集合の圏のソースを表示

[[数学]]の一分野である[[圏論]]において、'''集合の圏'''（しゅうごうのけん、{{lang-en-short|''category of sets''}}）'''Set''' (あるいは <math>\mathcal{Sets}</math> などとも書く) は、その[[対象 (圏論)|対象]]の成す[[類 (数学)|類]]が[[集合]]全体の成す類であるような[[圏 (数学)|圏]]である。ただし、対象の間の[[射 (圏論)|射]]の類は、集合 {{mvar|A, B}} に対して {{math|''f'': ''A'' → ''B''}} を任意の[[写像]]とするとき、{{math|(''f'', ''A'', ''B'')}} の形に書ける[[タプル|三つ組]]全体の成す集合によって与えられる。
* 対象の類: {{math|1=Ob('''Set''') {{coloneqq}} {{mset|集合}}}},
* 射の集合: {{math|1=Mor{{sub|'''Set'''}}(''A'', ''B'') = Hom(''A'', ''B'') {{coloneqq}} {{mset|(''f'', ''A'', ''B'') | ''f'': ''A'' → ''B'' は写像}} (''A'', ''B'' &isin; Ob('''Set'''))}},
* 射の合成: {{math|''f'', ''g'' &isin; Hom(''A'', ''B'')}} の合成 {{math|''g'' ∘ ''f''}} は[[写像の合成]]

他に多くの{{仮リンク|具体圏|en|concrete category}}と呼ばれる圏（例えば [[群の圏]]（対象は[[群 (数学)|群]]で、射は[[群準同型]]）など）は、集合の圏の対象に構造を加えたものを対象とし、射は特定の種類の写像に制限したものを考えることによって与えられる。

== 集合の圏の性質 ==
* 集合の圏 {{math|'''Set'''}} における[[エピ射]]（圏論的全射、全型射）は上への写像（[[全射|集合論的全射]]、全写像）であり、[[モノ射]]（圏論的単射、単型射）は一対一（[[単射|集合論的単射]]、単写像）である。また[[同型射]]は集合論的双射（[[全単射]]）で与えられる。
* 集合の圏 {{math|'''Set'''}} における[[始対象]]は[[空集合]]（に[[空写像]]をその唯一の射と考えたもの）で与えられ、[[終対象]]は任意の[[単集合]]（で、始域のすべての元をその唯一の元に写す写像を射としたもの）で与えられる。ゆえに集合の圏 '''Set''' において[[零対象]]は存在しない。 
* 集合の圏 {{math|'''Set'''}} は[[完備圏|完備かつ余完備]]である。'''Set''' における[[積 (圏論)|積]]（圏論的直積）は[[直積集合|集合のデカルト積]]（集合論的直積）で与えられ、[[余積]]（圏論的直和）は[[非交和]]（集合論的直和）で与えられる。
* 集合の圏 {{math|'''Set'''}} は{{仮リンク|具体圏|en|concrete category}}の原型であり、圏が'''具体的''' (concrete) であるとは適当な意味において {{math|'''Set'''}} 「のように」扱えることを意味している。
* 任意の二元集合が {{math|'''Set'''}} の{{仮リンク|部分対象分類子|label=分類子|en|subobject classifier}}となる。集合 {{mvar|A}} の（トポスの意味での）冪対象は {{mvar|A}} の[[冪集合]] {{math|𝒫(''A'')}} で与えられ、集合 {{mvar|A, B}} の[[指数対象]]は {{mvar|A}} から {{mvar|B}} への写像全体の成す集合（配置集合）{{mvar|B{{exp|A}}}} で与えられる。すなわち {{math|'''Set'''}} は[[トポス (数学)|トポス]]（特に[[デカルト閉圏|デカルト閉]]）である。
* 集合の圏 {{math|'''Set'''}} は[[アーベル圏|アーベル]]でも[[加法圏|加法的]]でも[[前加法圏|前加法的]]でもない。 右[[零射]]は空写像 {{math|∅ → ''X''}} で与えられる<ref>Section I.7 of {{harvnb|Pareigis|1970}}</ref>。
* {{math|'''Set'''}} の始対象でない任意の対象は[[入射対象|入射的]]かつ（[[選択公理]]を仮定すれば）[[射影対象|射影的]]である。

== 圏論の基礎付け ==
{{仮リンク|ツェルメロ&ndash;フレンケル集合論|en|Zermelo–Fraenkel set theory}} (ZF) において、集合全ての集まりは集合でない（これは[[基礎の公理]]から従う）。集合でない集まりのことを[[類 (数学)|真の類]]と呼ぶが、真の類は集合を扱うようには扱えず、特にそれら真の類は（集合あるいは真の類の何れの意味でも）集まりに属するものと書けない。これは問題である、というのもこのような設定の下では集合の圏を直接的に定式化することができないことを意味するからである。

そのような問題を解決する一つの方法は、正しく真の類を扱うことのできる体系（例えば{{仮リンク|ノイマン&ndash;ベルナイス&ndash;ゲーデル集合論|label=NBG集合論|en|NBG set theory}}）の中で議論することである。この設定において、集合から構成される圏は'''小さい'''といい、集合の圏 {{math|'''Set'''}} のように真の類を成すような圏は'''大きい'''と言う。 

別な解決法としては[[グロタンディエック宇宙]]の存在を仮定することが挙げられる。厳密さをさておけば、グロタンディエック宇宙とはそれ自身が ZF(C) のモデルとなるような集合をいう（例えば、ある集合が一つの宇宙に属するならば、その任意の元も同じ宇宙に属し、あるいはその冪集合もまた同じ宇宙に属する）。グロタンディエック宇宙の存在性は（空集合の存在および[[遺伝的有限集合]]全体の成す集合 {{mvar|V{{sub|&omega;}}}} の存在を除いて）通常の ZF の公理系からは導かれない。すなわちグロタンディエック宇宙の存在は追加の独立な公理であって、おおまかには[[強到達不能基数]]と同値である。この追加の公理を仮定するならば、集合の圏 {{math|'''Set'''}} の対象は特定の宇宙に属するものだけに制限して考えることができるようになる（注意すべきは、このモデル内に「集合全ての成す集合」は存在しないが、宇宙 {{mvar|U}} の元として「内部集合」を考えるならば、内部集合すべての成す類 {{mvar|U}} はきちんと意味を成すことである）。

同様の方法論の一種に、集合全ての類はグロタンディエック宇宙全体の成す塔 (entire tower) の合併に等しいとするものがある（この合併は真の類でなければならないが、各グロタンディエック宇宙は集合である。実際、それはより大きなグロタンディエック宇宙に属する元になっている）が、これは「集合全体の成す圏」を直接的には扱えない。それでも、議論に現れる各定理を、十分大きなグロタンディエック宇宙 {{mvar|U}} に属する元を対象とする圏 {{math|'''Set'''{{sub|''U''}}}} の言葉で表して、それらが特定の {{mvar|U}} の取り方に依存しないことを言えば十分である。[[圏論]]の基礎として、このやり方は真の類を直接に意味づけることのできない{{仮リンク|タルスキ&ndash;グロタンディエック集合論|en|Tarski–Grothendieck set theory}}のような体系とはよく馴染む。このような場合の主な欠点は、ある定理が {{math|'''Set'''{{sub|''U''}}}} では真だが {{math|'''Set'''}} の定理としては真でないことが起こり得ることである。

他の解決法やうえで述べた方法の変種も様々に提案されている<ref>Mac Lane 1969</ref><ref>Feferman 1969</ref><ref>Blass 1984</ref>。

同じ問題はほかの具体圏、例えば[[群の圏]]や[[位相空間の圏]]などでも生じる。

== 関連項目 ==
* [[集合論]]
* {{仮リンク|小さい集合|en|Small set (category theory)}}

== 注 ==
<references/>

== 参考文献 ==

*Blass, A. [http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/interact.pdf The interaction between category theory and set theory]. Contemporary Mathematics 30 (1984).
*Feferman, S. Set-theoretical foundations of category theory. Springer Lect. Notes Math. 106 (1969): 201–247.
*Lawvere, F.W. [http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/11/tr11.pdf An elementary theory of the category of sets (long version) with commentary]
*Mac Lane, S. One universe as a foundation for category theory. Springer Lect. Notes Math. 106 (1969): 192–200.
* {{cite book |authorlink=Mac Lane|first=Saunders |last=Mac Lane |title=Categories for the Working Mathematician |date=September 1998 |publisher=Springer |url=https://books.google.com/books?id=eBvhyc4z8HQC&printsec=frontcover&cad=0#v=onepage&q&f=false |isbn=0-387-98403-8}} (Volume 5 in the series [[Graduate Texts in Mathematics]])
*{{Citation
| last=Pareigis
| first=Bodo
| title=Categories and functors
| year=1970
| isbn=978-0-12-545150-5
| publisher=[[Academic Press]]
| series=Pure and applied mathematics
| volume=39
}}

== 外部リンク ==
* {{nlab|id=Set|title=The category of sets}}
* {{PlanetMath|urlname=CategoryOfSets|title=category of sets}}
* {{SpringerEOM|urlname=Sets,_category_of|title=Sets, category of}}

{{圏論}}

{{DEFAULTSORT:しゆうこうのけん}}
[[Category:圏 (数学)]]
[[Category:集合の基本概念]]
[[category:数学に関する記事]]