零写像のソースを表示

[[File:Zero function qtl1.svg|thumb|right|実零函数は至る所値が零]]
[[数学]]における'''零写像'''（れいしゃぞう、ゼロしゃぞう、{{lang-en-short|''zero mapping''}}）は、[[零元]]を持つ適当な[[代数系]]{{efn|もっとも一般の場合（演算の型が空の場合）として、[[点付き集合]]が考えられる。そのとき零元としては基点を考えればよい。<ref>{{nlab|id=zero+function|title=zero function}}</ref>}}への[[写像]]であって、その[[定義域]]の全ての元を[[終域]]の零元へ写すものを言う。殊に、[[解析学]]における'''零函数''' (''zero function'') は、変数の値によらず函数値が常に[[0|零]]となるような[[函数]]を言う。また、[[線型代数学]]におけるベクトル空間の間の'''零（線型）写像''' (''zero map'') または'''零（線型）作用素''' (''zero operator'') は、全てのベクトルを[[零ベクトル]]に写す。

零写像は多くの性質を満足し、数学において例や反例としてしばしば用いられる。零写像は斉次[[線型微分方程式]]や[[積分方程式]]などの数学の一連の問題において、[[自明 (数学)|自明]]な{{仮リンク|解 (数学)|de|Lösung (Mathematik)|label=解|redirect=1}}になる。

== 実零函数 ==
=== 定義 ===
[[実解析]]における'''実零函数'''は、[[実函数]] {{math|''φ'': '''R''' → '''R'''}} であって、すべての引数に {{math|0}} を割り当てるもの、すなわち <math display="block">\varphi(x) = 0\quad(\forall x\in \mathbb{R})</math> を満足するものを言う。[[恒等式]]の記法を用いれば、零函数であることを「{{math|''φ'' &equiv; 0}}」とも書ける。

零函数の[[函数のグラフ|グラフ]]は [[直交座標系|{{mvar|x}}-軸]]全体に一致する。場合によっては零函数の[[定義域]]を[[部分集合]] {{math|Ω ⊂ '''R'''}} に[[制限 (数学)|制限]]することもある。

=== 性質 ===
==== 分類 ====
零函数は以下のような函数のクラスの特別の場合になっている:
* [[定数函数]] {{math|1=''f''(''x'') = ''c''}} の、定数 {{math|1=''c'' = 0}} となる特別の場合。
* [[一次函数]] {{math|1=''f''(''x'') = ''mx'' + ''b''}} の、[[傾き (数学)|傾き]] {{math|1=''m'' = 0}} かつ[[切片 (数学)|截片]] {{math|1=''b'' = 0}} となる特別の場合。 
* [[多項式函数]] {{math|1=''f''(''x'') = ''a{{sub|n}}x{{sup|n}}'' + ⋯ + ''a''{{sub|1}}''x'' + ''a''{{sub|0}}}} の全ての係数が {{math|1=''a{{sub|i}}'' = 0}}（すなわち[[零多項式]]）である場合。零多項式の[[多項式の次数|次数]]はふつう、{{math|0}} ではなく {{math|&minus;∞}} と定義される。

==== 対称性 ====
* 零函数は[[偶函数と奇函数|偶かつ奇函数]]、すなわち <math display="inline">\phi(x) = \phi(-x) = -\phi(x)</math> が成り立つ。
* 零函数は[[正の数|正値]]函数でも[[負の数|負値]]函数でもない{{efn|ここに「正値函数」は、単にそれぞれ'''真に'''正の値を常にとる函数 (''strictly'' positive-valued function) の意味で用いる（負値も同様）。「正定値函数」や「正の定符号函数」ともいうが、二次形式や行列論に関連してやや{{ill2|label=異なる意味|定符号函数|en|positive-definite function}}で用いられることも多いので注意すべきである。}}。が、非正値かつ非負値（すなわち <math display="inline">\phi(x) \leq 0 \wedge \phi(x) \geq 0</math>）である。
* 零函数の[[零点]]全体の成す集合は定義域全体に一致し、{{ill2|非零点集合|de|Nichtnullstellenmenge}}（集合論の意味での[[関数の台|台]]）は[[空集合]]である。零函数の最大値および最小値はともに零: <math display="block">\max_{x \in \R} \phi(x) = \min_{x \in \R} \phi(x) = 0</math> である。
* 零函数は、すべての[[定数函数]]がそうであるように、[[単調函数|広義単調増大かつ広義単調減少]]（狭義ではダメ）である。
* 零函数は、すべての[[一次函数]]がそうであるように、[[凸函数|凸かつ凹]]である。

==== 微分 ====
零函数は[[滑らかな函数]]、すなわち何回でも[[連続的微分可能]]であり、その各階の[[導函数]]は零函数で与えられる。すなわち <math display="block">\varphi^{(n)}(x) = \varphi(x) \equiv 0\quad (\forall n\in\mathbb{N})</math> が成り立つ。[[指数函数]]を除けば、このような性質を持つ函数は零函数に限る。

零函数自体は、定数函数の導函数として、あるいは一般に {{mvar|n}}-次多項式函数の {{math|(''n'' + 1)}}-階導函数として得ることができる。

==== 積分 ====
零函数の[[定積分]]は、積分の限界の取り方に依らず常に零である。すなわち <math display="block">\int_a^b \phi(x)\,dx = 0\quad (\forall a, b \in\bar{\mathbb{R}} = \mathbb{R}\cup\{-\infty,\infty\})</math> が成り立つ。

したがって、零函数は[[実数直線]]全体で可積分な唯一の[[多項式函数]]である。零函数の[[原始函数]]は、不定積分の[[積分定数]]は任意にとれるから、零函数自身も含めた任意の定数函数によって与えられる。

==== 方程式の解 ====
零函数は[[コーシーの函数方程式#関連する方程式|コーシーの四つの函数方程式]]: <math display="block">\begin{align} 
f(x + y) & = f(x) + f(y) \\
f(x + y) & = f(x) \cdot f(y) \\
f(x \cdot y) & = f(x) + f(y) \\
f(x \cdot y) & = f(x) \cdot f(y)
\end{align}</math>
の自明な解である。<ref>{{citation2|surname1=Barner, Flohr|title=Analysis I|at=p.&nbsp;247|language=de
}}</ref>

さらに、零函数は <math display="block">a_n(x) f^{(n)}(x) + a_{n-1}(x) f^{(n-1)} + \dotsb + a_1(x) f'(x) + a_0(x) f(x) = 0</math> なる形の斉次[[線型微分方程式]]の自明な解であり、また <math display="block">\lambda f(x) + \int_a^x K(x,y) f(y)\,dy = 0</math>（{{math|''K''(''x'', ''y'')}} は[[積分核]]、{{mvar|λ}} は前因子）なる形の[[積分方程式]]の自明な解である。逆に非斉次の線型微分または積分方程式が零函数を解に持つことはない。

== 零線型写像 ==
=== 定義 ===
[[線型代数学]]において、同じ[[可換体|体]] {{mvar|K}} 上の二つの[[ベクトル空間]] {{mvar|V, W}} の間の写像 {{math|''φ'': ''V'' → ''W''}} が'''零写像'''または'''零作用素'''であるとは、{{mvar|V}} の全てのベクトルを {{mvar|W}} の唯一の[[零ベクトル]] {{math|0{{sub|W}}}} へ写す写像 <math display="block">\phi(v) = 0_W\quad(\forall v\in V)</math> を言う。

零写像も {{math|0}} で表すことがある（文脈から数値の {{math|0}} か零写像の {{math|0}} かが文脈から明らかである場合に限る）。零写像も定義域を部分集合 {{math|''U'' ⊂ ''V''}} に制限することができる。

=== 例 ===
* 上で述べた実零函数、あるいはより一般に[[実数|実]]または[[複素数|複素]]一変数または多変数の函数で、その値が常に零または零ベクトルであるようなものはすべて本節の意味での零写像の例である。
* 任意のベクトル空間 {{mvar|V}} から[[零ベクトル空間]] {{math|{{mset|0}}}} への任意の写像、および零ベクトル空間から任意のベクトル空間 {{mvar|W}} への[[線型写像]]は必ず零写像である<ref>{{citation2|surname1=Bosch|title=Lineare Algebra|at=p.&nbsp;78|language=de
}}</ref>。
* 任意の[[正方行列]]をその[[固有多項式]]に[[汎函数計算|代入]]してえられる行列が定める線型写像が零写像となることは[[ケイリー-ハミルトンの定理]]による<ref>{{citation2|surname1=Bosch|title=Lineare Algebra|at=p.&nbsp;204|language=de
}}</ref>。
* [[正則行列|非正則]]な正方行列全体の成す部分集合上で、{{ill2|行列式函数|de|Determinantenfunktion}}は零写像である<ref>{{citation2|surname1=Bosch|title=Lineare Algebra|at=p.&nbsp;141|language=de
}}</ref>。

=== 性質 ===
==== 線型性 ====
零写像は[[線型写像]]である。すなわち、ベクトル空間の間の準同型として <math display="block">\phi(av + bw) = a\phi(v) + b\phi(w)\quad (\forall v,w\in V,\,a,b\in K)</math> を満足する。したがって零写像は、線型写像全体の成すベクトル空間 {{math|''L''(''V'', ''W'')}} に属し、そのベクトル空間の零ベクトルとなる。

有限次元ベクトル空間の間の零写像は、それぞれの空間の基底をどのように選んでも、サイズ {{math|dim ''V'' × dim ''W''}} の[[零行列]]で表現される<ref>{{citation2|surname1=Bosch|title=Lineare Algebra|at=p.&nbsp;93|language=de
}}</ref>。零写像の[[核 (代数学)|核]]は {{mvar|V}} 全体で、[[像 (数学)|像]] は {{math|{{mset|0{{sub|''W''}}}}}} であり、したがって[[行列の階数|階数]]は常に {{math|0}} である。{{math|1=''V'' = ''W''}} のとき、[[固有値]]はすべて {{math|0}} であり、固有空間は {{mvar|V}} となる。

==== 作用素ノルム ====
{{mvar|V, W}} が[[ノルム空間]]で、それぞれの[[ノルム]]を {{math|{{norm|&bull;}}{{sub|''V''}}, {{norm|&bull;}}{{sub|''W''}}}} とすれば、零写像の[[作用素ノルム]]は <math display="block">\| \phi \| = \sup_{\| v \|_V = 1} \| \phi(v) \|_W = \| 0_W \|_W = 0</math> となる。{{math|1=''W'' = '''R'''}} に対して零写像自身が[[半ノルム]]を成す。

==== 方程式の解 ====
一般に零写像は、未知函数 {{mvar|u}} に関する任意の斉次[[線型作用素]]方程式 <math display="block">\mathcal Lu = 0\quad(\mathcal L\in L(V,W))</math> を満足する。ただし、右辺の {{math|0}} は零写像の意味である。逆に、右辺を零写像以外に取り換えて得られる任意の非斉次線型作用素方程式において零写像は解にならない。

== 零準同型 ==
=== 定義 ===
{{mvar|X}} を[[集合]]、{{mvar|Y}} を単位的[[マグマ (代数学)|マグマ]]（つまり、[[二項演算|結合]] {{math|∗}} とそれに関する[[単位元]] {{math|0}} を持つ集合）とすれば、写像 {{math|''φ'': ''X'' → ''Y''}} が零写像であるとは、<math display="block">\varphi(x) = 0\quad (\forall x\in X)</math> を満たすときに言う。そのような代数系 {{math|(''Y'', ∗)}} として[[モノイド]]、[[群 (数学)|群]]、[[環 (数学)|環]]、[[環上の加群|加群]]やうえで述べた[[ベクトル空間]]などが重要な例として挙げることができる。

=== 例 ===
* [[ブール環]]または[[ブール代数]]に値をとる、[[矛盾]]に対応する[[ブール函数]]。
* [[有限体|{{mvar|q}}-元体]]上の[[多項式環]]における[[多項式函数]] {{math|''x'' {{mapsto}} ''x{{exp|q}}'' &minus; ''x''}}. <ref>{{citation2|surname1=Karpfinger, Meyberg|title=Algebra: Gruppen – Ringe – Körper|at=p.&nbsp;158|language=de
}}</ref>
* 環に値をとる[[冪零]]写像の [[反復合成写像|{{mvar|k}}-回合成冪]]、ただし {{mvar|k}} が像の冪零度以上であるとき。<ref>{{citation2|surname1=Karpfinger, Meyberg|title=Algebra: Gruppen – Ringe – Körper|at=p.&nbsp;181|language=de
}}</ref>
* 任意の集合 {{mvar|A}} が[[零集合]] {{math|1=''μ''(''A'') = 0}} となるような[[測度]] {{mvar|μ}}.

=== 性質 ===
* {{mvar|X}} がマグマで {{mvar|Y}} が単位的マグマのとき、零写像は[[マグマ準同型]]である。
* {{mvar|X, Y}} が二つの[[単位的環]]のとき、零写像は[[環準同型]]である。{{mvar|X}} が[[単純環]]（例えば[[可換体]]または[[斜体 (数学)|斜体]]）ならば、任意の環準同型は[[単射]]であるかさもなくば零写像である<ref>{{citation2|surname1=Karpfinger, Meyberg|title=Algebra: Gruppen – Ringe – Körper|at=p.&nbsp;172|language=de
}}</ref>。
* {{mvar|X, Y}} が二つの[[環上の加群|加群]]のとき、零写像は[[加群準同型]]である。
* {{mvar|X, Y}} が二つの[[環上の多元環|多元環]]のとき、零写像は{{ill2|多元環準同型|en|Algebra homomorphism}}である。

== 関連項目 ==
* [[零因子]]
* [[零化域]]
* [[零環]]
* [[零射]]

== 注 ==
=== 注釈 ===
{{notelist}}
=== 出典 ===
{{reflist|20em}}

== 参考文献 ==
* {{citation2|surname1=Martin Barner, Friedrich Flohr|title=Analysis I|publisher=de Gruyter|year=2000|isbn=3-110-16778-6|language=de
}}
* {{citation2|surname1=[[Siegfried Bosch]]|title=Lineare Algebra|publisher=Springer|year=2009|isbn=3-540-76437-2|language=de
}}
* {{citation2|surname1=Christian Karpfinger, Kurt Meyberg|title=Algebra: Gruppen – Ringe – Körper|publisher=Springer|year=2008|isbn=3-827-42018-0|language=de
}}
* {{citation2|surname1=[[Gilbert Strang]]|title=Lineare Algebra|publisher=Springer|year=2003|isbn=3-540-43949-8|language=de
}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|id=ZeroMap|title=Zero Map|author=Barile, Margherita}}
* {{nlab|id=zero+function|title=zero function}}
* {{PlanetMath|id=ZeroMap|title=Zero Map|author=matte, yark}}
* {{ProofWiki|id=Definition:Zero_Homomorphism|title=Definition:Zero Homomorphism}}

{{DEFAULTSORT:れいしやそう}}
[[Category:解析学]]
[[Category:代数学]]
[[Category:写像]]
[[Category:数学に関する記事]]