離散確率分布のソースを表示

[[画像:Discrete probability distrib.svg|thumb|{{math|0}} でない確率をとる確率変数値が有限個の場合は、黒丸に縦棒で表す。]]
[[画像:Discrete probability distribution illustration.png|thumb|[[累積分布関数]]の例。上から順に、離散確率分布、連続確率分布、連続点と離散点があるとき。]]
'''離散確率分布'''（りさんかくりつぶんぷ、{{lang-en-short|discrete probability distribution}}）や'''離散型確率分布'''（りさんがたかくりつぶんぷ）は、[[確率論]]や[[統計学]]において、{{math|0}} でない確率をとる[[確率変数]]値が[[高々 (数学)|高々]][[可算集合|可算]]個である[[確率分布]]のことである。

[[累積分布関数]]値が高々可算個であることと[[同値]]である。

離散確率分布は[[確率質量関数]]に対応する。

== 定義 ==
[[確率論]]において[[確率分布]]が'''離散'''であるとは、{{math|0}} でない確率をとる[[確率変数]]値が[[高々 (数学)|高々]][[可算集合|可算]]個であること、つまり
:<math>\# \{ u \in \mathbb{R} \mid \operatorname{P}(X=u) \neq 0 \} \leq \aleph_0</math>
であることである（{{math|ℵ{{sub|0}}}} は[[濃度 (数学)#可算集合|可算濃度]]）。

確率変数が'''離散型'''の場合はこれを満たす。

離散確率分布は[[確率質量関数]]で表される。

離散確率分布の[[累積分布関数]]は[[階段関数]]（右連続）になる。

[[位相幾何学]]的には、<math>\mathbb{R}</math> で、確率が {{math|0}} でない確率変数値は全ての点は[[孤立点]]であり、それら全てからなる集合は離散集合である。しかし、この可算集合が実数直線上で[[稠密集合|稠密]]であるような離散確率変数も存在する。

統計学的モデリングでよく知られた離散確率分布としては、[[ポアソン分布]]、[[ベルヌーイ分布]]、[[二項分布]]、[[幾何分布]]、[[負の二項分布]]などがある。さらに[[離散一様分布]]は、コンピュータプログラムで無作為な選択を行う際によく使われる。

== 代替の説明 ==
上記と等価的に、離散型確率変数をその[[累積分布関数]]が[[不連続性の分類|ジャンプ不連続]]によってのみ増加するような確率変数と定義することもできる。すなわち、そのCDFは不連続な点でのみ増加し、不連続点と不連続点の間は一定である。このジャンプ不連続が起きる点はまさに、その確率変数がとりうる値に対応している。ジャンプ不連続点の数は有限または[[可算集合|可算無限]]である。そのようなジャンプの位置は位相幾何学的に離散とは限らない。例えば、CDFが全ての[[有理数]]の位置でジャンプすることも考えられる。

以上から、離散確率分布は[[ディラックのデルタ関数]]を使って[[確率密度関数]]を一般化したものとして表現することが多く、それによって連続分布と離散分布を統一的に扱うことができる。これは、連続部分と離散部分がある確率分布を扱う際に特に便利である。

== 確率変数の指示関数による表現 ==
確率が {{math|0}} でない確率変数値を {{math2|''u''{{sub|0}}, ''u''{{sub|1}}, …}} とし、確率変数値に対応する事象を次のように表現する：
:<math>\Omega_i = X^{-1} ( \{ u_i \} ) = \{ \omega \in \Omega ; X (\omega ) = u_i \},\, i=0,1,2, \cdots</math>
{{math|{Ω{{sub|''i''}}{{)}}{{sub|''i''}}}} は {{math|Ω}} の[[集合の分割|分割]]であるから、確率変数 {{mvar|X}} は次の式で表せる：
:<math>X=\sum_i \alpha_i 1_{\Omega_i}</math>
ここで <math>\alpha_i = \operatorname{P}(X=u_i )</math> であり、{{math|1{{sub|''A''}}}} は {{mvar|A}} の[[指示関数]]である。これを離散型確率変数の別の定義として使うこともできる。

== 関連項目 ==
* [[連続確率分布]]

{{確率分布の一覧|state=uncollapsed}}
{{確率論}}

{{DEFAULTSORT:りさんかくりつふんふ}}
[[Category:確率論]]
[[Category:確率分布]]
[[Category:数学に関する記事]]

[[en:Probability distribution#Discrete probability distribution]]