがって、それはゼロでない限りコンパクトな台を持つことはない。実際、[[整函数]]であるような隆起函数はゼロ函数のみだからである（{{仮リンク|ペイリー＝ウィーナーの定理|en|Paley–Wiener theorem}}を参照）。隆起函数は無限回微分可能であるため、十分大きな[[角周波数]] |''k''| に対して、フーリエ変換 ''F''(''k'') は 1/''k'' の任意の有限のべきよりも必ず早く減衰する<ref>K. O. Mead and L. M. Delves, "On the convergence rate of generalized Fourier expansions," ''IMA J. Appl. Math.'', vol. 12, pp. 247–259 (1973) {{doi|10.1093/imamat/12.3.247}}.</ref>。上述の隆起函数

:<math>\Psi(x) = 1_{\{|x|<1\}} \exp \left({-\frac{1}{1-x^2}} \right)</math>

のフーリエ変換は、[[最急降下法|鞍点法]]によって解析することが出来、大きい |''k''| に対して漸近的に

:<math>|k|^{-3/4} \exp \left(-\sqrt{|k|} \right)</math>

となるように減衰する<ref>S. G. Johnson, [http://math.mit.edu/~stevenj/bump-saddle.pdf Saddle-point integration of ''C''<sub>∞</sub> "bump" functions], online MIT notes (2007).</ref>。

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|指示函数のラプラシアン|en|Laplacian of the indicator}}

== 参考文献 ==
<references/>

{{DEFAULTSORT:りゆうきかんすう}}
[[Category:滑らかな関数]]
[[Category:数学に関する記事]]