階段関数のソースを表示

[[File:Haar wavelet.svg|thumb|階段関数]]
'''階段関数'''（かいだんかんすう、{{lang-en-short|step function}}または{{lang-en-short|staircase function}}）とは、おおまかに言って、[[グラフ (関数)|グラフ]]が[[階段]]状になる[[関数 (数学)|実関数]]のことである。より正確には、[[区間 (数学)|区間]]上の[[指示関数]]が[[有限]]{{要出典|date=2021/06/08}}個あって、それらの[[線型結合]]で表される関数である。有限個{{要出典|date=2021/06/08}}のみの区分を持った、区分的に[[定数関数]]である関数とも表現できる。

== 定義 ==
関数 ''f'' : '''R''' &rarr; '''R''' が'''階段関数'''であるとは、ある[[正の数と負の数|正]][[整数]] ''n'' が存在して、''n'' 個の[[実数]] ''&alpha;''<sub>1</sub>,..., ''&alpha;<sub>n</sub>'' と ''n'' 個の区間 ''A''<sub>1</sub>,..., ''A''<sub>''n''</sub> 上の指示関数 ''&chi;''<sub>1</sub>,..., ''&chi;<sub>n</sub>'' によって、
:<math>f(x)=\sum_{i=1}^n \alpha_i \chi_i(x)</math>
と表されることをいう。ここに、[[集合]] ''A'' 上の[[指示関数]] ''&chi;<sub>A</sub>'' とは、次で定義されるものであった。
:<math>\chi_A(x)=\begin{cases}1, & \ (x \in A), \\ 0, & \ (x \notin A). \end{cases}</math>

この定義において、区間 ''A''<sub>''i''</sub> たちは、次の2条件を満たすとしてもよい。
* [[素集合|互いに素]]である。すなわち、''i'' &ne; ''j'' のとき、''A''<sub>''i''</sub> &cap; ''A''<sub>''j''</sub> = &empty; である。
* [[合併 (集合論)|和集合]]が実数全体である。すなわち、''A''<sub>1</sub> &cup; … &cup; ''A''<sub>''n''</sub> = '''R''' である。
例えば、この条件を満たさずに階段関数
:<math>f = 4 \chi_{[-5, 1)} + 3 \chi_{(0, 6)}</math>
が与えられたならば、条件を満たすように
:<math>f = 0 \chi_{(-\infty, -5)} + 4 \chi_{[-5, 0]} + 7 \chi_{(0, 1)} + 3 \chi_{[1, 6)} + 0 \chi_{[6, \infty)}</math>
と表現することもできる。

== 例 ==
[[Image:Dirac distribution CDF.svg|thumb|[[ヘヴィサイドの階段関数]]]]
* 定数関数は自明な階段関数である。階段関数の定義において、''n'' = 1, ''A''<sub>1</sub> = '''R''' として得られる。
* [[ヘヴィサイドの階段関数]]は、しばしば応用に用いられる重要な階段関数である。''n'' = 3, ''A''<sub>1</sub> = (-&infin; 0), ''A''<sub>2</sub> = [0, 0], ''A''<sub>3</sub> = (0, &infin;) として得られる。
[[File:Rectangular function.svg|thumb|[[矩形関数]]]]
* [[矩形関数]]は、'''R''' を5つの区間に分けて得られる階段関数である。
[[File:Floor function.svg|thumb|[[床関数と天井関数|床関数]]]]
* [[床関数と天井関数|床関数や天井関数]]は、[[無限]]個の区間に分けて与えられるため、ここでの文脈においては階段関数ではない。

== 性質 ==
階段関数のとる値は、有限個の可能性しかない。階段関数の定義において、区間 ''A''<sub>''i''</sub> たちを互いに素な '''R''' の[[集合の分割|分割]]にとっておけば、''A''<sub>''i''</sub> の任意の[[元 (数学)|元]] ''x'' に対して ''f''(''x'') = ''&alpha;<sub>i</sub>'' となる。

階段関数
:<math>f(x)=\sum_{i=1}^n \alpha_i \chi_{A_i}(x)</math>
の[[ルベーグ積分]]は、区間 ''A''<sub>''i''</sub> の[[長さ]] ''L'' (''A''<sub>''i''</sub>) が全て有限である場合、
:<math>\int_\mathbb{R} f dx=\sum_{i=1}^n \alpha_i L(A_i)</math>
で与えられる。

2つの階段関数の和や積もまた階段関数である。この演算により、階段関数全体の集合は '''R''' 上の[[体上の多元環|代数]]を成す。

== 関連項目 ==
* [[単関数]]
* [[カントール関数]]

{{DEFAULTSORT:かいたんかんすう}}

[[Category:特殊関数]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:階段]]