階乗冪のソースを表示

[[数学]]、とくに[[離散数学]]の各分野における'''階乗冪'''（かいじょうべき、{{lang-en-short|''factorial power''<ref>Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. 1, 3rd ed., p. 50.</ref>)}} は、[[冪乗]]によく似た[[演算 (数学)|演算]]だが、[[階乗]]のように因子が 1 ずつずれていく。階乗冪には'''下降階乗冪''' (''falling factorial'') <ref group="*">'''降冪'''、'''下方階乗冪'''とも。</ref>と'''上昇階乗冪''' (''rising factorial'') <ref group="*">'''昇冪'''、'''上方階乗冪'''とも。</ref>とがある。また、両方向へずらしながら積をとる類似の概念に、'''中心階乗冪''' (''central'' ''factorial'') がある<ref>{{MathWorld | urlname= CentralFactorial | title= Central Factorial}}</ref>。

階乗冪は[[冪乗|冪]]あるいは[[冪函数]]の類似であり、[[特殊函数]]論あるいは[[組合せ論]]に広く応用を持つ。
{{上付き文字}}{{下付き文字}}
== 定義 ==
以下、{{mvar|x}} は必ずしも自然数でない[[実数|実]]または[[複素数]]数値の変数（あるいはより一般の[[環 (数学)|環]]の元でもよい）とし、{{mvar|n}} は自然数とする。

; 上昇階乗冪
: {{mvar|x}} を底とする'''上昇 {{mvar|n}}-乗'''とは
:: <math>x(x + 1)(x + 2)\dotsb (x + n-1) = \prod_ {k=1}^n (x + k-1)</math>
: なる {{mvar|n}}-項の積を言う。
; 下降階乗冪
: {{mvar|x}} を底とする'''下降 {{mvar|n}}-乗'''とは
:: <math>x(x-1)(x-2)\dotsb (x-n + 1) = \prod_{k=1}^n (x-k + 1)</math>
: なる {{mvar|n}}-項の積を言う。

これらは何れも、底 {{mvar|x}} を変数と見れば {{mvar|x}} を不定元とする整数係数[[多項式]]となることに注意する。展開の係数は[[スターリング数]]で与えられる（[[#性質|後述]]）。またこれら底 {{mvar|x}} を変数とする階乗冪は様々な意味で[[冪函数]]に相当する。

=== 記法について ===
* [[特殊函数]]論でしばしば用いられる[[ポッホハマー記号]]<ref group="*">特に {{math|(''x''){{sub|''n''}}}} のことを言い、上昇階乗冪を表す記号とする文献もあるので注意（この場合、下降階乗冪は {{math|(''x'' &minus; ''n'' + 1){{sub|''n''}}}} と書ける）。また、ポッホハマー自身はこれを二項係数を表すため用いた。詳細は[[ポッホハマー記号]]の項目を参照。</ref>は、下降階乗冪を {{math|(''x''){{sub|''n''}}}} で、上昇階乗冪を {{math|''x''{{sup|(''n'')}}}} あるいは {{math|(''x''){{sup|(''n'')}}}} で表す<ref>{{MathWorld | urlname= PochhammerSymbol | title= Pochhammer Symbol}}</ref>。また、{{math|(''x''){{su|b=''n''|p=&plusmn;}}}} と書くこともある<ref group="*">このような記法では
: <math>\textstyle (x)_n^{\pm} = \prod_ {k=1}^n (x \pm (k-1))</math>
のような略記も可能である。</ref>。
* {{harvtxt|Graham|Knuth|Patashnik|1988}} による、[[組合せ論]]でしばしば用いられる記号法では {{math|''x''{{sup|{{underline|''n''}}}}}} が下降階乗冪、{{math|''x''{{sup|{{overline|''n''}}}}}} が上昇階乗冪を表す。
* [[組合せ論]]における {{mvar|k}}-[[順列]]の総数 {{math|{{sub|''n''}}''P''{{sub|''k''}} {{=}} ''P''(''n'', ''k'')}} は下降階乗冪（{{mvar|n}} の下降 {{mvar|k}}-乗）である。

:: <math> (x)_n = (x)_n^- = x^{\underline{n}} = \prod_{k=1}^n (x-k + 1),</math>
:: <math> (x)^{(n)} = (x)_n^+ = x^{\overline{n}} = \prod_ {k=1}^n (x + k-1).</math>

また、自然数 {{mvar|n, k}} に対して
: <math>(n)_k = n^{\underline{k}} = {}_nP_k = \frac{n!}{(n-k)!},</math>
: <math>n^{(k)} = n^{\overline{k}} = \frac{(n+k-1)!}{(n-1)!}</math>
と書くことができる。ここで感嘆符 "!" は[[階乗]]を表す。

=== 実または複素「冪」 ===
{{mvar|x}} および {{math|''x'' + ''n''}} が負の整数でないとき、階乗の代わりにその補間函数である[[ガンマ函数]]を用いれば階乗冪の指数 {{mvar|n}} は任意の実数（あるいは複素数）とすることができる。具体的には次のようになる<ref group="*">右辺は反射公式による。</ref><ref group="*">''x'' = 0 の場合、階乗冪は当然 0 であるがガンマ関数による表記は ''x'' = 0 の場合もカバーしている。また、''x'' < ''n'' のときの自然数 ''x'' に対する下降階乗冪、および &minus;''x'' < ''n'' のときの負の整数 ''x'' に対する上昇階乗冪も 0 になるが、それもカバーしている。</ref>。
{{indent|<math>x^{\underline{n}}=\frac{\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}
=(-1)^{n}\,\frac{\Gamma (-x+n)}{\Gamma (-x)}</math>}}
{{indent|<math>x^{\overline{n}}=\frac{\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}
=(-1)^{n}\,\frac{\Gamma (-x+1)}{\Gamma (-x-n+1)}</math>}}
特に上記二式の右辺の式は ''x'' が負の整数の場合に特に有効<ref group="*">ガンマ関数は 0 および負の整数で[[極 (複素解析)|極]]を持つため、中辺の式では定義できない。</ref>である。

ふたつの実数 {{mvar|a}} および {{mvar|x}} について、{{mvar|a}} と {{math|''a'' + ''x''}} が負の整数でないとき、定数 {{mvar|a}} を底とし、指数 {{mvar|x}} を変数とする階乗冪 {{math|(''a''){{su|b=''x''|p=&plusmn;}}}} は（階乗冪を冪の類似と見做すならば）[[底aに関する指数函数|指数函数]]の類似である<ref group="*">が、和分差分学における指数函数に相当する概念とは異なる。[http://www.hyuki.com/story/idiffsum214pt.pdf (結城浩『離散系バージョンの関数探し』)]</ref>。

== 組合せ論的解釈 ==
{{mvar|n, k}} は自然数とする。{{mvar|n}}-元の集合から {{mvar|k}}-部分集合を選び出す {{mvar|k}}-順列の総数は下降階乗冪 {{math|''x''{{sup|{{underline|''k''}}}}}} である。同じく {{mvar|k}}-組合せの総数は[[二項係数]]であったから
: <math>\binom{n}{k} = \frac{n^{\underline{k}}}{k!}</math>
なる関係式を得る。これは
: <math>\binom{n+k-1}{k} = \frac{n^{\overline{k}}}{k!}</math>
とも書ける。

== 性質 ==
=== 計算規則 ===
[[空積]]の規約により
: <math>x^{\underline{0}}=x^{\overline{0}}=1</math>
と定める。ただし、{{math|''x''}} が {{math|0}} の場合には [[0^0|{{math|0}} の {{math|0}}-乗]]（これもまた空積である）の扱いに準じる（定義しないとするか、しばしば {{math|1}} と定める）。

下降階乗冪と上昇階乗冪の間に関係
: <math>x^{\underline{n}} =(-1)^n  (-x)^{\overline{n}},</math>
: <math>x^{\overline{n}} =(-1)^n (-x)^{\underline{n}}</math>
が成り立つ。

=== 多項式基底と変換係数 ===
{{main|二項係数|スターリング数}}
上昇階乗冪 {{math|''x''{{sup|{{overline|''n''}}}} (''n'' {{=}} 1, 2, 3, …)}} および下降階乗冪{{math|''x''{{sup|{{underline|''n''}}}} (''n'' {{=}} 1, 2, 3, …)}} はそれぞれ、{{mvar|x}} を変数とする多項式とみるとき[[多項式環]]の基底になる。標準基底 {{math|''x''{{sup|''n''}} (''n'' {{=}} 1, 2, 3, …)}} との基底変換は以下のように与えられる:

:<math> x^{\underline{n}} = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n+k}\left[ {n\atop k}\right]\,x^k,</math>
:<math> x^{n} = \sum_{k=0}^{n} \left\{{n\atop k}\right\}\,x^{\underline{k}}.</math>
ただし、<math>\textstyle \left[{n\atop k}\right]</math> は第一種[[スターリング数]]、<math>\textstyle \left\{{n\atop k}\right\}</math> は第二種スターリング数である。

同様に、上昇階乗冪と通常の冪には次の関係がある。
:<math> x^{\overline{n}} = \sum_{k=0}^{n} \left[{n\atop k}\right]\,x^k,</math>
:<math> x^n = \sum_{k=0}^{n}(-1)^{n+k}\left\{{n\atop k}\right\}\,x^{\overline{k}}.</math>

=== 二項型の関係式 ===
{{main|二項型多項式列|二項係数}}
上昇（または下降）階乗冪全体の成す多項式列は[[二項型多項式列|二項型]]である。即ち
: <math>(a+b)^{\underline{n}}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} a^{\underline{k}}\, b^{\underline{n-k}},</math>
: <math>(a+b)^{\overline{n}}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} a^{\overline{k}}\, b^{\overline{n-k}}</math>
あるいはこれらをまとめて
: <math>(a + b)_n^{\pm} = \sum_{{k=0}}^n {n \choose j} (a)_k^{\pm}(b)_{n-k}^{\pm}</math>
が成り立つ。上昇階乗冪に対するものは、{{仮リンク|ヴァンデルモンドの畳み込み|en|Vandermonde's identity}}と呼ばれる。

=== 結合係数 ===
{{main|構造定数 (数学)}}
下降階乗冪は[[多項式環]]の[[ハメル基底|基底]]を成す。これは下降階乗冪の[[線型結合]]同士の積が再び下降階乗冪の線型結合となることを意味し、それは以下を確かめれば十分である:
: <math>x^{\underline{m}}\, x^{\underline{n}} = \sum_{k=0}^{m} {m \choose k} {n \choose k} k!\, x^{\underline{m+n-k}}.</math>

右辺に現れる各項の係数
: <math>{m \choose k} {n \choose k} k!</math>
をこの積における結合定数 (connection coefficient) と総称する。この定数は組合せ論的に、{{mvar|m}}-元集合と {{mvar|n}}-元集合の非交和から選んだ {{mvar|k}}-組合せの総数と解釈することができる。

=== 指数法則 ===
[[指数法則]]に似た次の法則が下降階乗冪、上昇階乗冪に成り立つ。
: <math>\begin{align}
  x^{\underline{m+n}} &= x^{\underline{m}}\,(x-m)^{\underline{n}}\\
  x^{\overline{m+n}} &= x^{\overline{m}}\,(x+m)^{\overline{n}}
\end{align}\quad (\text{or }(x)_{m+n}^{\mp} = (x)_m^{\mp}(x\mp m)_n)</math>
これを用いて、負数の下降階乗冪、上昇階乗冪を定義することもできる。

また、次のような関係もある
: <math>\frac{x^{\overline{n}}}{x^{\overline{m}}} =\begin{cases}
 (x+m)^{\overline{n-m}} & (n>m),\\[5pt]
 \dfrac{1}{(x+m)^{\overline{m-n}}} & (m>n)
\end{cases}</math>

=== 和の公式 ===
以下 {{mvar|m, n, k}} は自然数とし、第 {{mvar|k}}-項が {{mvar|k}} の上昇 {{mvar|m}}-乗であるような数列の和を考える。上昇階乗冪とその逆数は、和の公式が次のような形で書くことができる。双方の公式とも、[[畳み込み級数]]となることを利用すれば導出できる。

::<math>
\begin{align}& \sum_{k=1}^n k^{\overline{m}} = \frac{n^{\overline{m+1}}}{m+1},\\
& \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^{\overline{m+1}}} = \frac{1}{m}\left(\frac{1}{m!} - \frac{1}{(n+1)^{\overline{m}}}\right).
\end{align}
</math>
=== 微分 ===
変数 {{mvar|x}} の下降 {{mvar|n}}-乗の[[微分]]は、

:<math>\frac{d}{dx}{x}^{\underline{n}}={x}^{\underline{n}}(H_x - H_{x-n})</math>
である。ただし、<math>H_x</math>は[[調和数 (発散列)|調和数]]<ref group="*">ただし、非整数 {{mvar|&alpha;}} に対して
:<math>\textstyle H_\alpha = \int_0^1\frac{1-x^\alpha}{1-x}dx</math>
の意味で用いている</ref>である。

また変数 {{mvar|x}} の上昇 {{mvar|n}}-乗の微分は、

:<math>\frac{d}{dx}{x}^{\overline{n}}={x}^{\overline{n}}(\psi(x+n)-\psi(x))</math>
である。ただし、<math>\psi(x)</math>は[[ディガンマ関数]]である。

逆に、自然数 {{mvar|n}} の下降 {{mvar|x}}-乗の冪指数 {{mvar|x}} を変数とする微分は、

:<math>\frac{d}{dx}{n}^{\underline{x}}={n}^{\underline{x}}\psi(n-x+1),</math>

自然数 {{mvar|n}} の上昇 {{mvar|x}}-乗の冪指数 {{mvar|x}} に関する微分は、

:<math>\frac{d}{dx}{n}^{\overline{x}}={n}^{\overline{x}}\psi(n+x)</math>
となる。

== 陰計算との関係 ==
{{seealso|陰計算}}
下降階乗冪の全体および上昇階乗冪の全体はそれぞれ[[多項式列]]を成す。下降階乗冪は[[多項式]]を[[前進差分作用素]] {{math|Δ}} を用いた公式（ニュートン級数展開）
: <math> f(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{\Delta^k [f](a)}{k!} ~{(x-a)}^{\underline{k}}= \sum_{k=0}^\infty {x-a \choose k}~ \Delta^k[f](a)</math>
（[[微分積分学]]における[[テイラーの定理]]と形の上で類似）で表すときに現れる。この公式やほかの様々なところで、微分積分学における[[冪函数]] {{math|''x''<sup>''k''</sup>}} に当たる役割を、[[和分差分学]]において下降階乗冪 {{math|''x''{{sup|{{underline|''k''}}}}}} が果たす。例えば
: <math>\Delta x^{\underline{k}}= k\,x^{\underline{k-1}}</math>
と
:<math>D x^k = k\,x^{k-1}\quad (D=d/dx)</math>
との類似対応に注意せよ。同様の関係は、[[不定和分]]に関しても述べられるし、上昇階乗冪と後退差分を用いても得られる。

このような類似性の研究は[[陰計算]] (umbral calculus<ref group="*">{{lang-la-short|umbra}} は「日影」の意</ref>) と呼ばれる。階乗冪を含めた上記のような関係を記述する一般論は、[[二項型多項式列]]および[[シェファー列]]の理論に含まれる（階乗冪は二項型シェファー列である）。同様に階乗冪の母函数は陰冪数 (umbral exponential) を勘案して
: <math> \sum_{n=0}^\infty x^{\underline{n}}\frac{t^n}{n!} = (1+t)^x, \quad (\Delta(1+t)^x = t(1+t)^x)</math>
で与えられる。

== 一般化 ==
下降階乗冪を一般化するものとして、函数 {{mvar|f}} に対しその減少[[算術数列|算術整数列]]上で評価した値の積を
: <math>[f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h)</math>
と書く。ここで {{math|&minus;''h''}} は公差、{{math|''k''}} は因子の数を示す。同様に上昇階乗冪の一般化は
: <math>[f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h)</math>
で与えられる。この記法の下で上昇階乗冪は {{math|[''x'']<sup>''k''/1</sup>}} であり下降階乗冪は {{math|[''x'']<sup>''k''/&minus;1</sup>}} である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}

=== 注釈 ===
{{reflist|group="*"}}

=== 出典 ===
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{cite book | 和書 | author1= [[ロナルド・グラハム|ロナルド・L・グレアム]] | author2= [[ドナルド・E・クヌース]] | author3= [[オーレン・パタシュニク]] | title= コンピュータの数学 | others= 有澤誠ほか訳 | publisher= 共立出版 | year=1993 | mounth= 8月 | isbn= 4-320-02668-3}} ; 原著: {{citation | first1= Ronald L. | last1= Graham | first2= Donald E. | last2= Knuth | first3= Oren | last3= Patashnik | year=1988 | title= [[Concrete Mathematics|Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science]] | publisher= Addison-Wesley}}
*  Keith B. Oldham他 『関数事典（CD-ROM付）』 河村哲也監訳、朝倉書店、2013年12月、ISBN 978-4-254-11136-1。

== 関連項目 ==
* [[q階乗冪]]（[[qポッホハマー記号]]）
* [[δ階乗冪]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld | urlname= RisingFactorial | title= Rising Factorial}}
* {{MathWorld | urlname= FallingFactorial | title= Falling Factorial}}
* {{PlanetMath | urlname= FallingFactorial | title= Falling Factorial}}

{{二項演算}}

{{DEFAULTSORT:かいしようへき}}
[[Category:数学の表記法]]
[[Category:解析学]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:離散数学]]
[[Category:組合せ論]]
[[Category:数学に関する記事]]