離散化のソースを表示

[[ファイル:Finite_element_solution.svg|右|サムネイル|A solution to a discretized partial differential equation, obtained with the [[有限要素法|finite element method]].]]
[[数学]]において、'''離散化 '''(discretization) とは[[連続写像|連続]]関数、モデル、変数、方程式を離散的な対応する物へ移す過程のこと。この過程は普通、それらをデジタルコンピュータ上での数値評価および実装に適したものにするために最初に行われるステップである。'''二分化''' (dichotomization) は離散クラスの数が2である離散化の特別な場合であり、これにより連続変数を2値変数として近似することができる（[[二項分類|2項分類]]のように[[コンセプトモデル|モデリング]]の目的で2分法を作成する）。

離散化は[[離散数学]]にも関係しており、{{仮リンク|グラニュラーコンピューティング|en|granular computing}}の重要な成分である。この文脈において、離散化は、複数の離散変数が集約されるもしくは複数の離散圏が融合する場合のときのように、変数もしくは圏のグラニュラリティの変更をさすこともある。

連続的なデータが離散化されるときは常にある程度の[[離散化誤差]]がある。目標は手元のモデル化の目的では無視できると考えられるレベルまでその量を減らすことである。

離散化と量子化 (quantization) という用語はしばしば同じ意味を持つが、必ずしも同じ意味というわけではない（具体的には2つの用語は[[意味領域]]を共有している）。[[離散化誤差]]と量子化誤差についても同様である。

離散化に関する数学的方法には{{仮リンク|オイラー・丸山法|en|Euler–Maruyama method}}と{{仮リンク|ゼロ次ホールド|en|zero-order hold}}がある。

== 線形状態空間モデルの離散化{{Anchors|discrete function}} ==
離散化は連続[[微分方程式]]を[[数値解析]]に適した離散[[漸化式|差分方程式]]に変換することにも関係する。

次に連続時間[[状態空間 (制御理論)|状態空間モデル]]を示す。

: <math>\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf A \mathbf{x}(t) + \mathbf B \mathbf{u}(t) + \mathbf{w}(t)</math>
: <math>\mathbf{y}(t) = \mathbf C \mathbf{x}(t) + \mathbf D \mathbf{u}(t) + \mathbf{v}(t)</math>

ここで ''v'' と ''w'' はパワー[[スペクトル密度]]を有する連続ゼロ平均[[ホワイトノイズ]]源である。

: <math>\mathbf{w}(t) \sim N(0,\mathbf Q)</math>
: <math>\mathbf{v}(t) \sim N(0,\mathbf R)</math>

入力 ''u'' に対するゼロ次ホールドとノイズ ''v に対する連続積分を仮定することで離散化することができる。''

: <math>\mathbf{x}[k+1] = \mathbf A_d \mathbf{x}[k] + \mathbf B_d \mathbf{u}[k] + \mathbf{w}[k]</math>
: <math>\mathbf{y}[k] = \mathbf C_d \mathbf{x}[k] + \mathbf D_d \mathbf{u}[k] +  \mathbf{v}[k]</math>

共分散は以下となる。

: <math>\mathbf{w}[k] \sim N(0,\mathbf Q_d)</math>
: <math>\mathbf{v}[k] \sim N(0,\mathbf R_d)</math>

ここで

: <math>\mathbf A_d = e^{\mathbf A T} = \mathcal{L}^{-1}\{(s\mathbf I - \mathbf A)^{-1}\}_{t=T} </math>
: <math>\mathbf B_d = \left( \int_{\tau=0}^{T}e^{\mathbf A \tau}d\tau \right) \mathbf B = \mathbf A^{-1}(\mathbf A_d - I)\mathbf B </math>（もし <math>\mathbf A</math> が[[正則行列]]であれば）
: <math>\mathbf C_d = \mathbf C </math>
: <math>\mathbf D_d = \mathbf D </math>
: <math>\mathbf Q_d = \int_{\tau=0}^{T} e^{\mathbf A \tau} \mathbf Q e^{\mathbf A^\top \tau}  d\tau </math>
: <math>\mathbf R_d = \frac{1}{T} \mathbf R </math>

である。<math>T</math> はサンプル時間、<math>\mathbf A^\top</math> は<math>\mathbf A</math>行列である。

1つのステップで ''A''<sub>''d''</sub> と ''B''<sub>''d''</sub> を計算するための巧妙な手段は次の特性を使うことである<ref>Raymond DeCarlo: ''Linear Systems: A State Variable Approach with Numerical Implementation'', Prentice Hall, NJ, 1989</ref>{{Rp|p. 215}}

: <math>e^{\begin{bmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{B} \\
                 \mathbf{0} & \mathbf{0} \end{bmatrix} T} = \begin{bmatrix} \mathbf{M_{11}} & \mathbf{M_{12}} \\
                                                            \mathbf{0} & \mathbf{I} \end{bmatrix}</math>

ここで

: <math>\mathbf A_d = \mathbf M_{11}</math>
: <math>\mathbf B_d = \mathbf M_{12}</math>

=== 駆動雑音の離散化 ===
<math>\mathbf{Q}_d</math> の数値評価は行列の指数積分を用いるためやや扱いにくい。しかし、はじめに行列を構築し、その指数関数を計算することにより処理することができる<ref>Charles Van Loan: ''Computing integrals involving the matrix exponential'', IEEE Transactions on Automatic Control. 23 (3): 395–404, 1978</ref>。

: <math> \mathbf{F} = 
\begin{bmatrix} -\mathbf{A} & \mathbf{Q} \\
                 \mathbf{0} & \mathbf{A}^\top \end{bmatrix} T</math>
: <math> \mathbf{G} = e^\mathbf{F} =
\begin{bmatrix} \dots & \mathbf{A}_d^{-1}\mathbf{Q}_d \\
           \mathbf{0} & \mathbf{A}_d^\top             \end{bmatrix}.</math>

離散化された駆動雑音は '''G''' の右下の区画の転置行列を '''G''' の右上の区画にかけあわせることで得られる。

: <math>\mathbf{Q}_d = (\mathbf{A}_d^\top)^\top (\mathbf{A}_d^{-1}\mathbf{Q}_d) = \mathbf{A}_d (\mathbf{A}_d^{-1}\mathbf{Q}_d). </math>

=== 導出 ===
連続モデルから始める

: <math>\mathbf{\dot{x}}(t) = \mathbf A\mathbf x(t) + \mathbf B \mathbf u(t)</math>

[[行列指数関数]]は以下のようであり

: <math>\frac{d}{dt}e^{\mathbf At} = \mathbf A e^{\mathbf At} = e^{\mathbf At} \mathbf A</math>

モデルを左から掛けることで以下の式を得る。

: <math>e^{-\mathbf At} \mathbf{\dot{x}}(t) = e^{-\mathbf At} \mathbf A\mathbf x(t) + e^{-\mathbf At} \mathbf B\mathbf u(t)</math>

ここで

: <math>\frac{d}{dt}(e^{-\mathbf At}\mathbf x(t)) = e^{-\mathbf At} \mathbf B\mathbf u(t)</math>

であり、積分することで

: <math>e^{-\mathbf At}\mathbf x(t) - e^0\mathbf x(0) = \int_0^t e^{-\mathbf A\tau}\mathbf B\mathbf u(\tau) d\tau</math>
: <math>\mathbf x(t) = e^{\mathbf At}\mathbf x(0) + \int_0^t e^{\mathbf A(t-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau</math>

となる。これが連続モデルに対する解析的解法である。

ここで、上の式を離散する。各時間ステップの定数 u は一定とする。

: <math>\mathbf x[k] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \mathbf x(kT)</math>
: <math>\mathbf x[k] = e^{\mathbf AkT}\mathbf x(0) + \int_0^{kT} e^{\mathbf A(kT-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau</math>
: <math>\mathbf x[k+1] = e^{\mathbf A(k+1)T}\mathbf x(0) + \int_0^{(k+1)T} e^{\mathbf A((k+1)T-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau</math>
: <math>\mathbf x[k+1] = e^{\mathbf AT} \left[  e^{\mathbf AkT}\mathbf x(0) + \int_0^{kT} e^{\mathbf A(kT-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau \right]+ \int_{kT}^{(k+1)T} e^{\mathbf A(kT+T-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau</math>

これが<math>\mathbf x[k]</math>のカッコで囲まれた表現であり、第2項は関数 <math>v(\tau) = kT + T - \tau</math>で置き換えることで簡略にすることができる。 <math>d\tau=-dv</math>である。また、[[積分]]中、 <math>\mathbf u</math> が定数であるとすると次のようになる。

: <math> \begin{matrix} \mathbf x[k+1]&=& e^{\mathbf AT}\mathbf x[k] - \left( \int_{v(kT)}^{v((k+1)T)} e^{\mathbf Av} dv \right) \mathbf B\mathbf u[k] \\
&=& e^{\mathbf AT}\mathbf x[k] - \left( \int_T^0 e^{\mathbf Av} dv \right) \mathbf B\mathbf u[k] \\
&=& e^{\mathbf AT}\mathbf x[k] + \left( \int_0^T e^{\mathbf Av} dv \right) \mathbf B\mathbf u[k] \\
&=&e^{\mathbf AT}\mathbf x[k] + \mathbf A^{-1}\left(e^{\mathbf AT}-\mathbf I \right) \mathbf B\mathbf u[k] \end{matrix}</math>

これが離散化問題の厳密解である。

=== 近似 ===
厳密な離散化には重い行列の指数関数や積分操作が含まれているため、処理が難しいことがある。小さな時間ステップに基づき、 <math>e^{\mathbf AT} \approx \mathbf I + \mathbf A T</math>と近似した離散モデルで計算するほうがはるかに簡単である。近似解は以下のようになる。

: <math>\mathbf x[k+1] \approx (\mathbf I + \mathbf AT) \mathbf x[k] + T\mathbf B \mathbf u[k] </math>

他の可能な近似としては<math>e^{\mathbf AT} \approx \left( \mathbf I - \mathbf A T \right)^{-1}</math> や <math>e^{\mathbf AT} \approx \left( \mathbf I +\frac{1}{2}  \mathbf A T \right) \left( \mathbf I - \frac{1}{2} \mathbf A T \right)^{-1}</math>がある。各々異なる安定特性を持っており、最後の近似は[[双一次変換]]やTustin変換と呼ばれ、連続時間系の安定性を持っている。

== 連続特徴の離散化 ==
[[統計学|統計]]や機械学習において、'''離散化'''は連続特徴や変数を離散や名目特徴に変換する過程をさす。これは確率質量関数を作成する際に便利である。

== 関連項目 ==

* [[離散空間]]
* {{仮リンク|時間スケール微積分学|en|Time-scale calculus}}
* {{仮リンク|離散事象シミュレーション|en|Discrete event simulation}}
* {{仮リンク|確率シミュレーション|en|Stochastic simulation}}
* {{仮リンク|非定常流有限体積法|en|Finite volume method for unsteady flow}}
* {{仮リンク|離散時間と連続時間|en|Discrete time and continuous time}}

== 脚注 ==
<references />

== 参考文献 ==

* {{Cite book|last=Robert Grover Brown & Patrick Y. C. Hwang|author=Robert Grover Brown & Patrick Y. C. Hwang|title=Introduction to random signals and applied Kalman filtering|edition=3rd|isbn=978-0471128397}}
* {{Cite book|last=Chi-Tsong Chen|author=Chi-Tsong Chen|title=Linear System Theory and Design|year=1984|publisher=Saunders College Publishing|isbn=0030716918|location=Philadelphia, PA, USA}}
* {{Cite journal|last=C. Van Loan|author=C. Van Loan|date=Jun 1978|title=Computing integrals involving the matrix exponential|journal=IEEE Transactions on Automatic Control|volume=23|issue=3|pages=395–404|doi=10.1109/TAC.1978.1101743}}
* {{Cite book|last=R.H. Middleton & G.C. Goodwin|author=R.H. Middleton & G.C. Goodwin|title=Digital control and estimation: a unified approach|year=1990|isbn=0132116650|page=33f}}
== 関連図書 ==
* José E. Castillo and Guillermo F. Miranda: ''Mimetic Discretization Methods'', CRC Press, ISBN 978-1-4665-1343-3 (2013).

== 外部リンク ==

{{Normdaten}}
{{デフォルトソート:りさんか}}
[[Category:反復法]]
[[Category:応用数学]]
[[Category:制御理論]]
[[Category:関数解析学]]
[[Category:数値解析]]