随伴作用素のソースを表示

[[数学]]の特に[[函数解析学]]において、[[ヒルベルト空間]]上の各[[有界線型作用素]]は、対応する'''随伴作用素'''（ずいはんさようそ、{{lang-en-short|''adjoint operator''}}）を持つ。作用素の随伴は[[正方行列]]の[[随伴行列]]の概念の無限次元の場合をも許すような一般化である。ヒルベルト空間上の作用素を「一般化された複素数」と考えれば、作用素の随伴は複素数に対する[[複素共軛]]の役割を果たすものである。

作用素 {{math|''A''}} の随伴は、[[シャルル・エルミート]]に因んで'''エルミート共軛''' (''Hermitian conjugate'') とも呼ばれ、{{math|''A''<sup>*</sup>}} あるいは {{math|''A''<sup>†</sup>}}、また稀に {{math|''A''<sup>+</sup>}} などで表される（[[短剣符|“†”]] は特に[[ブラケット記法]]とともに用いられる）。

== 有界作用素に対する定義 ==
{{math|''H''}} は[[内積]] {{math|&lang;,&rang;}} を備える[[ヒルベルト空間]]とし、[[連続線型作用素]] {{math|''A'': ''H'' → ''H''}}（線型作用素に対して、連続性はそれが[[有界作用素]]であることと同値）を考えるとき、{{math|''A''}} の随伴作用素 {{math|''A''<sup>∗</sup>: ''H'' → ''H''}} は、
: <math> \langle Ax , y \rangle = \langle x , A^* y \rangle \quad (\forall x,y\in H)</math>
を満たす線型作用素である。随伴作用素の存在と一意性は[[リースの表現定理]]から従う<ref name=rs186>{{harvnb|Reed|Simon|2003|pp=186–187}}; {{harvnb|Rudin|1991|loc=§12.9}}</ref>。

これは（標準複素内積に関して同様の性質をもつ）複素正方行列の随伴行列の一般化と見ることができる。

== 性質 ==
[[有界作用素]]のエルミート随伴は以下の性質を満たす<ref name=rs186 />:
# [[対合|対合性]]: {{math|1=''A''<sup>**</sup> = ''A''}}
# {{math|''A''}} が可逆ならば {{math|''A''<sup>*</sup>}} も可逆であり、かつ {{math|1=(''A''<sup>*</sup>)<sup>−1</sup> = (''A''<sup>−1</sup>)<sup>*</sup>}}
# [[加法的写像|加法性]]: {{math|1=(''A'' + ''B'')<sup>*</sup> = ''A''<sup>*</sup> + ''B''<sup>*</sup>}}
# 半斉次性: {{math|1=(λ''A'')<sup>*</sup> = {{overline|λ}}''A''<sup>*</sup>}}, ただし {{overline|λ}} は[[複素数]] {{math|λ}} の[[複素共軛]]
# [[逆転準同型|逆転性]]: {{math|1=(''AB'')<sup>*</sup> = ''B''<sup>*</sup>''A''<sup>*</sup>}}
加法性と半斉次性を合わせて{{仮リンク|反線型写像|label=反線型性|en|antilinear map}}、逆転性と対合性は合わせて [[*-環]]としての対合性を表す。

{{math|''A''}} の[[作用素ノルム]]を
:<math> \| A \|_\mathrm{op} := \sup \{ \|Ax \| : \| x \| \le 1 \} </math>
で定義するならば、
:<math> \| A^* \|_\mathrm{op} = \| A \|_\mathrm{op}</math><ref name=rs186 />
および、さらに
:<math> \| A^* A \|_\mathrm{op} = \| A \|_\mathrm{op}^2</math><ref name=rs186 />
が成り立つ。この性質を満足するノルムは、自己随伴作用素の場合からの類推で、「最大値」のように振る舞うということができる。

ヒルベルト空間 {{math|''H''}} 上の有界線型作用素全体の成す集合は、随伴をとる操作と作用素ノルムに関して [[C*-環|{{math|''C''<sup>*</sup>}} 環]]の原型的な例である。

== 密定義作用素の随伴 ==
ヒルベルト空間 {{math|''H''}} 上の[[密定義作用素]] {{math|''A''}} は、その[[定義域]] {{math|''D''(''A'')}} が {{math|''H''}} において稠密で、かつその[[終域]]が {{math|''H''}} であるようなものを言う<ref>詳細は[[非有界作用素]]を参照。</ref>。 その随伴 {{math|''A''<sup>*</sup>}} はその定義域 {{math|''D''(''A''<sup>*</sup>)}}が

: <math> \langle Ax , y \rangle = \langle x , z \rangle \quad (\forall x \in H)</math>
を満たす {{math|''z'' ∈ ''H''}} が存在するような {{math|''y'' ∈ ''H''}} 全体の成す集合で与えられ、かつ {{math|''A''<sup>*</sup>(''y'') {{=}} ''z''}} となるものとして定義される<ref>{{harvnb|Reed|Simon|2003|pp=252}}; {{harvnb|Rudin|1991|loc=§13.1}}</ref>。

上記性質 1.–5. は（定義域と終域が適当な条件を満たせば）成立する。例えば最後の性質について、随伴作用素 {{math|(''AB'')<sup>*</sup>}} は（{{math|''A''}}, {{math|''B''}}, {{math|''AB''}} が密定義作用素ならば）作用素{{math|''B''<sup>*</sup>''A''<sup>*</sup>}} の延長で与えられる<ref>{{harvnb|Rudin|1991|loc=Thm 13.2}}</ref>。

作用素 {{math|''A''}} の[[像 (数学)|像]]とその随伴 {{math|''A''<sup>*</sup>}} の[[核 (代数学)|核]]との間の関係性は、
: <math>\begin{align}
  & \ker A^* = (\operatorname{im}A)^{\bot}\\
  & (\ker A^*)^\bot = \overline{\operatorname{im}A}
\end{align}</math>
で与えられる（ここで上付き横棒は集合の[[閉包 (位相空間論)|閉包]]を表す。[[直交補空間]]も参照）。一つ目の式の証明<ref>有界作用素の場合は {{harvnb|Rudin|1991|loc=Thm 12.10}} を見よ。</ref>は
:<math>\begin{align} A^* x = 0
 &\iff \langle A^*x,y \rangle = 0 \quad (\forall y \in H) \\
 &\iff \langle x,Ay \rangle = 0 \quad (\forall y \in H) \\
 &\iff x \mathrel{\bot} \operatorname{im}A
\end{align}</math>
で、二つの式は一つ目の式の両辺の直交補空間をとることでわかる。一般に、像は閉とは限らないが連続線型作用素の核は常に閉である<ref>有界作用素の場合と同じ。</ref>。

== エルミート作用素 ==
[[有界作用素]] {{math|''A'': ''H'' → ''H''}} が[[自己随伴]]であるとは
: <math> A = A^{*}</math>
あるいは同じことだが
: <math> \lang Ax , y \rang = \lang x , A y \rang \quad (\forall x,y\in H)</math>
を満たすことを言う<ref>{{harvnb|Reed|Simon|2003|pp=187}}; {{harvnb|Rudin|1991|loc=§12.11}}</ref>。

適当な意味において、エルミート作用素は[[実数]]（自身とその複素共軛が等しい複素数）の役割を果たし、実[[ベクトル空間]]を成す。エルミート作用素は[[量子力学]]において[[観測可能量]]のモデルを提供する。エルミート作用素に関する詳細は[[自己随伴作用素]]の項を参照せよ。

== 反線型作用素の随伴 ==
{{仮リンク|反線型作用素|en|Antilinear map}}に対する随伴の定義は、複素共軛を相殺するために調整が必要である。ヒルベルト空間 {{math|''H''}} 上の反線型作用素 {{math|''A''}} の随伴は、反線型作用素 {{math|''A''<sup>∗</sup>: ''H'' → ''H''}} で
: <math> \lang Ax , y \rang = \overline{\lang x , A^* y \rang} \quad (\forall x,y\in H)</math>
を満たすものを言う（上付き横棒は複素共軛を意味する）。

== その他の随伴 ==
等式
: <math> \lang Ax , y \rang = \lang x , A^* y \rang </math>
は形の上では[[圏論]]における[[随伴函手|随伴対]]を定義する性質と同じ形をしている。そしてこれは随伴函手の名の由来でもある。

== 関連項目 ==
* 数学的概念
** [[内積]]
** [[ヒルベルト空間]]
** [[エルミート作用素]]
** [[ノルム]]
** [[作用素ノルム]]
** [[転置写像]]
* 物理学への応用
** [[ブラケット記法]]
** [[演算子 (物理学)]]
** [[観測可能量]]

== 注釈 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{citation | first1 = Michael | last1 = Reed | first2 = Barry | last2 = Simon | title = Functional Analysis | publisher = Elsevier | year = 2003 | isbn = 981-4141-65-8 }}.
* {{citation | first1 = Walter | last1 = Rudin | title = Functional Analysis | publisher = McGraw-Hill | year = 1991 | edition = second | isbn = 0-07-054236-8 }}.

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=Adjoint|title=Adjoint}}
* {{PlanetMath|urlname=Adjoint|title=adjoint}}
* {{ProofWiki|urlname=Definition:Adjoint|title=Definition:Adjoint}}
* {{SpringerEOM|urlname=Adjoint_operator|title=Adjoint operator|author= Sobolev, V.I.}}

{{Functional Analysis}}
{{DEFAULTSORT:すいはんさようそ}}
[[Category:作用素論]]
[[Category:数学に関する記事]]