集合函数のソースを表示

[[数学]]における'''集合函数'''（しゅうごうかんすう、{{lang-en-short|''set-function''}}）は[[集合]]を変数（入力、引数）とする函数である。集合函数は出力としてふつうは[[数]]を返すが、しばしば出力として[[無限|無限大]]を許す（すなわち[[補完数直線]]に値をとる函数も考える）。入力は、普通は適当な集合の部分集合族の元となっているような集合であり、しばしば[[実数]]からなる集合、[[ユークリッド空間]]内の点集合、適当な[[測度空間]]内の点集合などから取られる。

これと対照的に、入力が点である（通常の意味の）函数を'''点函数'''とよぶ<ref>{{harv|伊藤|p=11}}</ref>。また、集合を値として出力する写像はしばしば[[集合値函数]]と呼ばれる（集合値函数と多価函数は同じような意味で用いられることがあるが、必ずしも同義語でない）。

集合函数は[[測度論]]の基礎を成すもので、[[測度]]および[[有限加法的測度]]は特定の性質を満足する集合函数として定められる。

== 定義 ==
空でない集合 {{mvar|X}} とその部分[[集合族]] {{math|''𝒞'' &sube; ''𝒫''(''X'')}} に対し、写像 
: <math>f\colon \mathcal{C}\to W</math>
を（{{mvar|W}}-値の）'''集合函数'''<ref>より厳密には {{mvar|X}} 上の {{mvar|''𝒞''}}-集合函数のように言う {{harv|伊藤|p=11}}</ref>と呼ぶ（{{math|&empty; &isin; ''𝒞''}} なるときはしばしば {{math|''f''(&empty;) {{=}} 0}} を仮定する）。ただし、終域 {{mvar|W}} はふつう非負[[補完数直線|アフィン拡張実数の全体]] {{math|1=''W'' = '''R'''{{msup|+}} &cup; {+∞} = [0,+∞]}} と取って非負拡張実数値集合函数を考え、これをしばしば単に集合函数と呼ぶ。他によく用いられるのは
* {{math|''W'' {{=}} '''R''' &cup; {&minus;∞} }}または {{math|''W'' {{=}} '''R''' &cup; {+∞} }}ととる（拡張）実数値集合函数（[[符号付測度]]を参照）、
* {{math|''W'' {{=}} '''C'''}} と取った複素数値集合函数（[[複素測度]]も参照）
などがある。

== 例 ==
集合函数の例には以下のようなものが挙げられる。ただし、「集合」は適当な集合族からとるものとする。
* 任意の集合にその[[濃度 (数学)|濃度]]（即ち、その集合の元の個数）を割り当てる函数は集合函数である。しばしば無限集合には濃度に関わらず（有限でないという意味の）形式的な無限大 (∞) を割り当てる。
* 十分に{{仮リンク|よく振る舞う|en|well-behaved|label=素性の良い}}部分集合 {{math|''A'' &sube; {1, 2, 3, …} }}に[[シュニレルマン密度|密度]]<div style="margin: 1ex 1em;"><math>
 d(A) = \lim_{n\to\infty} \frac{|A \cap \{1,\dots,n\}|}{n}
</math></div>を割り当てる函数は集合函数である。
* （一次元）[[ルベーグ測度]]は実数からなる集合に非負の実数（または {{math|+∞}}）を割り当てる集合函数になっている {{harv|Kolmogorov|Fomin|1975}}。
* [[確率測度]]は適当な[[完全加法族| {{mvar|σ}}-代数]]に属する各集合に確率を割り当てる集合函数である。より具体的に、[[空集合]]に対する確率は {{math|0}} であり、[[標本空間]]全体に対する確率は {{math|1}} であって、その他の集合には {{math|0}} から {{math|1}} の間の数が確率として割り当てられる。
* 確率論の代替（異種確率論）としての{{仮リンク|可能性論|en|possibility theory}} における可能性測度 (possibility measure) は与えられた集合の[[冪集合]]の各元に {{math|0}} から {{math|1}} の間の数を割り当てる集合函数である。
* [[平面]]上（あるいは[[球面]]上）の点集合に対してその[[測度]]としての[[面積]]を割り当てる集合函数が考えられる。この集合函数は非負かつ[[完全加法的集合函数| {{mvar|σ}}-加法的]]である。
* [[解析学]]において函数の[[グラフ (函数)|グラフ]]と {{mvar|x}}-軸との間の面積は[[積分]]を用いて定義できる。この場合、{{mvar|x}}-軸より下に来る面の測度は符号が負になる。この集合函数は {{mvar|σ}}-加法的であり、[[符号付測度]]になる。
* [[外測度]]は {{mvar|σ}}-加法的な非負値集合函数である。これは例えば平面上の任意の点集合に対して、それを含む任意の可測集合の面積の[[上限と下限|下限]]として得られる値を割り当てる。しかし大抵の場合、可測集合が適切に制限された測度を得るために別な方法で外測度を構成することになる（例えば[[ルベーグ測度]]の構成法）。

== 集合函数の分類 ==
集合函数 {{mvar|f}} に対して以下のような性質を考えることができる。以下、各集合は全体集合 {{mvar|Ω}} の適当な部分集合族 {{mvar|𝒞}} から取るものとする。

=== 基本的な性質 ===
; [[単調写像|単調性]]: <math>A \subseteq B \implies f(A) \leq f(B).</math>
; 有限性、有限値: <math>f(A)<\infty \quad(\forall A\in\mathcal{C}).</math>
; {{仮リンク|σ有限測度|label={{mvar|σ}}-有限性|en|σ-finite measure}}
: <math>\bigcup_{j\in\mathbb{N}} A_j = \Omega \land f(A_j)<\infty \quad(\forall j\in\mathbb{N}).</math>
; 有界性: <math>\sup_{A\in \mathcal{C}} |f(A)|<\infty</math>
; [[完備測度|完備性]]: <math>f(A)=0\land B\subseteq A \implies B\in\mathcal{C}.</math>

=== 合併および交叉との可換性 ===
; [[加法的集合函数|加法性]]: <math>f(A \cup B) = f(A)+f(B)\quad (\text{if }A\cap B=\emptyset \land A \cup B \in \mathcal{C}).</math>
; [[有限加法的集合函数|有限加法性]]
: <math>f(\bigcup_{j=1}^{m} A_j) = \sum_{j=1}^{m} f(A_j) \quad(\text{if }[i\ne j \implies A_i\cap A_j = \emptyset]\land \bigcup_{j=1}^m A_j \in\mathcal{C}).</math>
; [[完全加法的集合函数| {{mvar|σ}}-加法性]]
: <math>f(\bigcup_{j\in\mathbb{N}} A_j) = \sum_{j\in\mathbb{N}} f(A_j) \quad(\text{if }[i\ne j \implies A_i\cap A_j = \emptyset]\land \bigcup_{j\in\mathbb{N}} A_j \in \mathcal{C}).</math>
; [[劣加法的集合函数|劣加法性]]: <math>f(A \cup B) \leq f(A)+f(B)\quad (\text{if }A\cup B \in\mathcal{C})</math>
; 有限劣加法性
: <math>f(\bigcup_{j=1}^{m} A_j) \leq \sum_{j=1}^{m} f(A_j)\quad (\text{if }\bigcup_{j=1}^{m} A_j \in \mathcal{C}).</math>
; {{仮リンク|完全劣加法性|de|σ-Subadditivität|label={{mvar|σ}}-劣加法性}}
: <math>f(\bigcup_{j\in\mathbb{N}} A_j ) \leq \sum_{j\in\mathbb{N}} f(A_j)\quad(\text{if }\bigcup_{j\in\mathbb{N}} A_j \in \mathcal{C}).</math>
; 差法性: <math>f(A\setminus B) = f(A)-f(B)\quad(\text{if }A \setminus B \in \mathcal{C}).</math>
:* ただし {{math|&infin; &minus; &infin;}} の形を避けるためにしばしば {{math|''f''(''B'') < &infin;}}（有限値）と仮定する。
; [[劣モジュラ函数|モジュラ性]]: <math>f(A\cup B) +f(A\cap B) = f(A) + f(B)\quad(\text{if }A \cup B, A \cap B \in\mathcal{C})</math>

=== 連続性 ===
; 左連続性（下からの連続性）: 単調増大列 {{mvar|A{{msub|j}}}} に対して
:: <math>f(\bigcup_{i \in \mathbb{N}}A_i) = \sup_{i\in\mathbb{N}} f(A_i)\quad(\text{if }\bigcup_{j \in \mathbb{N}}A_j \in \mathcal{C}).</math>
; 右連続性（上からの連続性）: 単調減少列 {{mvar|A{{msub|j}}}} で {{math|''f''(''A''{{msub|1}}) < &infin;}} なるものに対して
::<math>f(\bigcap_{i \in \mathbb{N}}A_i) = \inf_{i\in\mathbb{N}} f(A_i)\quad (\text{if }\bigcap_{j \in \mathbb{N}}A_j \in \mathcal{C}).</math>
; 右空連続性（上からの [[空集合|{{mvar|&empty;}}]]-連続性）
: <math> \inf_{i\in\mathbb{N}} f(A_i)=0\quad (\text{if }f(A_1)<\infty \land \bigcap_{j \in \mathbb{N}}A_j =\emptyset).</math>

== 各性質の間の関係 ==
* 任意の {{mvar|σ}}-加法的集合函数は有限加法的であり、また任意の有限加法的集合函数は加法的である。
* 任意の有限値集合函数は {{mvar|σ}}-有限である。
* 任意の加法的集合函数は減法的である。
* 任意の有界集合函数は有限である。
* 集合族 {{mvar|𝒞}} が[[集合環|環]]のとき、任意の加法的集合函数は有限加法的であり、かつ任意の劣加法的集合函数は有限劣加法的である。

== 注 ==
{{reflist}}
== 参考文献 ==
* {{cite book|和書|author=伊藤清三|title=ルベーグ積分入門|publisher=裳華房}}
* Herbert Amann, [[Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]]: ''Analysis.'' Band 3. 2. Auflage, Birkhäuser, Basel u. a. 2008, ISBN 978-3-7643-8884-3.
* Klaus D. Schmidt: ''Maß und Wahrscheinlichkeit.'' Springer, Berlin u. a. 2009, ISBN 978-3-540-89729-3.
*  A.N. Kolmogorov and S.V. Fomin (1975), ''Introductory Real Analysis'', Dover. ISBN 0-486-61226-0

== 外部リンク ==
* {{SpringerEOM|title=Set function|last=Sobolev|first=V.I.|urlname=Set_function}}
* [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Regular_set_function Regular set function] at [http://www.encyclopediaofmath.org/ Encyclopedia of Mathematics]
* {{MathWorld | title= Set Function | urlname= SetFunction}}

{{DEFAULTSORT:しゆうこうかんすう}}
[[Category:写像]]
[[Category:集合の基本概念]]
[[Category:測度論]]
[[Category:数学に関する記事]]