離散信号のソースを表示

[[Image:Sampled.signal.svg|right|thumb|離散時間信号]]
{{読み仮名|'''離散信号'''|りさんしんごう|{{lang-en-short|discrete signal}}}}は[[時間]]が[[離散化|離散値]]をとる[[信号 (電気工学)|信号]]である<ref name=":1">"離散時間信号は ... 離散的な時間軸上で定義され ... 数列 ... で表される．" {{Harv|越田|2008|p=2}}</ref>。{{読み仮名|'''離散時間信号'''|りさんじかんしんごう|{{lang-en-short|discrete-time signal}}}}とも<ref name=":1" />。

== 概要 ==
離散信号は[[時間]]が[[離散化|離散値]]をとる[[信号 (電気工学)|信号]]であり<ref name=":1" />（⇒ [[#定義]]）、[[配列]]になぞらって <math>x[n]</math> でしばしば表記される<ref name=":2" />（⇒ [[#表記]]）。離散信号は[[周期的 (数学)|周期的]]な場合があり、これは周期的な[[連続信号]]とは異なる特有の振る舞いをする（⇒ [[#周期性]]）。離散信号は[[連続信号]]の[[標本化]]でも得られる<ref name=":3">"離散時間信号は，連続時間信号を標本化することによって得られる．" {{Harv|越田|2008|p=3}}</ref>（⇒ [[#連続信号との関係]]）。

== 定義 ==
{{読み仮名|'''離散信号'''|りさんしんごう|{{lang-en-short|discrete signal}}}}は[[時間]]が[[離散化|離散値]]をとる[[信号 (電気工学)|信号]]である<ref name=":1" />。{{読み仮名|'''離散時間信号'''|りさんじかんしんごう|{{lang-en-short|discrete-time signal}}}}とも<ref name=":1" />。

離散信号は[[標本化]]された[[連続時間信号]]とも理解できる<ref name=":3" />。系列の各値は'''標本値'''（sample、'''サンプル'''）と呼ばれる。

=== 関連語 ===
[[連続信号]]との関連は [[#連続信号との関係]] を参照。

==== デジタル信号 ====
[[Image:Digital.signal.svg|right|thumb|デジタル信号]]{{Main|デジタル信号}}
[[デジタル信号]]は離散信号と関連した異なる概念である。デジタル信号は[[時間]]と[[振幅]]が[[離散化|離散値]]をとる[[信号 (電気工学)|信号]]であり、離散信号（離散時間信号）の一種である<ref name=":0">"離散時間信号のうち ... 振幅が離散値である信号をディジタル信号という．" {{Harv|越田|2008|p=2}}</ref>。

== 表記 ==
離散時間信号であることを強調する場合、整数 <math>n</math> を用いて次のように表記される<ref name=":2">"離散時間信号の記述として，整数 n を用いた以下の表記がよく用いられる．... <math>x(nT)</math> ... <math>x_n</math>" {{Harv|越田|2008|p=2}}</ref>。

* <math>x(nT)</math> : [[連続信号|連続時間信号]] <math>x(t)</math> と同じ時間軸で周期 <math>T</math> ごとに値が定義（[[標本化]]）
* <math>x[n]</math> : [[配列]]ライク（nはインデックス = 整数 = 離散的）<ref>"離散時間信号を ... <math>f[-1], f[0], f[1]</math> ... てな風に書くことが多い" 以下より引用。鏡. (2016). ''[http://www.ic.is.tohoku.ac.jp/~swk/lecture/yaruodsp/dtsig.html#SECTION00610000000000000000 離散時間信号]''. やる夫で学ぶディジタル信号処理. 東北大学 大学院情報科学研究科.</ref>
* <math>x_n</math> : 系列ライク（nはインデックス = 整数 = 離散的）

== 周期性 ==
離散信号 <math>x[n]</math> は[[周期関数]]の定義を満たしうる、つまり[[周期的 (数学)|周期的]]たりうる。

=== 周期 ===
周期が定義可能な[[周期的 (数学)|周期的]]離散信号では<ref group="注">[[周期的 (数学)|周期的]]だが周期を定義不能な（[[連続信号]]での）例: [[定数関数]]</ref>、'''周期''' <math>S \in \mathbb{Z^+}</math> <math>[sample]
</math> が見出だせる。

離散信号はその定義から隣り合うサンプル間に値が存在しない。そのため周期は正の整数値のみを取る。この値を用いて離散信号の周期性は <math>x[n] = x[n+S] \quad \forall n \in \mathbb{N}</math> として表現できる。

=== 正規化角周波数 ===
'''正規化角周波数'''は[[周期的 (数学)|周期的]]な離散信号における1サンプルあたりの[[位相]]変化量である。

正規化角周波数 <math>\omega</math> の単位は <math>[rad/sample]</math> であり、定義域は <math>-\pi \leq \omega \leq \pi</math>（あるいは <math>0 \leq \omega \leq 2\pi</math>）である<ref group="注">[[離散信号#周期|周期]] <math>S</math> の定義により[[位相]]が <math>2\pi</math> 進展するのに必要なサンプル数は <math>S</math> である。これは <math>\omega [rad/sample] * S [sample] = 2\pi [rad]</math> を意味するため、<math>\omega = 2\pi / S

</math> が成立する。この等式と <math>S \in \mathbb{Z^+}</math> つまり <math>1 \leq S \leq +\infty</math> より、<math>\omega

</math> の定義域が <math>0 \leq \omega \leq 2\pi</math>（あるいは <math>-\pi \leq \omega \leq \pi</math>）となることがわかる。</ref>。

また標本化周期 <math>T_s</math> および（非正規化）[[角周波数]] <math>\Omega</math> との間に

: <math>\Omega \ [rad/s] * T_s \ [s/sample] = \omega \ [rad/sample]</math>

の関係が成立する。

== 連続信号との関係 ==
連続信号は離散信号と対になる概念である。連続信号は[[時間]]が[[連続 (数学)|連続値]]をとる[[信号 (電気工学)|信号]]であり、離散信号の対義語にあたる。

=== 連続信号から離散信号への変換 ===
{{Main|標本化|アナログ-デジタル変換}}
離散信号 <math>x[n]</math> は[[連続信号]] <math>x(t)</math> の[[標本化]]でも得られる<ref name=":3" />。すなわち標本化周期 <math>T_s</math> を用いて <math>x[n] = x(nT)</math> とすることで飛び飛びの値を取得し離散信号にできる。また離散信号の一種である[[デジタル信号]]は、[[アナログ-デジタル変換]]（標本化+[[量子化 (情報科学)|量子化]]）により連続信号の一種である[[アナログ信号]]から得られる。

=== 周期的な連続信号と周期的な離散信号の違い ===
連続時間における周期信号が離散時間でも周期性をもつとは限らない。

例えば連続信号 <math>x(t) = cos(2 / T_s * t)</math> を標本化した離散信号 <math>x(nT_s) = cos2n</math> を考える。<math>x(nT_s) = 1</math> となる <math>n</math> は整数かつ <math>n = \pi k \ (k \in \mathbb{Z})</math> を満たす必要があるが、これは <math>n = 0</math> しか存在しない。ゆえに <math>x(0) = x(0+S)</math> を満たす <math>S</math> が存在しない、つまり <math>x(t) = cos(2 / T_s * t)</math> は連続時間で周期性を持っていても標本化された離散時間では周期性を持たない。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}

=== 注釈 ===
{{Notelist2}}

=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 参考文献 ==

* {{Citation|和書|title=知識の森|last=越田|first=俊介|year=2008|url=https://www.ieice-hbkb.org/files/ad_base/view_pdf.html?p=/files/01/01gun_09hen_01m.pdf|publisher=電子情報通信学会|pages=1-10|chapter=1群-9編-1章 ディジタル信号処理の基礎理論}}

== 関連項目 ==
* [[アナログ-デジタル変換回路]] - [[デジタル-アナログ変換回路]]
* [[標本化]] - [[標本化定理]]（ナイキスト・シャノンの定理）
** [[折り返し雑音]] - [[アンチエイリアシングフィルタ]]
* [[ホイタッカー・シャノンの補間公式]]
* [[信号 (電気工学)|信号]]
** [[連続信号]]（[[連続時間信号]]）/ [[離散信号]]（[[離散時間信号]]）
** [[アナログ信号]] / [[デジタル信号]]
* [[時間周波数解析]]
** [[離散時間フーリエ変換]]
** [[離散フーリエ変換]]

{{デジタル信号処理}}

[[Category:信号処理|りさんしんこう]]